Algèbre générale.

Exercices de colle MP*
Algèbre générale
Adrien Fontaine
18/12/2013
Exercice 1 (Théorème de Wilson)
Soit p un nombre premier supérieur à 2.
a) Quels sont les éléments de Z/pZ qui sont égaux à leurs inverses ?
b) En déduire que p divise (p − 1)! + 1.
c) Montrer que si n > 2 divise (n − 1)! + 1 alors n est premier.
Exercice 2
Soit p un nombre premier supérieur à 3.
a) Quel est le nombre de carrés dans Z/pZ ?
b) On suppose p = 1 [4]. En calculant de deux façons (p − 1)!, justifier que −1 est un carré
dans Z/pZ.
c) On suppose p = 3 [4]. Montrer que −1 n’est pas un carré dans Z/pZ.
Exercice 3 (Théorème de Lagrange)
Soit H un sous-groupe d’un groupe (G, .) fini.
a) Montrer que les ensembles aH = {ax/x ∈ H} avec a ∈ G ont tous le cardinal de H.
b) Montrer que les ensembles aH avec a ∈ G sont deux à deux confondus ou disjoints.
c) En déduire que le cardinal de H divise celui de G.
d) Application : Montrer que tout élément de G est d’ordre fini et que cet ordre divise le
cardinal de G.
Exercice 4
Soit n ∈ N tel que n > 2. Déterminer les morphismes du groupe (Sn , ◦) vers (C? , ×).
Exercice 5
Soit ϕ un morphisme d’un groupe fini (G, ?) vers (C? , ×).
On suppose que ϕ n’est pas une application constante. Calculer
X
ϕ(x)
x∈G
Exercice 6
On note
D=
p
/p ∈ Z, n ∈ N
10n
1
2
l’ensemble des nombres décimaux.
a) Montrer que D est un sous-anneau de (Q, +, ×).
b) Montrer que les idéaux de D sont principaux (c’est-à-dire de la forme aD avec a ∈ D).
Exercice 7 (Z est noethérien)
Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de Z est stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de K [X] ?.
Exercice 8
Soit G un groupe multiplicatif de cardinal pα avec p premier et α ∈ N? .
Montrer que
Z(G) 6= {1}