Arithmétique - Dénombrement - Mathématiques en PCSI 834 à

Gaudino, casier 5
Lycée Masséna Planche d’exercices P.C.S.I.834
Arithmétique des entiers - Dénombrement
I. Arithmétique
12)Montrer que 4 divise n3+ (n+ 2)3, et ce pour tout entier n.
22)Montrer que 11 divise 2123 + 3121 .
32)Montrer que si 7 divise aet bsi et seulement si il divise a2+b2(directement et par les modulos).
42)a,bsont des entiers naturels non nuls. Montrer que si a2|b2alors a|b.
52)a,b,csont des entiers naturels non nuls. a) Montrer que si a∧b= 1 et c|balors a∧c= 1.
b) [théorème de Gauss] Montrer que si a|bc et a∧b= 1 alors a|c.
62)[Identité de Bézout] Montrer que si a∧b= 1 alors il existe (u, v)∈Z2tel que au +bv = 1.
72)Calculer 29 ×5−16 ×9, puis déterminer tous les couples (x, y) d’entiers relatifs vérifiant : 29x+ 16y= 1. On utilisera
le théorème de Gauss.
82)[nombres de Mersenne] Montrer que si 2n−1 est premier alors naussi. Examiner la réciproque (prendre n= 11).
92)Soit n≥2 et n=pα1
1pα2 2. . . pαr
rsa décomposition en produit de facteurs premiers.
1. Calculer le nombre de diviseurs positifs de n.
2. Calculer la somme S(n) des diviseurs positifs de n.
3. Montrer que si m∧n= 1, alors S(mn) = S(m)S(n).
10 2)[petit théorème de Fermat] Soit ppremier. Montrer que p
p
kpour 1 ≤k≤p−1.
En déduire que ∀n∈N, np≡n[p] (par récurrence sur n).
11 2)Montrer que pgcd(a, b)×ppcm(a, b) = ab.
12 2)Soit x∈Q, et x=p
qsa décomposition primaire. On suppose qu’il existe n∈N∗tel que xn∈Z. Montrer que x∈Z.
13 2)Montrer que les xk= 1001! + kavec 2 ≤k≤1001 sont 1000 entiers consécutifs non premiers.
II. Dénombrement
14 2)On tire simultanément 8 cartes dans un jeu de 32 cartes. Combien y-a-t-il de tirages possibles ? Combien y-a-t-il de
tirages contenant 4 as ? Combien y-a-t-il de tirages contenant 4 as et 4 cœurs ?
15 2)Combien de mots (sans signification) de 5 lettres distinctes peut-on écrire avec 26 lettres ?
16 2)On considère un mot de 5 lettres distinctes. Combien existe-t’il d’anagrammes ? Même question avec des lettres pas
toutes distinctes.
17 2)10 personnes s’offrent mutuellement des cadeaux. Combien y-a-t’il de possibilités ? Même question en imposant la
contrainte : on ne peut pas s’offrir un cadeau à soi-même.
18 2)On distribue des cadeaux à 10 personnes. Combien y-a-t’il de possibilités, en imposant les contraintes indépendantes
suivantes :
a) 5 cadeaux différents, au plus un par personne.
b) 5 cadeaux différents, pas de limite pour chaque personne.
c) 5 cadeaux identiques, au plus un par personne.
d) 5 cadeaux identiques, pas de limite pour chaque personne.
19 2)Dans une classe de 42 élèves, de combien de manières peut-on former les trinôme de colles ? Trouver deux méthodes (on
obtient environ 1029 manières).
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20 2)Montrer que fdéfinie par : si x∈N∗,f(x) = 2(x−1) et f(x) = 1 −2xsi xest un entier négatif définit une bijection de
Zsur N.
21 2)´ Etablir une formule qui donne le cardinal de A∪B∪C.
22 2)Dans un ensemble à néléments, combien peut-on former de p-uplets ?
