Algèbre, ensemble, groupes

Algèbre, ensemble, groupes
0 - Ensembles
0.1 Généralités
Les notions d'ensemble et d'appartenance sont des notions absolument fondamentales pour les
mathématiques. Il n'est pas possible d'en donner directement une définition rigoureuse. La seule
manière de les « définir » est de faire la liste des axiomes régissant la relation d'appartenance d'un
élément à un ensemble. C'est ce que fait l'axiomatique de Zermelo-Frankel, que l'on n'abordera pas
ici.
Terminologie : Un objet a est appelé un élément d'un ensemble A ssi (si et seulement si) il appartient
à A.
Définition 2 : Soient deux ensembles A et B. A est inclus dans B (noté
A est un élément de B. Autrement dit ssi ∀ x( x∈ A→ x ∈B)
A⊂ B ) ssi tout élément de
Définition 3 : Soient deux ensembles A et B. A∩ B est l'ensemble des éléments de A qui
appartiennent à B. On a A∩ B={ x tels que x ∈A∧x ∈B }
Définition 4 : Soient deux ensembles A et B : A union B est l'ensemble des éléments de A ou de B.
On a A∪ B={ x tels que x ∈A∨x ∈B }
Définition 5 : Soit A un ensemble ayant un nombre fini d'éléments. Le cardinal de A est le nombre
de ses éléments noté card(A) ou cardinal(A).
0.2 Produit cartésien
Définition 5. Soient A et B deux ensembles. Le produit cartésien AxB est l'ensemble des couples
(x,y) dont le premier terme est un élément de A et le second un élément de B.
Ne pas confondre un couple (a,b) et une paire {a,b}.
– Une paire est un ensemble.
– (a,b) et (b,a) sont deux couples différents. {a,b} et {b,a} sont la même paire.
– (a,a) est un couple alors que {a,a} est identique à {a} et est donc un singleton.
Proposition : Si A et B ont un cardinal fini, alors cardinal (AxB) = cardinal (A) x cardinal (B)
Exercice : Soit A ensemble de cardinal fini n. Quel est le cardinal de l'ensemble P des paires
d'éléments de A ?
Réponse : (n-1) + (n-2) + ... + 2 +1 (à justifier, puis à démontrer par récurrence si vous pouvez)
(si n=1, cardinal (P) = 0, si n=2 cardinal(P) = 1, si n=3 cardinal(P) = 3, etc...)
0.3 Ensembles de nombres
ℕ ensemble des entiers naturels
ℤ ensemble des entiers relatifs
ℚ ensemble des rationnels
ℝ ensemble des réels
On A : ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
Définition : un ensemble est dénombrable si et seulement si il a le même cardinal que N.
Remarque : Pour des ensembles finis, dire que 2 ensembles ont même cardinal ne pose pas de
problème. Pour des ensembles infinis, cela veut dire qu'on peut établir une correspondance terme à
terme entre les éléments de l'un et ceux de l'autre (on appellera cela une « bijection » dans le
chapitre suivant). Dire qu'un ensemble est dénombrable, c'est donc dire qu'on peut établir une
correspondance terme à terme entre ses éléments et les nombres entiers, et donc qu'on peut
« compter » ses éléments de 1 ou 0 à l'infini.
Proposition : ℕ , ℤ ,ℚ sont dénombrables.
Démonstration :
ℕ est évidemment dénombrable.
ℤ est dénombrable car on peut compter les entiers relatifs en comptant alternativement un
positif et un négatif, et on parcourt tout ℤ de cette manière. 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, etc.
ℚ est dénombrable car tout rationnel se représente sous la forme d'une fraction qp . À chaque
fraction, on peut associer le point du plan de coordonnées (p,q) entières. Et on peut compter chaque
point de coordonnées entières en suivant l'ordre donnés par les flèches à partir de 0 dans le schéma
suivant :
Remarque : que ℚ soit dénombrable, c'est à dire ait le même cardinal que les entiers naturels,
peut apparaître comme paradoxal, dans la mesure où il y a un nombre infini de rationnels entre
chaque entier, et même à l'intérieur de chaque intervalle aussi petit soit-il. On dirait qu'il y a donc
beaucoup plus de rationnels que d'éléments de ℕ Ce n'est pas le cas.
