Définition : un ensemble est dénombrable si et seulement si il a le même cardinal que N.
Remarque : Pour des ensembles finis, dire que 2 ensembles ont même cardinal ne pose pas de
problème. Pour des ensembles infinis, cela veut dire qu'on peut établir une correspondance terme à
terme entre les éléments de l'un et ceux de l'autre (on appellera cela une « bijection » dans le
chapitre suivant). Dire qu'un ensemble est dénombrable, c'est donc dire qu'on peut établir une
correspondance terme à terme entre ses éléments et les nombres entiers, et donc qu'on peut
« compter » ses éléments de 1 ou 0 à l'infini.
Proposition :
sont dénombrables.
Démonstration :
est évidemment dénombrable.
est dénombrable car on peut compter les entiers relatifs en comptant alternativement un
positif et un négatif, et on parcourt tout
de cette manière. 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, etc.
est dénombrable car tout rationnel se représente sous la forme d'une fraction
. À chaque
fraction, on peut associer le point du plan de coordonnées (p,q) entières. Et on peut compter chaque
point de coordonnées entières en suivant l'ordre donnés par les flèches à partir de 0 dans le schéma
suivant :
Remarque : que
soit dénombrable, c'est à dire ait le même cardinal que les entiers naturels,
peut apparaître comme paradoxal, dans la mesure où il y a un nombre infini de rationnels entre
chaque entier, et même à l'intérieur de chaque intervalle aussi petit soit-il. On dirait qu'il y a donc
beaucoup plus de rationnels que d'éléments de
Ce n'est pas le cas.
Proposition :
n'est pas dénombrable.
Démonstration : méthode de la diagonale. On fait une démonstration par l'absurde.
Supposons que
soit dénombrable. On peut donc ranger tous les nombres réels en les
numérotant du premier à l'infini selon la suite des nombres entiers. Supposons une telle
numérotation,
a1, a2, a3, ..., an,... ,
qui comprenne tous les nombres réels plus grands ou égaux à 0
et strictement plus petits que 1 ( intervalle noté [0, 1[ ).
Considérons ces nombres dans leur représentation décimale sous la forme : 0, suivi d'une suite
infinie d'entiers.
Soit le nombre réel construit au moyen du procédé suivant : pour tout i,
sa ième décimale est 1 si la ième décimale du ième réel est différente de 1,
2 sinon.
Ce nombre ne peut appartenir à la suite numérotée des réels, car il diffère de chaque élément de la
suite par au moins une décimale. Ce qui contredit l'hypothèse de départ. CDFD.
L'étude des cardinaux des ensembles infinis conduit à développer une théorie des infinis ou des
« nombres transfinis ». Card(
) est le plus petit nombre transfini, appelé Aleph 0. Le plus petit
nombre suivant Aleph 0 est appelé Aleph 1.
L'hypothèse que Aleph 1 est le cardinal de
est appelée hypothèse du continu. Son
indécidabilité a été démontrée par Paul Cohen.