23 )a2) Soit Ede cardinal n. Soit A⊂Efixé. Quel est le nombre de parties Bde Etelles que A∪B=E?
An’étant plus fixé, Quel est le nombre de couples (A, B) tels que A∪B=E?
b2) Mêmes questions en remplaçant les assertions A∪B=Epar A⊂B.
c2) Mêmes questions en remplaçant les assertions A∪B=Epar A∩Best un singleton.
24 2)Montrer qu’un ensemble fini non-vide a autant de sous-parties de cardinal pair que de sous-parties de cardinal impair.
On dénombrera ces sous-parties et on effectuera la différence.
25 2)Dans un population de nindividus, on crée une équipe de kvolleyeurs, en désignant un capitaine.
a) ` A l’aide de cet énoncé, et en comptant de deux manières différentes, prouver la relation kn
k=nn−1 k−1.
b) Vérifier cette relation par calcul.
26 2)Soient Eet Fdeux ensembles finis disjoints de même cardinal n. En évaluant de deux manières différentes le nombre de
parties à néléments de E∪F, montrer que
n
X
k=0 n
k2
=2n
n. Généraliser en prouvant
k
X
i=0 n
i p k−i=n+p k.
27 2)Montrer que
n
X
j=kj
k=n+ 1 k+ 1.
28 2)Soit Eun ensemble de cardinal n∈N∗, et Rune relation binaire sur E.
On dit que Rest symétrique ssi ∀(x, y)∈E2xRy⇔yRx.
a) Déterminer le nombre de relations binaires sur E;
b) Déterminer le nombre de relations binaires réflexives sur E;
c) Déterminer le nombre de relations binaires symétriques sur E;
d) Déterminer le nombre de relations binaires réflexives et symétriques sur E.
29 2)Soit Fun ensemble de cardinal n. Combien y-a-t-il de surjections de Evers Florsque
a) Card(E) = n−1 b) Card(E) = nc) Card(E) = n+ 1 : on trouve n(n+ 1)!
2.
30 2)Quel est le nombre d’applications définies sur une partie de Eà valeurs dans F? Constater qu’on trouve le nombre
d’applications définies sur Eà valeurs dans un ensemble de cardinal card(F) + 1 et expliquer ce phénomène.
31 2)On note s(p, n) le nombre d’applications strictement croissantes de J1, pK(p≥1) dans J1, nK(n≥1).
a) Préciser s(1, n), s(n, n) et s(p, n) lorsque p > n.
b) Exprimer s(p, n) en fonctions de divers s(p−1, k).
c) Construire un tableau analogue au triangle de Pascal.
d) Proposer une formule, et la prouver.
e) Refaire l’exercice en comptant le nombre de sous-parties de cardinal pde l’ensemble d’arrivée.
32 2)Sur un réseau de sommets les points de coordonnées entières, on ne se déplace que sur les arêtes, en allant vers la
droite ou vers le haut. On part du point de coordonnées (0,0). On appelle s(n, p) le nombre de chemins pour aller du point de
coordonnées (n, p).
a) Comprendre que le nombre total de pas horizontaux est une constante. Même question avec les pas verticaux. Même question
avec les pas (horizontaux ou verticaux).
b) Comprendre que le nombre s(n, p) est le nombre de manière d’écrire un mot de longueur n+pavec nlettres d(pour droite)
et plettres h(pour haut). En déduire s(n, p) = n+p
n.
33 2)[Principe des tiroirs] a) Deux pays sont dits voisins s’ils ont une frontière commune. On considère npays (aucun n’étant
isolé, tous ont au moins un voisin), montrer qu’il y a nécessairement deux pays qui ont le même nombre de voisins. (Il faut
définir une application.)
b) Soit Eun ensemble de dix nombres entiers distincts compris entre 1 et 100. Démontrer qu’il existe deux sous-ensembles de
Edistincts non vides de même somme.
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