Exercices-Chapitre 10: ensembles finis, dénombrement, sommes

PCSI2
Exercices-Chapitre 10: ensembles finis, dénombrement, sommes
 Eléments de correction en ligne
 Arithmétique et dénombrement:
1.1 Montrer que n, 23n+4 + 32n+1 est divisible par 19.
3n
 1.2 Calculer Sn =
 2k 
  3 
k 0
1.3 n désigne un entier naturel.
a. Démontrer que les entiers ( n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisible par (n+1).
b. Déterminer les entiers naturels n tels que 3n²+15n+19 est divisible par (n+1).
c. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que (3n²+15n+19) est divisible par (n²+3n+2)
m
1.4 Soit n, n ≥ 2. On note n =
i
i
p
la décomposition de n en produits de facteurs premiers.
i 1
a. Soit d un diviseur de n, donner une écriture de d en fonction des nombres premiers (pi)1≤i≤m.
b. Déterminer le nombre de diviseurs de n.
c. Démontrer que si un entier naturel non nul est un carré parfait alors le nombre de ses
diviseurs positifs est impair. Etudier la réciproque
1.5 Résoudre dans ²:
a) x²-y² = 15
b) xy = 3x+2y
 c) x²-y²-4x-2y = 5.
1.6 Par combien de zéros se termine l’entier N = 2014 ! ?
1.7 Quel est le nombre d’entiers naturels divisibles par 2,3,ou 5 compris entre 1 et 300 ?
 1.8 Soit n,
a. Montrer que le PGCD de 2n+4 et 3n+3 ne peut être que 1, 2, 3 ou 6.
b. Déterminer n tel que (2n+4)(3n+3) = 3
1.9 Résoudre dans 2, l’équation : PGCD(a, b) + PPCM(a, b) = a + b.
 1.10 Soit a et b deux entiers avec b non nul.
a. On note r le reste de la division euclidienne de a par b. Montrer que 2r – 1 est le reste de la
division euclidienne de 2a – 1 par 2b – 1.
b. Montrer que : PGCD(2a – 1, 2b – 1) = 2PGCD(a, b) – 1.
1.11 Soit p un nombre premier avec p  5. Montrer que p2 – 1 est divisible par 24.
 1.12 Le petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier.
p
a. Prouver que k1;p-1,   est divisible par p.
k 
 
b. Montrer par récurrence sur n que n*, np - n est divisible par p.
c. Déterminer tous les entiers plP tels que p divise 2p+1.
1.13 Soit n*, on note
a. Justifier à l’aide d’une propriété du cours le principe de Dirichlet ou principe des tiroirs :
« Si on range (n+1) paires chaussettes dans une commode contenant n tiroirs alors ou moins un
tiroir contient deux paires de chaussettes. »
b. Montrer qu’il existe un multiple de 2014 qui ne s’écrit qu’avec les chiffres 0 et 1.
On pourra utiliser la suite des repet-unit : un l’entier qui s’écrit avec n chiffres 1.
Par exemple u3 = 111.
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 Ensembles finis et dénombrement :
2.1 Soit E un ensemble fini de cardinal n, démontrer que card(P(E)) = 2n par récurrence sur n.
2.2 Soit E = 1,p et F = 1,n.
a. Quel est le nombre d’applications de E dans F ?
b. Quel est le nombre d’applications strictement croissantes de E dans F ?
c. Soit f une application strictement croissante de E dans F.
On définit g sur E par iE, g(i) = f(i) + i – 1.
Montrer que g est strictement croissante et préciser son ensemble d’arrivée.
d. Montrer que  :f  g met en bijection deux ensembles à préciser. En déduire le nombre
d’applications croissantes de E dans F.
2.3 Soit n*, F un ensemble fini de cardinal n+1 et E un ensemble fini de cardinal n.
a. Déterminer le nombre de surjections de E sur {a,b}.
b. Déterminer le nombre de surjections de F sur E.
c. Quel est le nombre d'applications non surjectives de E dans E?
 2.4 Soit E un ensemble et f une application de E dans E.
f est idempotente si et seulement si ff = f.
a. Donner un exemple d'application idempotente distincte de IdE.
b. Montrer que si f est idempotente et si f est injective ou surjective alors f = IdE.
c. Montrer l'équivalence: f est idempotente  xf(E), f(x) = x
d. On suppose E fini de cardinal n, déduire de ce qui précède le nombre d'applications
idempotentes de E dans E et calculer ce nombre pour n1,4.
2.5 Soit E un ensemble fini de cardinal n.
a. Dénombrer les couples (A,B) de P(E) tels que AB.
b. Dénombrer les couples (A,B) de P(E) tels que AB et BA.
2.6 Formule de Vandermonde.
Soit k, n et m trois entiers naturels tels que k ≤ n+m. On considère A et B deux ensembles
disjoints de cardinal respectif n et m, en dénombrant les parties de E = AB de cardinal k de
k
 n  m   n  m 
deux manières différentes, établir que :
 


