Le théorème d`Erdös-Ginzburg-Ziv - IMJ-PRG

Le théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv
Agrégation externe
2015-2016
Le but de cette note est de présenter une application du théorème de Chevalley-Warning, en
démontrant le résultat suivant :
Soit n > 1un entier et considérons 2n−1entiers a1, . . . , a2n−1. Il existe alors un sous-
ensemble Ide {1,...,2n−1}de cardinal ntel que l’entier Pi∈Iaisoit divisible par
n.
Théorème 1 (Erdös-Ginzburg-Ziv)
Démonstration. On commence par traiter le cas où l’entier n=pest un nombre premier. Consi-
dérons les polynômes f, g ∈Fp[X1, . . . , X2p−1]définis par
(f=Xp−1
1+· · · +Xp−1 2p−1,
g=a1Xp−1
1+· · · +a2p−1Xp−1 2p−1.
Les relations
deg(f) + deg(g) = 2p−2<2p−1
permettent d’appliquer le théorème de Chevalley-Warning : le nombre de solutions dans F2p−1
pdu
système d’équations f(x1, . . . , x2p−1) = g(x1, . . . , x2p−1)=0est divisible par p. L’existence de la
solution triviale x1=· · · =x2p−1= 0 permet alors d’affirmer qu’il existe une solution (x1, . . . , xn)
pour laquelle au moins une des variables est non nulle. Posons
I={i|xi6= 0}.
L’identité
xp−1=(0si x= 0,
1sinon,
valable pour tout x∈Fpamène aux relations
f(x1, . . . , x2p−1) = card(I),
g(x1, . . . , x2p−1) = X
i∈I
ai.
On en déduit donc que pdivise le cardinal de Iet l’entier Pi∈Iai. Finalement, les inégalités
0<card(I)<2pimpliquent que card(I) = p.
Passons maintenant au cas général, en procédant par récurrence sur l’entier n. Le cas n= 2 est
un cas particulier ce ce qui précède. Supposons donc que la propriété est vérifiée pour tout entier
strictiement inférieur à n > 2et montrons qu’il en est de même pour n. Soient donc a1, . . . , a2n−1
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des entiers. Le cas npremier est démontré. Si nest composé, on obtient une factorisation du type
n=mp, avec met pentiers tels que 1< m ≤p<n. L’inégalité 2p−1≤2n−1implique qu’il
existe un sous-ensemble J1⊂I1={1,...,2n−1}de cardinal ptel que l’entier b1=Pi∈J1aisoit
divisible par p. En posant I2=I1−J1, on obtient l’inégalité
2p−1≤card(I2) = 2n−1−p= (2m−1)p−1.
Il existe donc J2⊂I2de cardinal ptel que l’entier b2=Pi∈I2aisoit divisible par p. En itérant ce
procédé, on obtient 2m−1sous-ensembles J1, . . . , J2m−1⊂I1deux à deux disjoints et de cardinal
pet 2m−1entiers b1, . . . , b2m−1correspondants, tous divisibles par p. En posant ci=p−1bi, on
obtient 2m−1entiers c1, . . . , c2m−1et, par hypothèse de récurrence, il existe un sous-ensemble
K⊂ {1,...,2m−1}de cardinal mtel que l’entier c=Pi∈Kcisoit divisible par m. On en
déduit alors que l’entier Pi∈Kbiest divisible par n. Il suffit maintenant de remarquer que l’union
I=Si∈KJiest de cardinal net que l’on a l’identité
X
i∈K
bi=X
i∈I
ai.
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