Algèbre générale.

Exercices de colle MP*
Algèbre générale
Adrien Fontaine
18/12/2013
Exercice 1 (Théorème de Wilson)
Soit pun nombre premier supérieur à 2.
a) Quels sont les éléments de Z/pZqui sont égaux à leurs inverses ?
b) En déduire que pdivise (p−1)! + 1.
c) Montrer que si n>2divise (n−1)! + 1 alors nest premier.
Exercice 2
Soit pun nombre premier supérieur à 3.
a) Quel est le nombre de carrés dans Z/pZ?
b) On suppose p= 1 [4]. En calculant de deux façons (p−1)!, justifier que −1est un carré
dans Z/pZ.
c) On suppose p= 3 [4]. Montrer que −1n’est pas un carré dans Z/pZ.
Exercice 3 (Théorème de Lagrange)
Soit Hun sous-groupe d’un groupe (G, .)fini.
a) Montrer que les ensembles aH ={ax/x ∈H}avec a∈Gont tous le cardinal de H.
b) Montrer que les ensembles aH avec a∈Gsont deux à deux confondus ou disjoints.
c) En déduire que le cardinal de Hdivise celui de G.
d) Application : Montrer que tout élément de Gest d’ordre fini et que cet ordre divise le
cardinal de G.
Exercice 4
Soit n∈Ntel que n>2. Déterminer les morphismes du groupe (Sn,◦)vers (C?,×).
Exercice 5
Soit ϕun morphisme d’un groupe fini (G, ?)vers (C?,×).
On suppose que ϕn’est pas une application constante. Calculer
X
x∈G
ϕ(x)
Exercice 6
On note
D=p
10n/p ∈Z, n ∈N
1

2
l’ensemble des nombres décimaux.
a) Montrer que Dest un sous-anneau de (Q,+,×).
b) Montrer que les idéaux de Dsont principaux (c’est-à-dire de la forme aDavec a∈D).
Exercice 7 (Zest noethérien)
Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de Zest stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de K[X]?.
Exercice 8
Soit Gun groupe multiplicatif de cardinal pαavec ppremier et α∈N?.
Montrer que
Z(G)6={1}