x - Dellac-Prof.Term S

Term S Ch 7 : Fonctions trigonométriques Page 1
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Objectif n° 1 : Fonctions paires - Fonctions impaires
Exercice 1 : On considère la fonction f définie par f (x) = x² + 2
x² − 4. On nomme
C f sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.
1 ) Déterminer l'ensemble de définition de f ( on le notera D f dans la suite de l'exercice )
Remarque : on constate que cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
2 ) a ) Dresser le tableau de signes de x² − 4
b) Etudier la limite de f au voisinage de 2 ( on pourra distinguer deux cas, selon que l'on se place " à droite" ou "à gauche " de 2 )
c ) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3 ) On cherche à déterminer la limite de f au voisinage de + ∞.
a ) S'agit-il d'une forme indéterminée ? De quel type ?
b ) Démontrer que pour tout réel x non nul de D f , on a : f ( x) = 1 + 2
x²
1 − 4
x²
c ) En déduire la limite de f au voisinage de + ∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
4 ) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous puis placer les points correspondants dans le repère ci-dessous :
x − 4 − 1 0 1 4
f (x)
Points A B C D E
5 ) Démontrer que pour tout x de D f , on a : f ( − x) = f ( x) . Quelle en sera la conséquence graphique pour C f ?
6 ) Le tableau de variations de f est partiellement donnée ci-dessous. Compléter ce tableau.
7 ) Esquisser C f dans le repère ci-dessous en mettant en évidence les points à tangente horizontale ainsi que les asymptotes obtenues.

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Définition : soit f une fonction définie sur un ensemble D f
Si D f est symétrique par rapport à 0 et si pour tout réel x de D f , on a f ( − x) = f (x) alors on dit que f est une fonction paire.
Propriété : si f est une fonction paire, alors sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées.
Exercice 2 : On considère la fonction f définie par f (x) = 2 x
x² + 1. On nomme
C f sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.
1 ) Déterminer l'ensemble de définition de f ( on le notera D f dans la suite de l'exercice )
Remarque : on constate encore que cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
2 ) On cherche à déterminer la limite de f au voisinage de + ∞.
a ) S'agit-il d'une forme indéterminée ? De quel type ?
b ) Démontrer que pour tout réel x non nul de D f , on a : f ( x) = 2
x + 1
x
c ) En déduire la limite de f au voisinage de + ∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
3 ) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous puis placer les points correspondants dans le repère ci-dessous :
x − 5 − 1 0 1 5
f (x)
Points A B C D E
4 ) Démontrer que pour tout x de D f , on a : f ( − x) = − f ( x) . Quelle en sera la conséquence graphique pour C f ?
5 ) Le tableau de variations de f est partiellement donnée ci-contre.
Compléter ce tableau.
6 ) Esquisser C f dans le repère ci-dessous en mettant en évidence les points à tangente horizontale ainsi que les asymptotes obtenues.
Définition : soit f une fonction définie sur un ensemble D f
Si D f est symétrique par rapport à 0 et si pour tout réel x de D f , on a f ( − x) = − f (x) alors on dit que f est une fonction impaire
Propriété : si f est une fonction impaire, alors sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à
l'origine.

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Exercice 3 : On considère les quatre fonctions définies ci-dessous :
f (x) = 2 x
4
x² + 5 g (x) = 7x
5
− 3x
3
+ 4x h (x) = 5 x − 10 h (x) = 3x² + 5 x −
1
Pour chacune de ces fonctions :
1 ) Déterminer l'ensemble de définition.
2 ) Déterminer s'il s'agit d'une fonction paire ? impaire ? ni paire ni impaire ?
Exercice 4 : Pour chacune des fonctions dont la courbe représentative est donnée ci-dessous, indiquer sa parité.
Exercice 5 : Soit f une fonction quelconque définie sur un ensemble D f symétrique par rapport à 0.
On définit les fonctions g et h par g (x) = f (x) + f (− x)
2 et h (x) = f (x) − f (− x) 2
1. Montrer que g est une fonction paire et que h est une fonction impaire.
2. Montrer que f (x) = g (x) + h (x)
3. Soit f la fonction définie par f (x) = e
x
a. Déterminer l'ensemble de définition de f
b. Etudier la parité de f
c. Ecrire f comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