Proposition : ℝ n'est pas dénombrable.
Démonstration : méthode de la diagonale. On fait une démonstration par l'absurde.
Supposons que ℝ soit dénombrable. On peut donc ranger tous les nombres réels en les
numérotant du premier à l'infini selon la suite des nombres entiers. Supposons une telle
numérotation, a 1, a 2, a 3, ... , a n , ... , qui comprenne tous les nombres réels plus grands ou égaux à 0
et strictement plus petits que 1 ( intervalle noté [0, 1[ ).
Considérons ces nombres dans leur représentation décimale sous la forme : 0, suivi d'une suite
infinie d'entiers.
Soit le nombre réel construit au moyen du procédé suivant : pour tout i,
sa ième décimale est 1 si la ième décimale du ième réel est différente de 1,
2 sinon.
Ce nombre ne peut appartenir à la suite numérotée des réels, car il diffère de chaque élément de la
suite par au moins une décimale. Ce qui contredit l'hypothèse de départ. CDFD.
L'étude des cardinaux des ensembles infinis conduit à développer une théorie des infinis ou des
« nombres transfinis ». Card( ℕ ) est le plus petit nombre transfini, appelé Aleph 0. Le plus petit
nombre suivant Aleph 0 est appelé Aleph 1.
L'hypothèse que Aleph 1 est le cardinal de ℝ est appelée hypothèse du continu. Son
indécidabilité a été démontrée par Paul Cohen.
1 – Groupes
1.1 Groupes
Définition : un groupe est un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne (G, ∗) tel
que :
• ∗ est associative ;
• ∗ admet un neutre e ;
• pour tout élément x de G, il existe un élément y de G tel que x∗ y = y∗x = e. On dit que y
est le symétrique de x.
Définition : Si en outre pour tout éléments x, y de G on a
groupe commutatif, ou encore abélien.
x∗ y= y∗x , , on dit que (G, ∗) est un
Exemples de groupes
• ℤ , ℚ , ℝ , munis de la somme.
• ℚ∗ ,ℝ ∗ , munis du produit.
En revanche, ℕ muni de l'addition et ℝ muni de la multiplication ne sont pas des groupes.
1.2 Sous-groupes
Définition : un sous-groupe d’un groupe (G, ∗) est une partie non vide H de G telle que :
• ∗ induit sur H une loi de composition interne.
• Muni de cette loi, H est un groupe.
On note alors : H < G.
Proposition : Soit(G, *) un groupe. Une partie non vide H de G est un sous-groupe si et seulement
si :
– l'élément neutre e de G appartient à H ;
– H est stable par ∗ ;
– pour tout x ∈ H, le symétrique y de x, qui est dans G, est aussi dans H.
Exercice 5 On définit l’ensemble :Z[ 2] = {k + l √ 2 , avec k, l ∈ Z}.
Montrer que (Z[ √ 2 ], +) où + est l’addition usuelle des réels, est un groupe.
1.3 Morphismes de groupes
Définition : soient (G, ∗) et (H, . ) deux groupes. Une application de G dans H est un morphisme de
groupes lorsque : ∀x, y ∈ G, f (x ∗ y) = f (x) . f (y).
• Si G = H et ∗ = . , on parle d’endomorphisme.
• Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.
• Si f est un endomorphisme bijectif, on parle d’automorphisme.
Propositions diverses : Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, . ).
• Si eG est l'élément neutre de G et eH l'élément neutre de H, f (eG ) = eH .
• Si f est un isomorphisme, alors son application réciproque g est un isomorphisme de (H, .) sur
(G, ∗).
• Si G1 < G, alors f ( G1 ) < H.
• Si H1 < H, soit K l'ensemble des éléments de G envoyés sur H1 par f. On a K< G.