i k  i  k 
i 0  
 2.7 Obtenir par des méthodes combinatoires les résultats suivants
n
n 
k    n2 n 1
a. n*,
k 
 
k 1
On pourra s’intéresser à
card( A)



AP ( E )
q
b. (p,q)²,
p  k   p  q  1

 par une méthode combinatoire
p   p  1 
k 0
 
On pourra s’intéresser à différentes façons de compter le nombre de parties à (p+1) éléments de 0, p+q
 Savoir dénombrer
3.1 On dispose de six plaquettes portant les chiffres 1,2,3,6,8,9.
a. On choisit 3 de ces six plaquettes et on fait la somme des nombres inscrits sur les plaquettes.
Combien de sommes différentes peut-on obtenir ?
b. On choisit successivement et sans remise 3 plaquettes que l’on range de gauche à droite pour
former un nombre. Combien de nombres peut-on obtenir ? Combien d’entre eux sont divisibles par
9?
c. On recommence, cette fois-ci avec remise. Combien de nombres peut-on obtenir ? Combien
d’entre eux sont divisibles par 4 ?
3.2 Colle de math
a. Combien existe-t-il d’anagrammes du mot MATH ?
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b. Même question avec le mot COLLOSCOPE.
c. Déterminer le nombre de façon de former des groupes de colles dans une classe de 48.
d. Déterminer le nombre de façon de subdiviser en n groupes à p éléments un ensemble à np
éléments.
3.3 Le pouilleux : on rappelle qu’un jeu de 52 cartes contient 13 cartes de 4 couleurs
différentes : pique, cœur, carreaux et trèfle, ainsi que 3 figures : roi, dame et valet à chaque
couleur. On appelle main une partie extraite du jeu.
a. Déterminer le nombre de mains de 8 cartes.
b. Combien de ces mains contiennent le valet de pique ?
c. Combien de ces mains contiennent au moins un valet ?
d. Combien de ces mains contiennent au moins un valet et un pique?
e. Combien de ces mains contiennent exactement 3 piques dont le valet.
f. Combien de ces mains contiennent exactement 3 piques et deux valets ?
3.4 Une urne contient des boules de deux couleurs : blanches et noires.
On tire successivement 5 fois une boule, en remettant la boule tirée après chaque tirage et on
note les couleurs obtenues.
a. Combien a-t-on de résultats différents ?
b. Combien de résultats avec au moins deux boules de couleurs différentes ?
c. Combien de résultats avec deux boules blanches et 3 noires ?
d. Combien de résultats avec au plus deux boules noires ?
e. Combien de résultats avec une boule blanche en dernier ?
3.5 Nombre de solutions de x1+x2+...xp = n
a. Déterminer le nombre de solution de l'équation x + y = n dans ².
b. Déterminer le nombre de solutions de l’équation x + y +z = n dans 3.
c. On décide du codage suivant : le mot binaire 00100010 code l’égalité 2+3+1 = 6 donnant une
solution de x + y + z = 6 dans 3.
Retrouver le résultat de la question b. en utilisant cette représentation des solutions.
d. Déterminer le nombre de solutions de x1+x2+...xp = n dans p
e. Déterminer le nombre de solutions de x1+x2+...xp = n dans (*)p
 3.6 Pour continuer avec des sommes
a. Déterminer le nombre de solution de x1+x2+...xp = n dans Ep où E = {0,1}
b. On note un le nombre de p-uplets de E = {1,2} de somme n avec p*.
on a u4 = 5 car 1+1+1+1 = 4, 1+1+2 = 4, 1+2+1 = 4, 2+1+1 = 4 et 2+2 = 4
calculer u1, u2, u3 puis montrer que (un) est une SRL d’ordre 2 et expliciter un.
  Exercices complémentaires
4.1 Déterminer le nombre de couples d’entiers naturels (x, y), inférieurs ou égaux à 30, tels que
x + y soit un multiple de 3.
4.2 Montrer que, dans un ensemble fini on vide, il y a autant de parties de cardinal pair que de
parties de cardinal impair.
4.3 Dans une classe de 30 élèves, 12 étudient l’anglais, 15 étudient l’allemand, 18 étudient
l’espagnol, 6 étudient l’anglais et l’allemand, 7 l’allemand et l’espagnol, 8 l’espagnol et l’anglais.
Combien d’élèves étudient les trois langues ?
