CHAPITRE 4 NOMBRES COMPLEXES

CHAPITRE 4
NOMBRES COMPLEXES
4.1. Description informelle des nombres complexes
Les nombres complexes s’obtiennent à partir des nombres réels en introduisant un nouveau « nombre » noté i (comme imaginaire) et en supposant que l’on peut continuer à additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres de la manière habituelle, à ceci près que
le nombre i est supposé être une racine carrée de −1, c’est à dire qu’il doit vérifier :
i 2 = i × i = −1.
(35)
On appelle alors nombre complexe tout « nombre » de la forme a+i b avec a, b ∈ R (c’est à dire
obtenu en ajoutant, au nombre réel a, le produit i × b). On note C l’ensemble des nombres
complexes. Tout nombre réel a peut s’écrire a = a + 0i , donc R ⊂ C.
p
Exemple. — 3 + 2i , 1 − i 2, π, 3i sont des nombres complexes.
Remarque. — En fonction du contexte, on écrit a + i b ou a + bi (le résultat est le même :
comme dans R, la multiplication est commutative dans C).
D’un point de vue pratique, on peut se contenter d’une manipulation intuitive et informelle des nombres complexes et dire que les calculs dans C se font « comme dans R ». D’un
point de vue théorique, des questions restent en suspens : qui est véritablement le nombre i ,
qu’est-ce qui nous donne le droit de faire des calculs « de la manière habituelle », et en quoi
consiste précisément cette manière « habituelle » de calculer ? La section suivant répond à
ces questions en donnant une construction rigoureuse des nombres complexes à partir des
nombres réels.
4.2. Construction des nombres complexes (⋆)
Par définition, un nombre complexe est un couple de nombre réels. On définit la somme
z + w de deux nombres complexes z = (a, b) et w = (c, d ) par
et leur produit zw par
z + w := (a + c, b + d ),
zw := (ac − bd , ad + bc).
On montre alors facilement que :
4.2. CONSTRUCTION DES NOMBRES COMPLEXES (⋆)
27
1. ces deux opérations sont commutatives et associatives ;
2. la multiplication est distributive sur l’addition ;
3. (0, 0) est élément neutre pour l’addition et (1, 0) est élément neutre pour la multiplication ;
4. tout nombre complexe z = (a, b) possède un unique symétrique pour l’addition, à savoir le nombre (−a, −b), noté −z et appelé opposé de z ;
5. tout nombre complexe z = (a, b) différent de (0, 0) admet un unique symétrique pour la
multiplication, à savoir le nombre
³ a
−b ´
,
a2 + b2 a2 + b2
noté 1/z ou z −1 et appelé inverse de z.
Avec cette définition, les nombres réels ne sont pas des nombres complexes. On observe néanmoins que (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) et (a, 0)(c, 0) = (ac, 0). On convient alors d’identifier tout nombre réel a avec le nombre complexe (a, 0), de sorte que R s’identifie à une partie
de C (et, par abus de langage, on dira que R est contenu dans C) et que la somme et le produit de deux nombre réels sont les mêmes, qu’ils soient vus comme nombres réels ou comme
nombres complexes.
Dans la pratique, les nombres complexes ne sont pas écrits comme des couples de
nombres réels :
• on s’autorise à écrire a au lieu de (a, 0), en vertu de l’identification dont on vient de
parler ;
• on pose i := (0, 1), qui vérifie la relation i 2 = −1 puisque :
i 2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0);
• on écrit alors a + i b au lieu de (a, b), puisqu’on observe dans un premier temps que
(0, b) = (0, 1)(b, 0) = i b, et ensuite que :
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + i b.
On définit finalement la différence de deux nombres complexes par z − w := z + (−w ), et
le quotient d’un nombre complexe par un nombre complexe non nul par z/w := z × w −1 (en
supposant w 6= 0). Plus concrètement :
(a + i b) − (c + i d ) := (a − c) + i (b − d )
et
ac + bd
bc − ad
a +ib
:= 2
+i 2
c +id
c +d2
c +d2
si (c, d ) 6= (0, 0).
(36)
(37)
Remarque. — La formule (37) n’est pas à retenir par coeur. On la retrouve en multipliant le
numérateur et le dénominateur de (a + i b)/(c + i d ) par le conjugué du dénominateur (voir
plus loin) et en développant :
a + i b (a + i b)(c − i d ) (a + i b)(c − i d ) ac + bd
bc − ad
=
=
= 2
+i 2
.
2
2
2
c + i d (c + i d )(c − i d )
c +d
c +d
c +d2
(38)
4.5. REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
28
Exemples. — (2 + i ) + (3 − 5i ) = 5 − 4i , (2 + i ) − (3 − 5i ) = −1 + 6i , (2 + i )(3 − 5i ) = 11 − 2i , et
2+i
(2 + i )(3 + 5i )
(2 + i )(3 + 5i )
1 4
=
=
+ i.
=
3 − 5i (3 − 5i )(3 + 5i )
32 + 52
36 9
4.3. Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique
De par la définition que l’on vient de donner, tout nombre complexe z s’écrit de manière
unique sous la forme
z = a + i b, avec a et b réels.