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Objectif n° 1 : Trigonométrie de 1
ère
Exercice 6 : soit x un réel quelconque et M
1
(x) le point du cercle
trigonométrique ci-contre associé à ce réel. On nomme a son abscisse et b son ordonnée.
1. Construire le point M
2
(− x).
Compléter : M
2
est le …........................... de M
1
par rapport à l'axe des
…........................ On peut ainsi en déduire les coordonnées de M
2
en fonction de a et b : M
2
(......... ; .........).
2. Construire le point M
3
( π − x).
Compléter : M
3
est le …............................ de M
1
par rapport à l'axe
des …........................ On peut ainsi en déduire les coordonnées
de M
3
en fonction de a et b : M
3
(........ ; .........).
3. Construire le point M
4
( π + x).
Compléter : M
4
est le …............................ de M
1
par rapport au
point ............. On peut ainsi en déduire les coordonnées
de M
4
en fonction de a et b : M
4
(......... ; .........).
4. Construire le point M
5
( π
2 − x) puis compléter :
M
5
est le …................................ de M
1
par rapport à la droite
d'équation y = ..... . On peut ainsi en déduire les coordonnées
de M
5
en fonction de a et b : M
5
(......... ; ..........).
5. Construire le point M
6
( π
2 + x) puis compléter : M
6
est le …....................... de M
5
par rapport à l'axe des …............................... On peut
ainsi en déduire les coordonnées de M
6
en fonction de a et b : M
6
(...... ; ......).
6. Sachant que a = cos x et que b = sin x, compléter les égalités ci-dessous avec cos x et sin x en utilisant les résultats précédents:
Point M
2
... ... ... ...
Abscisse cos (− x ) = ... cos ( π − x ) = ... cos ( π + x ) = ... cos ( π
2 − x ) = ... cos ( π 2 + x ) = ...
Ordonnée sin (− x ) = ... sin ( π − x ) = ... sin ( π + x ) = ... sin ( π
2 − x ) = ... sin ( π 2 + x ) = ...
7. Soit x un réel tel que cos x = 5
13 et sin x = 12 13. A l'aide des égalités mises en évidence dans la question précédente, calculer la valeur
exacte de chacun des nombres ci-dessous.
cos (− x ) = sin ( π − x ) = cos ( π
2 + x ) = cos ( 2π + x ) =
L'exercice précédent a permis de retrouver les formules déjà vues en 1
ère
. Il faut être capable de les retrouver rapidement à l'aide d'une
figure à main levée.
Propriété : si x est un réel quelconque :
cos (− x ) = cos x cos ( π − x ) = − cos x cos ( π + x ) = − cos x cos ( π
2 − x ) = sin x cos ( π 2 + x ) = − sin x
sin (− x ) = − sin x sin ( π − x ) = sin x sin ( π + x ) = − sin x sin ( π
2 − x ) = cos x sin ( π 2 + x ) = cos x
Rappelons également une autre propriété liant cosinus et sinus : pour tout x réel : cos² x + sin² x = 1
Exercice 7 :
1. Soit a un réel tel que cos a = 0,3 et sin a < 0.
On nomme A le point du cercle trigonométrique associé à l'angle de mesure a.
a. Placer A sur le cercle trigonométrique ci-dessous ( page 2 )
b.
Déterminer la valeur exacte de sin a.

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2. Soit b un réel tel que cos b < 0 et sin b = − 0,4.
On nomme B le point du cercle trigonométrique associé à l'angle de
mesure b.
Placer B sur le cercle trigonométrique ci-contre.
3. Soit c un réel tel que cos c = sin c
Placer sur le cercle trigonométrique ci contre tous les points (nommés
C
1
, C
2
, etc ) associés à l'angle de mesure c.
4. Soit d un réel tel que cos d = 1,1.
Placer sur le cercle trigonométrique ci contre un point D associé à
l'angle de mesure d.
Remarque : la dernière question de l'exercice précédent met en
évidence la propriété suivante :
Pour tout réel x, on a − 1  cos x  1 et − 1  sin x  1
Exercice 8 : soit a un réel tel que cos a = 33
7 et a ∈ ] − π ; 0 [ .
1. Préciser le signe de sin a .
2. Déterminer la valeur exacte de sin a.
3. Préciser la valeur exacte des nombres A, B, C et D ci-dessous :
A = cos ( π
2 + a ) B = sin ( π − a ) C = cos ( 2π + a ) D = cos² a + sin ² a
Exercice 9 : on rappelle les 2 formules vues en 1
ère
( appelées formules d'addition ) : soient x et y deux réels quelconques; on a :
1 ) cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y b ) sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
1 ) A l'aide des deux formules précédentes, compléter les formules suivantes :
a ) cos ( x − y ) = b ) sin ( x − y ) =
c ) cos ( 2x ) = d ) sin ( 2x ) =
2 ) A l'aide de la formule trouvée au 1 ) c ) et de la relation cos² x + sin² x = 1 trouver 2 autres résultats pour cos ( 2x ) :
a ) cos ( 2x ) = b ) cos ( 2x ) =
3 ) Le cosinus et le sinus de certains réels doivent être connus :
a ) Compléter le tableau suivant par des valeurs exactes :
x 0 π
6 π 4 π 3 π 2 π
cos x
sin x
b ) Soit a un réel quelconque; exprimer en fonction de cos a et de sin a chacun des nombres suivants :
c ) Donner la valeur exacte des nombres suivants :
A = cos ( a + π
3 ) B = sin ( a − π 6 ) C = cos ( a − π 4 )
D = sin ( 2π
3 ) E = cos ( π 12 ) F = cos ( 5π 6 )