Arithmétique - Dénombrement - Mathématiques en PCSI 834 à

Gaudino, casier 5
Planche d’exercices
Lycée Masséna
P.C.S.I.834
Arithmétique des entiers - Dénombrement
I.
Arithmétique
1 2) Montrer que 4 divise n3 + (n + 2)3 , et ce pour tout entier n.
2 2) Montrer que 11 divise 2123 + 3121 .
3 2) Montrer que si 7 divise a et b si et seulement si il divise a2 + b2 (directement et par les modulos).
4 2) a, b sont des entiers naturels non nuls. Montrer que si a2 |b2 alors a|b.
5 2) a, b, c sont des entiers naturels non nuls. a) Montrer que si a ∧ b = 1 et c|b alors a ∧ c = 1.
b) [théorème de Gauss] Montrer que si a|bc et a ∧ b = 1 alors a|c.
6 2) [Identité de Bézout] Montrer que si a ∧ b = 1 alors il existe (u, v) ∈ Z2 tel que au + bv = 1.
7 2) Calculer 29 × 5 − 16 × 9, puis déterminer tous les couples (x, y) d’entiers relatifs vérifiant : 29x + 16y = 1. On utilisera
le théorème de Gauss.
8 2) [nombres de Mersenne] Montrer que si 2n − 1 est premier alors n aussi. Examiner la réciproque (prendre n = 11).
αr
1 α2
9 2) Soit n ≥ 2 et n = pα
1 p2 . . . pr sa décomposition en produit de facteurs premiers.
1. Calculer le nombre de diviseurs positifs de n.
2. Calculer la somme S(n) des diviseurs positifs de n.
3. Montrer que si m ∧ n = 1, alors S(mn) = S(m)S(n).
p
10 2) [petit théorème de Fermat] Soit p premier. Montrer que p pour 1 ≤ k ≤ p − 1.
k
En déduire que ∀n ∈ N, np ≡ n[p] (par récurrence sur n).
11 2) Montrer que pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = ab.
12 2) Soit x ∈ Q, et x =
p
sa décomposition primaire. On suppose qu’il existe n ∈ N∗ tel que xn ∈ Z. Montrer que x ∈ Z.
q
13 2) Montrer que les xk = 1001! + k avec 2 ≤ k ≤ 1001 sont 1000 entiers consécutifs non premiers.
II.
Dénombrement
14 2) On tire simultanément 8 cartes dans un jeu de 32 cartes. Combien y-a-t-il de tirages possibles ? Combien y-a-t-il de
tirages contenant 4 as ? Combien y-a-t-il de tirages contenant 4 as et 4 cœurs ?
15 2) Combien de mots (sans signification) de 5 lettres distinctes peut-on écrire avec 26 lettres ?
16 2) On considère un mot de 5 lettres distinctes. Combien existe-t’il d’anagrammes ? Même question avec des lettres pas
toutes distinctes.
17 2) 10 personnes s’offrent mutuellement des cadeaux. Combien y-a-t’il de possibilités ? Même question en imposant la
contrainte : on ne peut pas s’offrir un cadeau à soi-même.
18 2) On distribue des cadeaux à 10 personnes. Combien y-a-t’il de possibilités, en imposant les contraintes indépendantes
suivantes :
a) 5 cadeaux différents, au plus un par personne.
b) 5 cadeaux différents, pas de limite pour chaque personne.
c) 5 cadeaux identiques, au plus un par personne.
d) 5 cadeaux identiques, pas de limite pour chaque personne.
19 2) Dans une classe de 42 élèves, de combien de manières peut-on former les trinôme de colles ? Trouver deux méthodes (on
obtient environ 1029 manières).
1
20 2) Montrer que f définie par : si x ∈ N∗ , f (x) = 2(x − 1) et f (x) = 1 − 2x si x est un entier négatif définit une bijection de
Z sur N.
21 2) Établir une formule qui donne le cardinal de A ∪ B ∪ C.
22 2) Dans un ensemble à n éléments, combien peut-on former de p-uplets ?