(39)
L’écriture (39) est appelée la forme algébrique du nombre complexe z ; le nombre réel a est
appelé la partie réelle de z, et est noté Re(z) ; le nombre réel b est appelé la partie imaginaire
de z, et est noté Im(z). On a ainsi z = Re(z) + i Im(z).
Remarques. —
nulle.
1. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est
2. Les nombre complexes de partie réelle nulle, donc de la forme i b avec b ∈ R, sont appelés imaginaires purs.
3. Le nombre 0 est le seul nombre complexe qui soit à la fois réel et imaginaire pur.
p
3i est un nombre complexe ni réel,
Exemples. — Le nombre
− 2 +p
p
p ni imaginaire pur ; sa
partie réelle est Re(− 2 + 3i ) = − 2, sa partie imaginaire est Im(− 2 + 3i ) = 3. Le nombre 5
est un nombre réel donc aussi un nombre complexe. Le nombre −3i est un nombre complexe
imaginaire pur, de partie imaginaire Im(−3i ) = −3.
Écrire z = a+i b sans plus de précision ne signifie pas que a et b sont réels. Par exemple,
(1 + i ) + i (2 − i ) = (3 + i ) + i (2 + i ).
4.4. L’absence de relation d’ordre sur C
La relation d’ordre usuelle sur R ne peut pas s’étendre de manière satisfaisante à C ; par
exemple, le fait que i 2 = −1 contredit la propriété importante des nombres réels selon laquelle tout carré est positif ou nul.
Pour cette raison, on n’écrit jamais z ≤ w pour des nombres complexes z, w , à moins
qu’ils ne soient réels.
4.5. Représentation géométrique des nombres complexes
Considérons le plan muni d’un repère (1) orthonormé (2) direct (3) (O ;~
i,~
j ). Tout point M
du plan est alors totalement déterminé par ses coordonnées cartésiennes dans le repère ;
1. Un repère du plan est la donnée d’un point du plan et d’un couple de deux vecteurs non colinéaires du plan.
2. Un repère du plan est orthonormé lorsque ses deux vecteurs sont orthogonaux.
3. Un repère du plan est direct lorsque l’on passe du premier au second vecteur « en tournant dans le sens
trigonométrique ».
4.6. CONJUGUÉ D’UN NOMBRE COMPLEXE
29
l’écriture M(a, b) signifie que a (respectivement b) est l’abscisse (respectivement l’ordonnée)
de M dans le repère choisi, c’est à dire que l’on a l’égalité vectorielle
−−→
OM = a~ı + b~.
(40)
A tout nombre complexe z = a + i b (où a, b sont réels) on associe le point M(a, b) du plan.
Réciproquement, à tout point M du plan, de coordonnées (a, b) dans le repère choisi, on associe le nombre complexe z = a+i b. De cette manière, on réalise une bijection entre l’ensemble
des nombres complexes et l’ensemble des points du plan. Dans cette correspondance z ↔ M,
on dit que z est l’affixe de M et que M est le point image de z. Dans la suite, on donnera,
chaque fois que cela est possible, une traduction géométrique des propriétés des nombres
complexes rencontrées.
Exemples. —
1. Les nombres réels correspondent aux points de l’axe des abscisses, les
nombres imaginaires purs correspondent aux points de l’axe des ordonnées. [Faire une
figure]
2. L’addition des nombres complexes se traduit géométriquement par l’addition des vecteurs correspondants (basés à l’origine) dans le plan : si z a pour point image M et si z ′
a pour point image M′ , alors le point image de z + z ′ est le point M′′ tel que
−−−→′′ −−→ −−→′
OM = OM + OM .
3. La multiplication d’un nombre complexe par un nombre réel se traduit par la multiplication du vecteur associé par ce même nombre réel : si z a pour point image M et si
λ ∈ R, alors le point image de λz est le point M′ tel que
−−→′
−−→
OM = λOM.
La traduction géométrique de la multiplication d’un nombre complexe par un autre nombre
complexe fera intervenir les coordonnées polaires des points du plan. On rappelle que tout
point M du plan distinct de l’origine O est totalement déterminé par le couple (ρ, θ), où :
1. ρ = d (O, M) est la distance de M à l’origine ;
−−→
2. θ est la mesure de l’angle orienté (~ı, OM).
On dit que ρ et θ sont les coordonnées polaires de M dans le repère choisi.
Remarque. — Il faut spécifier dans quel intervalle on prend la mesure de l’angle orienté des
vecteurs. Un choix usuel est [0, 2π[, un autre est [−π, π[. A proprement parler, deux choix différents donnent des systèmes différents de coordonnées polaires.
4.6. Conjugué d’un nombre complexe
Définition. — Le conjugué d’un nombre complexe z = a + i b (avec a, b réels) est le nombre
complexe, noté z, défini par z := a − i b.
Exemples. — (a) 2 + 3i = 2 − 3i ; (b) −5 = −5 ; (c) i = −i .
