TD 2 - Actions de groupes, théorèmes de Sylow

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 2 - Actions de groupes, théorèmes de Sylow
Exercice 1 (Théorème de Cauchy). 1. Soit Gun groupe fini et pun facteur premier de
|G|. Montrer que Ga au moins un élément d’ordre p.
2. Que dire si p2divise |G|?
Exercice 2. Soit Gun groupe d’ordre 24. On suppose que ses sous-groupes de Sylow ne sont
pas distingués. On veut montrer que Gest isomorphe à S4.
1. Combien Ga-t-il de 3-Sylow ? De 2-Sylow ?
2. Quel est le cardinal du normalisateur d’un 3-Sylow ? D’un 2-Sylow ?
3. En faisant agir Gpar conjugaison sur ses 3-Sylow, montrer que l’on a un morphisme non
trivial φ:G→ S4dont le noyau a pour cardinal 1,2ou 6.
4. En comptant le nombre d’éléments contenus dans la réunion des 3-Sylow de G, montrer
que le cardinal du noyau de φne peut pas être égal à 6.
5. Supposons qu’il est égal à 2. Montrer que G/kerφ possède trois 2-Sylow distincts. Conclure.
Exercice 3 (Collier de perles). 1. Soit Gle groupe des permutations d’un ensemble fini
Xànéléments. Quel est le nombre de classes de G-équivalence de coloriages de Xavec N
couleurs ?
2. Quel est le nombre de colliers de nperles que l’on peut former avec Ncouleurs ?
3. Coloriage de l’hexagone. Soit P6un polygone régulier à 6cotés centré en l’origine dans le
plan euclidien orienté de dimension 2. On colorie les cotés de P6avec deux couleurs, blanc et
noir. Deux coloriages sont dits équivalents s’ils sont images l’un de l’autre par une rotation
du plan qui laisse P6invariant. Calculer le nombre de classes de coloriages de P6.
Exercice 4. Soit Gun groupe fini de cardinal n. Une représentation linéaire de dimension finie
de Gsur le corps Kest la donnée d’un K-espace vectoriel V6={0}de dimension finie et d’un mor-
phisme de groupes ρ:G→GL(V). Autrement dit, le groupe Gagit sur Vpar automorphismes
linéaires.
La représentation Gest dite irréductible si les seuls sous-espaces de Vstables sous l’action de G
sont {0}et Vlui-même. Elle est dite décomposable si on peut la réaliser comme somme directe
de sous-représentations irréductibles.
1. Supposons que la caractéristique de Kne divise pas le cardinal de G.
(a) Soit Wun sous-espace de Vstable sous l’action de Get pune projection d’image W.
Montrer que
π=1
nX
g∈G
ρ(g)◦p◦ρ(g−1)
est une projection d’image Wqui commute à l’action de G.
1

2
(b) En déduire le théorème de Maschke : la représentation (ρ, V )est complètement ré-
ductible.
2. On suppose que K=R.
(a) Montrer qu’il existe un produit scalaire sur le R-espace vectoriel Vqui est invariant
sous l’action de G. Retrouver le résultat précédent.
(b) En introduisant la représentation régulière de G, montrer que Gs’injecte dans GLn(R).
Montrer ensuite que Gs’injecte dans On(R), puis dans On−1(R).
3. On suppose que Kest un corps de caractéristique pet que Gest un p-groupe.
(a) Soit xun élément non nul de Vet Xle sous-groupe fini de Vengendré par les ρ(g)x,
g∈G. On note XGl’ensemble des éléments de Xfixes par G. Comparer le cardinal
de Xet celui de XG.
(b) Montrer qu’il existe dans Vun élément non nul fixé par l’action de G. Quelles sont
les représentations irréductibles de G?
(c) Donner un contre-exemple au théorème de Maschke.
Exercice 5. 1. Montrer que SL2(F4)s’injecte dans S5. En déduire que SL2(F4)≃ A5
2. Soit φ∈SL2(F4)de polynôme caractéristique Pφ=X2+aX + 1. Calculer en fonction de
ale nombre de matrices semblables à φ.
3. Montrer que A5est simple.
Exercice 6. 1. Soit Kun corps. On introduit le symbole infini noté ∞et l’on considère
P1(K) = K∪ {∞}, la droite projective sur K. Soient γ=a b
c d∈GL2(K)et x∈K. On
pose γ.−d
c=∞et γ.∞=a cet
si x6=−d
c,γ.x =ax+b cx+d.
Montrer que l’on définit ainsi une action fidèle et transitive de PGL2(K)sur P1(K).
2. Montrer que le groupe PGL2(F5)s’identifie à un sous-groupe Hdu groupe symétrique S6.
Comment Hagit-t-il sur {1,2, ..., 6}?
3. Montrer que S6possède un automorphisme qui n’est pas intérieur.
Indication : Exhiber un automorphisme de S6qui envoie Hsur le stabilisateur d’un point
de {1,2, ..., 6}.
4. Montrer que PGL2(F5)est isomorphe à S5.