Devoir 3 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne Année 2005-2006
Faculté de Mathématiques et d’Informatique
Licence mention Mathématiques -Deuxième année -Semestre 4
Probabilités élémentaires
Devoir 3
Exercice 1.Quelle note à l’examen ?
1) Soient Xune variable aléatoire de loi Normale N;,aun réel strictement positif, bun réel et Xla
variable aléatoire définie par XaX b. Montrer que Xsuit la loi Normale Nab;a.
2) D’après les résultats des années précédentes, on peut considérer que la note (sur 20) d’un étudiant de
deuxième année de Licence mention Mathématiques à l’examen de Probabilités Elémentaires est une variable
aléatoire Xde loi Normale N9;4.
a) Vérifier que la probabilité qu’un étudiant obtienne la moyenne, c’est-à-dire une note supérieure ou
égale à 10, est égale à 0,4013.
b) Quel résultat mathématique permet de confondre cette probabilité avec la proportion d’étudiants
ayant la moyenne ?
c) Environ 200 étudiants ont passé l’examen au cours des quatre dernières années.
Donner, sans calcul, la loi de probabilité de la variable aléatoire Yégale au nombre d’étudiants ayant
obtenu la moyenne.
Calculer la probabilité que le nombre d’étudiants ayant obtenu la moyenne soit compris entre 70 et
100. On pourra utiliser une approximation de loi en précisant les conditions d’application.
Exercice 2 -Problème de pannes (deuxième partie)
On appelle durée de vie d’un composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu’à
sa première panne éventuelle.
On considère que la durée de vie d’un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire T
définie sur un espace probabilisé ,A,Pet à valeurs dans 0,.
On rappelle que la fonction de répartition Fde Test définie pour tout réel tpar
FtPT≤t. On appelle alors loi de survie du composant la fonction Ddéfinie pour tout tde par
Dt1−FtPTt.
Deuxième partie :cas continu.
On suppose dans cette partie que Test une variable aléatoire de densité fnulle sur −
∗−,0, continue
sur et strictement positive sur 
∗0,.
Loidesurvieetcoefficientd’avarie.
Pour tout réel tpositif, on appelle coefficient d’avarie à l’instant tdu composant le nombre tdéfini par
tft
Dt.
1) Soit tun réel positif. Pour tout réel hstrictement positif, on note qt,hla probabilité que le composant
tombe en panne entre les instants tet thsachant qu’il fonctionne encore à l’instant t, c’est-à-dire le nombre
qt,hdéfini par : qt,hPtT≤th/Tt.
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a) Etablir que pour tout réel hstrictement positif, on a
qt,hDt−Dth
Dt.
b) Justifier que la fonction Dest dérivable sur , et préciser sa fonction dérivée.
c) Montrer que le rapport qth
ha pour limite tlorsque htend vers 0 par valeurs supérieures.
2) On suppose dans cette question que est un réel strictement positif et que Tsuit la loi exponentielle de
paramètre , c’est-à-dire que Test à valeurs dans et admet pour densité la fonction fdéfinie par :
fte−tsi t≥0
0sit0.
a) Déterminer alors la loi de survie Ddu composant, et donner l’allure de sa courbe représentative.
b) Calculer l’espérance mathématique ETde T.
c) Etablir que pour tout réel tpositif, on a t1
ET.
3) Réciproquement, on suppose dans cette question qu’il existe une constante strictement positive telle
que pour tout réel tpositif, t.
a) Soit gla fonction définie pour tout réel tpositif par gtetDt. Montrer que la fonction gest
constante sur .
b) En déduire que Tsuit une loi exponentielle, et préciser son paramètre.
4) On suppose dans cette question que la densité fde la variable aléatoire Test définie par :
ftte−t2
2si t≥0
0sit0.
a) Vérifier que la fonction fainsi définie possède bien les propriétés d’une densité de probabilité.
b) Justifier les égalités
0
e−t2
2dt 
20
t2e−t2
2dt.
c) Calculer l’espérance mathématique ETde T.
d) Montrer que la variable aléatoire T2suit une loi exponentielle, et préciser son paramètre. En déduire
la variance de T.
e) Déterminer la loi de survie Ddu composant, et donner l’allure de sa courbe représentative en
précisant la tangente au point d’abscisse 0 et le point d’inflexion.
f) Calculer, pour tout réel tpositif, le coefficient d’avarie tdu composant.
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