TD 2 - Actions de groupes, théorèmes de Sylow

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 2 - Actions de groupes, théorèmes de Sylow
Exercice 1 (Théorème de Cauchy).
1. Soit G un groupe fini et p un facteur premier de
|G|. Montrer que G a au moins un élément d’ordre p.
2. Que dire si p2 divise |G| ?
Exercice 2. Soit G un groupe d’ordre 24. On suppose que ses sous-groupes de Sylow ne sont
pas distingués. On veut montrer que G est isomorphe à S4 .
1. Combien G a-t-il de 3-Sylow ? De 2-Sylow ?
2. Quel est le cardinal du normalisateur d’un 3-Sylow ? D’un 2-Sylow ?
3. En faisant agir G par conjugaison sur ses 3-Sylow, montrer que l’on a un morphisme non
trivial φ : G → S4 dont le noyau a pour cardinal 1, 2 ou 6.
4. En comptant le nombre d’éléments contenus dans la réunion des 3-Sylow de G, montrer
que le cardinal du noyau de φ ne peut pas être égal à 6.
5. Supposons qu’il est égal à 2. Montrer que G/kerφ possède trois 2-Sylow distincts. Conclure.
Exercice 3 (Collier de perles).
1. Soit G le groupe des permutations d’un ensemble fini
X à n éléments. Quel est le nombre de classes de G-équivalence de coloriages de X avec N
couleurs ?
2. Quel est le nombre de colliers de n perles que l’on peut former avec N couleurs ?
3. Coloriage de l’hexagone. Soit P6 un polygone régulier à 6 cotés centré en l’origine dans le
plan euclidien orienté de dimension 2. On colorie les cotés de P6 avec deux couleurs, blanc et
noir. Deux coloriages sont dits équivalents s’ils sont images l’un de l’autre par une rotation
du plan qui laisse P6 invariant. Calculer le nombre de classes de coloriages de P6 .
Exercice 4. Soit G un groupe fini de cardinal n. Une représentation linéaire de dimension finie
de G sur le corps K est la donnée d’un K-espace vectoriel V 6= {0} de dimension finie et d’un morphisme de groupes ρ : G → GL(V ). Autrement dit, le groupe G agit sur V par automorphismes
linéaires.
La représentation G est dite irréductible si les seuls sous-espaces de V stables sous l’action de G
sont {0} et V lui-même. Elle est dite décomposable si on peut la réaliser comme somme directe
de sous-représentations irréductibles.
1. Supposons que la caractéristique de K ne divise pas le cardinal de G.
(a) Soit W un sous-espace de V stable sous l’action de G et p une projection d’image W .
Montrer que
1X
ρ(g) ◦ p ◦ ρ(g−1 )
π=
n
g∈G
est une projection d’image W qui commute à l’action de G.
1
2
(b) En déduire le théorème de Maschke : la représentation (ρ, V ) est complètement réductible.
2. On suppose que K = R.
(a) Montrer qu’il existe un produit scalaire sur le R-espace vectoriel V qui est invariant
sous l’action de G. Retrouver le résultat précédent.
(b) En introduisant la représentation régulière de G, montrer que G s’injecte dans GLn (R).
Montrer ensuite que G s’injecte dans On (R), puis dans On−1 (R).
3. On suppose que K est un corps de caractéristique p et que G est un p-groupe.
(a) Soit x un élément non nul de V et X le sous-groupe fini de V engendré par les ρ(g)x,
g ∈ G. On note X G l’ensemble des éléments de X fixes par G. Comparer le cardinal
de X et celui de X G .
(b) Montrer qu’il existe dans V un élément non nul fixé par l’action de G. Quelles sont
les représentations irréductibles de G ?
(c) Donner un contre-exemple au théorème de Maschke.
Exercice 5.
1. Montrer que SL2 (F4 ) s’injecte dans S5 . En déduire que SL2 (F4 ) ≃ A5
2. Soit φ ∈ SL2 (F4 ) de polynôme caractéristique Pφ = X 2 + aX + 1. Calculer en fonction de
a le nombre de matrices semblables à φ.
3. Montrer que A5 est simple.
Exercice 6.
1. Soit K un corps. On introduit le symbole infini noté ∞ et l’on considère
a b
P1 (K) = K ∪ {∞}, la droite projective sur K. Soient γ =
∈ GL2 (K) et x ∈ K. On
c d
a
pose γ. −d
c = ∞ et γ.∞ = c et
si x 6=
−d
c ,
γ.x =
ax+b
cx+d .
Montrer que l’on définit ainsi une action fidèle et transitive de PGL2 (K) sur P1 (K).
2. Montrer que le groupe PGL2 (F5 ) s’identifie à un sous-groupe H du groupe symétrique S6 .
Comment H agit-t-il sur {1, 2, ..., 6} ?
3. Montrer que S6 possède un automorphisme qui n’est pas intérieur.
Indication : Exhiber un automorphisme de S6 qui envoie H sur le stabilisateur d’un point
de {1, 2, ..., 6}.
4. Montrer que PGL2 (F5 ) est isomorphe à S5 .