23 ) a2) Soit E de cardinal n. Soit A ⊂ E fixé. Quel est le nombre de parties B de E telles que A ∪ B = E ?
A n’étant plus fixé, Quel est le nombre de couples (A, B) tels que A ∪ B = E ?
b2) Mêmes questions en remplaçant les assertions A ∪ B = E par A ⊂ B.
c2) Mêmes questions en remplaçant les assertions A ∪ B = E par A ∩ B est un singleton.
24 2) Montrer qu’un ensemble fini non-vide a autant de sous-parties de cardinal pair que de sous-parties de cardinal impair.
On dénombrera ces sous-parties et on effectuera la différence.
25 2) Dans un population de n individus, on crée une équipe de k volleyeurs, en désignant un
capitaine.
n
n−1
a) À l’aide de cet énoncé, et en comptant de deux manières différentes, prouver la relation k
=n
.
k
k−1
b) Vérifier cette relation par calcul.
26 2) Soient E et F deux ensembles finis disjoints de même cardinal n. En évaluant de deux manières différentes le nombre de
parties à n éléments de E ∪ F , montrer que
n 2
X
n
k=0
27 2) Montrer que
n X
j
j=k
k
=
k
k
X
2n
n
. Généraliser en prouvant
n
i
=
i=0
p
k−i
=
n+p
.
k
n+1
.
k+1
28 2) Soit E un ensemble de cardinal n ∈ N∗ , et R une relation binaire sur E.
On dit que R est symétrique ssi ∀ (x, y) ∈ E 2 xRy ⇔ yRx.
a) Déterminer le nombre de relations binaires sur E ;
b) Déterminer le nombre de relations binaires réflexives sur E ;
c) Déterminer le nombre de relations binaires symétriques sur E ;
d) Déterminer le nombre de relations binaires réflexives et symétriques sur E.
29 2) Soit F un ensemble de cardinal n. Combien y-a-t-il de surjections de E vers F lorsque
n(n + 1)!
a) Card(E) = n − 1
b) Card(E) = n
c) Card(E) = n + 1 : on trouve
.
2
30 2) Quel est le nombre d’applications définies sur une partie de E à valeurs dans F ? Constater qu’on trouve le nombre
d’applications définies sur E à valeurs dans un ensemble de cardinal card(F ) + 1 et expliquer ce phénomène.
31 2) On note s(p, n) le nombre d’applications strictement croissantes de J1, pK (p ≥ 1) dans J1, nK (n ≥ 1).
a) Préciser s(1, n), s(n, n) et s(p, n) lorsque p > n.
b) Exprimer s(p, n) en fonctions de divers s(p − 1, k).
c) Construire un tableau analogue au triangle de Pascal.
d) Proposer une formule, et la prouver.
e) Refaire l’exercice en comptant le nombre de sous-parties de cardinal p de l’ensemble d’arrivée.
32 2) Sur un réseau de sommets les points de coordonnées entières, on ne se déplace que sur les arêtes, en allant vers la
droite ou vers le haut. On part du point de coordonnées (0, 0). On appelle s(n, p) le nombre de chemins pour aller du point de
coordonnées (n, p).
a) Comprendre que le nombre total de pas horizontaux est une constante. Même question avec les pas verticaux. Même question
avec les pas (horizontaux ou verticaux).
b) Comprendre que le nombre s(n, p) est le nombre
d’écrire un mot de longueur n + p avec n lettres d (pour droite)
de manière
n+p
et p lettres h (pour haut). En déduire s(n, p) =
.
n
33 2) [Principe des tiroirs] a) Deux pays sont dits voisins s’ils ont une frontière commune. On considère n pays (aucun n’étant
isolé, tous ont au moins un voisin), montrer qu’il y a nécessairement deux pays qui ont le même nombre de voisins. (Il faut
définir une application.)
b) Soit E un ensemble de dix nombres entiers distincts compris entre 1 et 100. Démontrer qu’il existe deux sous-ensembles de
E distincts non vides de même somme.
2