Exercice 15
1.
Peut-on paver un échiquier privé de deux cases diagonalement opposées par des dominos (chacun recouvrant
exactement deux cases) ?
2.
Démontrer que l’on peut paver un échiquier 8
×
8par des triominos en forme de L (recouvrant trois
cases) de sorte à laisser vide une case quelconque prescrite à l’avance. (Remplacer 8par 2
n
, et faire une
récurrence. . .)
3.
Quels rectangles sont pavables par des triominos en forme de L ? (La réponse générale n’est, semble-t-il,
pas connue. . .)
Exercice 16
Le principe d’inclusion-exclusion donne lieu à des inégalités : si
A1, . . . , An
sont des parties d’un ensemble
X
,
montrer par exemple que
X
i|Ai| − X
i6=j|Ai∩Aj| ≤ [
i
Ai≤X
i|Ai|.
Exercice 17
Soit Dn,k le nombre de permutations de {1, . . . , n}qui ont exactement kpoints fixes (dérangements).
1. Montrer que Dn,0+··· +Dn,n =n!.
2. Montrer que Dn,k =n
kDn−k,0
3. En déduire que 1
n!Dn,0= 1 −1
1! +1
2! +··· + (−1)n1
n!.
Exercice 18
Le but de l’exercice est de proposer différents calculs de la quantité Qn=Pn
k=0 kn
k.
1. Un raisonnement combinatoire. Calculer Qnen dénombrant l’ensemble
E=(A, x)∈ P({1, . . . , n})× {1, . . . , n};x∈A
de deux manières différentes.
2. Un raisonnement algébrique. Calculer Qnen développant f(X) = (1 + X)net en dérivant.
3. Un raisonnement direct. Calculer Qnen utilisant une formule reliant n
ket n−1
k−1.
4.
Un raisonnement par récurrence. Démontrer la formule donnant
Qn
par récurrence, en utilisant la formule
de Pascal pour les coefficients binomiaux. Quel est l’inconvénient de cette méthode ?
5. Essayer d’adapter les méthodes précédentes pour calculer
n
X
k=0
k2n
kou
n
X
k=0
k(k−1)n
k.
Exercice 19
Soient
d≥
0et
n≥
1des entiers naturels. On souhaite calculer le nombre
an,d
de solutions de l’équation
x1+··· +xn=davec les xientiers, c’est-à-dire le cardinal de l’ensemble
E={(x1, . . . , xn)∈Nn;x1+··· +xn=d}.
On introduit deux ensembles auxiliaires :
—
l’ensemble
F
des suites strictement croissantes de
n
entiers
y1, . . . , yn∈ {
1
, . . . , n
+
d}
telles que
yn
=
n
+
d
,
— l’ensemble Gdes parties à n−1éléments de l’ensemble {1, . . . , n +d−1}.
1. Calculer a1,d et a2,d. Calculez an,0et an,1.
2. Montrer que l’application f:E→Fdéfinie par
f(x1, . . . , xn) = x1+ 1, x1+x2+ 2, x1+x2+x3+ 3,..., n
X
k=1
xk!+n!
est une bijection.
3. Montrer que l’application g:F→Gdéfinie par g(y1, . . . , yn) = {y1, . . . , yn−1}est une bijection.
4. En déduire la valeur de an,d.