4.4 Soit E un ensemble fini à n éléments où n*. On considère A une partie de E à p éléments.
a. Soit k  ℕ* avec k  n. Combien de parties de E à k éléments contiennent exactement un
élément de A ?
b. Soit k  ℕ* avec k  n. Combien de parties de E à k éléments contiennent au moins un élément
de A ?
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4.5 p-listes, p-arrangements ou p-combinaison ?
1. Quel est le nombre de codes possibles pour une carte bleue ?
2. Au loto, on tire au hasard 6 boules parmi 49. Combien de tirages différents peut-on obtenir ?
3. Au tiercé, une course de chevaux comporte 20 partants. Combien peut-il y avoir de résultats
possibles de tiercés dans l’ordre ?
4. Un porte manteau comporte 5 patères. De combien de façons peut-on y accrocher 3 manteaux
différents ? (avec au plus un manteau par patère).
5. Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On en tire simultanément 3. Combien de
tirages différents peut-on obtenir ?
6. Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On en tire successivement 3 sans remise.
Combien de tirages différents peut-on obtenir ?
7. Combien pièces contient un jeu de dominos?
8.a. Quel est le nombre de façon de choisir 2 délégués dans la classe de PCSI 3 ?
8.b. Quel est le nombre de façon de choisir 2 délégués dans la classe de PCSI 3 si l’on impose un
garçon et une fille ?
9. Quel est le nombre de plaques minéralogiques possibles ?
Une plaque minéralogique est composée de « 2 lettres – 3 chiffres – 2 lettres »
10. Quel est le nombre de plaques minéralogiques possibles dont tous les chiffres et les lettre
sont deux à deux distincts ?
11. Quel est le nombre d’anagrammes du mot PREPA ?
12. Combien de menus différents peut-on composer si on a le choix entre 3 entrées, 2 plats et 4
desserts ?
13. Un QCM, autorisant une seule réponse par question, comprend 15 questions qui ont chacune 4
réponses possibles. De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire ?
4.6 Combien un village doit-il avoir d’habitants au minimum pour que deux personnes au moins
aient les mêmes initiales ?
Rq. On ne prend pas en compte les noms ou les prénoms composés.
4.7 Soit n un entier naturel tel que n  3. Quel est le nombre de diagonales d’un polygone
convexe à n cotés ?
4.8 Soit E l’ensemble des nombres à 6 chiffres ne comportant aucun « 0 ».
a. Déterminer le cardinal de l’ensemble E.
b. Soit E1 l’ensemble des nombres de E ayant six chiffres différents. Déterminer le cardinal de
l’ensemble E1.
c. Soit E2 l’ensemble des nombres pairs de E. Déterminer le cardinal de l’ensemble E2.
d. Soit E3 l’ensemble des nombres de E dont les chiffres forment une suite strictement
croissante (dans l’ordre où ils sont écrits). Déterminer le cardinal de l’ensemble E3.
4.9 Combien y a –t-il de d’entiers dont l’écriture décimale comporte exactement n chiffres
( n  3) et comportant exactement deux chiffres 8 ?
4.10 On souhaite ranger sur une étagère 4 livres distincts de mathématiques, 6 livres de
physique et 3 de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement :
a. Si les livres doivent être regroupés par matière ?
b. Si seuls les livres de maths doivent être regroupés ?
4.11 Quatre garçons et deux filles s’assoient sur un banc.
a. Quel est le nombre de dispositions possibles ?
b. Même question si les garçons sont d’un côté et les filles de l’autre.
c. Même question si chaque fille est intercalée entre 2 garçons.
d. Même question si les filles veulent rester l’une à côté de l’autre.
4.12 On jette 51 miettes sur un table carrée de 1m de côté. Montrer qu’il y a toujours au moins
un triangle formé par 3 miettes dont l’aire vaut au plus 200cm2.
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