Le théorème d`Erdös-Ginzburg-Ziv - IMJ-PRG

Agrégation externe
Le théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv
2015-2016
Le but de cette note est de présenter une application du théorème de Chevalley-Warning, en
démontrant le résultat suivant :
Théorème 1 (Erdös-Ginzburg-Ziv)
Soit n > 1 un entier et considérons 2n − 1 entiers a1 , . . . , a2n−1
P. Il existe alors un sousensemble I de {1, . . . , 2n − 1} de cardinal n tel que l’entier i∈I ai soit divisible par
n.
Démonstration. On commence par traiter le cas où l’entier n = p est un nombre premier. Considérons les polynômes f, g ∈ Fp [X1 , . . . , X2p−1 ] définis par
(
p−1
f = X1p−1 + · · · + X2p−1
,
p−1
p−1
g = a1 X1 + · · · + a2p−1 X2p−1
.
Les relations
deg(f ) + deg(g) = 2p − 2 < 2p − 1
du
permettent d’appliquer le théorème de Chevalley-Warning : le nombre de solutions dans F2p−1
p
système d’équations f (x1 , . . . , x2p−1 ) = g(x1 , . . . , x2p−1 ) = 0 est divisible par p. L’existence de la
solution triviale x1 = · · · = x2p−1 = 0 permet alors d’affirmer qu’il existe une solution (x1 , . . . , xn )
pour laquelle au moins une des variables est non nulle. Posons
I = {i | xi 6= 0}.
L’identité
(
x
p−1
=
0 si x = 0,
1 sinon,
valable pour tout x ∈ Fp amène aux relations


 f (x1 , . . . , x2p−1 ) = card(I),
X
g(x1 , . . . , x2p−1 ) =
ai .


i∈I
P
On en déduit donc que p divise le cardinal de I et l’entier
i∈I ai . Finalement, les inégalités
0 < card(I) < 2p impliquent que card(I) = p.
Passons maintenant au cas général, en procédant par récurrence sur l’entier n. Le cas n = 2 est
un cas particulier ce ce qui précède. Supposons donc que la propriété est vérifiée pour tout entier
strictiement inférieur à n > 2 et montrons qu’il en est de même pour n. Soient donc a1 , . . . , a2n−1
1
des entiers. Le cas n premier est démontré. Si n est composé, on obtient une factorisation du type
n = mp, avec m et p entiers tels que 1 < m ≤ p < n. L’inégalité 2p − 1 ≤ 2n − 1 implique
qu’il
P
existe un sous-ensemble J1 ⊂ I1 = {1, . . . , 2n − 1} de cardinal p tel que l’entier b1 = i∈J1 ai soit
divisible par p. En posant I2 = I1 − J1 , on obtient l’inégalité
2p − 1 ≤ card(I2 ) = 2n − 1 − p = (2m − 1)p − 1.
P
Il existe donc J2 ⊂ I2 de cardinal p tel que l’entier b2 = i∈I2 ai soit divisible par p. En itérant ce
procédé, on obtient 2m − 1 sous-ensembles J1 , . . . , J2m−1 ⊂ I1 deux à deux disjoints et de cardinal
p et 2m − 1 entiers b1 , . . . , b2m−1 correspondants, tous divisibles par p. En posant ci = p−1 bi , on
obtient 2m − 1 entiers c1 , . . . , c2m−1 et, par hypothèse de récurrence,
il existe un sous-ensemble
P
K ⊂ {1, . . . , 2m − 1} dePcardinal m tel que l’entier c =
c
soit
divisible par m. On en
i
i∈K
déduit
alors
que
l’entier
b
est
divisible
par
n.
Il
suffit
maintenant
de
remarquer que l’union
i
i∈K
S
I = i∈K Ji est de cardinal n et que l’on a l’identité
X
bi =
i∈K
X
i∈I
2
ai .