Exercices de colle MP* Algèbre générale Adrien Fontaine 18/12/2013 Exercice 1 (Théorème de Wilson) Soit p un nombre premier supérieur à 2. a) Quels sont les éléments de Z/pZ qui sont égaux à leurs inverses ? b) En déduire que p divise (p − 1)! + 1. c) Montrer que si n > 2 divise (n − 1)! + 1 alors n est premier. Exercice 2 Soit p un nombre premier supérieur à 3. a) Quel est le nombre de carrés dans Z/pZ ? b) On suppose p = 1 [4]. En calculant de deux façons (p − 1)!, justifier que −1 est un carré dans Z/pZ. c) On suppose p = 3 [4]. Montrer que −1 n’est pas un carré dans Z/pZ. Exercice 3 (Théorème de Lagrange) Soit H un sous-groupe d’un groupe (G, .) fini. a) Montrer que les ensembles aH = {ax/x ∈ H} avec a ∈ G ont tous le cardinal de H. b) Montrer que les ensembles aH avec a ∈ G sont deux à deux confondus ou disjoints. c) En déduire que le cardinal de H divise celui de G. d) Application : Montrer que tout élément de G est d’ordre fini et que cet ordre divise le cardinal de G. Exercice 4 Soit n ∈ N tel que n > 2. Déterminer les morphismes du groupe (Sn , ◦) vers (C? , ×). Exercice 5 Soit ϕ un morphisme d’un groupe fini (G, ?) vers (C? , ×). On suppose que ϕ n’est pas une application constante. Calculer X ϕ(x) x∈G Exercice 6 On note D= p /p ∈ Z, n ∈ N 10n 1 2 l’ensemble des nombres décimaux. a) Montrer que D est un sous-anneau de (Q, +, ×). b) Montrer que les idéaux de D sont principaux (c’est-à-dire de la forme aD avec a ∈ D). Exercice 7 (Z est noethérien) Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de Z est stationnaire. Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de K [X] ?. Exercice 8 Soit G un groupe multiplicatif de cardinal pα avec p premier et α ∈ N? . Montrer que Z(G) 6= {1}