Remarques. —
1. Interprétation géométrique du conjugué. Le point image de z est le
symétrique du point image de z par la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des
abscisses. [Faire une figure]
4.7. MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE
30
2. Un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z.
3. Un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.
4. On a Re(z) = (z + z)/2 et Im(z) = (z − z)/2i . Ces formules permettent de retrouver les
parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe z à partir de ce nombre et de son
conjugué. Attention à la présence de i au dénominateur du membre de droite de la
seconde inégalité.
Proposition. — Quels que soient z, w ∈ C, en supposant z 6= 0 dans (iv) et w 6= 0 dans (v), on
a les relations suivantes :
(1) (z) = z ;
(2) z + w = z + w ;
(3) zw = z w ;
(4) 1/z = 1/z ;
(5) z/w = z/w ;
(6) zz = Re(z)2 + Im(z)2 .
Démonstration. — Vérification directe, en revenant à la définition du conjugué et en écrivant les nombres complexes sous forme algébrique.
Remarques. —
1.
En particulier, zz est toujours un nombre réel, positif ou nul, et
zz = 0 si et seulement si z = 0.
2. Pour mettre sous forme algébrique le quotient de deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (méthode déjà
vue plus haut). Par exemple, 1/(2−i ) = (2+i )/((2−i )(2+i )) = (2+i )/(22 +12 ) = (2+i )/5. :
4.7. Module d’un nombre complexe
On vient de voir que, pour tout z ∈ C, le nombre zz est réel et positif ou nul. On peut donc
bien prendre sa racine carrée dans la définition qui suit.
Définition. — Le module d’un nombre complexe z est le nombre réel, noté |z |, défini par :
p
(41)
|z | := zz.
Si z est donné sous forme algébrique par z = a + i b avec a, b réels, alors :
p
|z | = a 2 + b 2 .
p
p
Exemples. — | ± 1 | = | ± i | = 1, | ± 1 ± i | = 2 et | ± 1 ± i 3 | = 2.
(42)
Remarques. —
1. Interprétation géométrique du module. Le module de z est égal à
la distance à l’origine du point image M de z dans le repère orthonormé direct choisi
(théorème de Pythagore). [Faire un dessin]
2. Si z est un nombre réel, son module coïncide avec sa valeur absolue ; l’écriture |z | est
donc cohérente.
Proposition. — Soit z un nombre complexe. Alors :
1. |z | est un nombre réel positif ou nul.
2. |z | = 0 si et seulement si z = 0.
3. |z | = |z |.
4.8. ARGUMENTS D’UN NOMBRE COMPLEXE
31
4. | Re(z) | ≤ |z | et | Im(z) | ≤ |z |.
5. En supposant z 6= 0 :
(a) 1/z = z/|z |2 .
(b) |z | = 1 si et seulement si z = 1/z.
Démonstration. — Vérifications directes, en utilisant la définition.
Proposition. — Soient z, w ∈ C. Alors :
1. |zw | = |z | |w | ;
2. |z/w | = |z |/|w |, si w 6= 0.
Démonstration. — Vérification directe.
Le comportement du module par somme et différence est moins simple que par produit
et quotient. Le résultat suivant est appelé inégalité triangulaire, en référence à son interprétation géométrique [Faire une figure].
Proposition. — Quels que soient z, w ∈ C, on a |z + w | ≤ |z | + |w |.
Démonstration. — Soient z, w ∈ C. On a |z +w |2 = (z +w )(z + w) = (z +w )(z +w) = zz +w w +
zw + zw = |z |2 + |w |2 + 2 Re(zw) ≤ |z |2 + |w |2 + 2|zw | = |z |2 + |w |2 + 2|z ||w | = |z |2 + |w |2 +
2|z ||w | = (|z | + |w |)2 . On en déduit l’inégalité |z + w | ≤ |z | + |w | passant à la racine carrée
(tout est positif).
Remarque. — En reprenant la démonstration, on voit que |z + w | = |z | + |w | si et seulement
si z et w sont positivement colinéaires (∃ λ ∈ R∗+ | w = λz).
4.8. Arguments d’un nombre complexe
On se donne un repère orienté (O;~
i,~
j ) du plan. Géométriquement, l’argument d’un nombre
−−→
complexe z non nul est une mesure de l’angle orienté formé par les vecteurs ~
i et OM (dans
cet ordre) où M est le point image de z. [Faire une figure]
Soit z un nombre complexe non nul. Le nombre complexe z/|z | est alors de module 1,
puisque |z/|z | | = |z |/|z |. On peut donc écrire :
z
z = |z |
= |z |(a + i b),
(43)
|z |
où a, b sont des réels tels que a 2 + b 2 = 1. D’après les propriétés des fonctions cos et sin, il
existe un nombre réel θ tel que a = cos(θ) et b = sin(θ), donc tel que z = cos(θ) + i sin(θ), et si
ϕ est un autre nombre réel tel que z = cos(ϕ) + i sin(ϕ), alors θ et ϕ sont « égaux modulo 2π »,
c’est à dire il existe k ∈ Z tel que ϕ = θ + 2kπ. [Faire une figure]
Définition. — On appelle argument d’un nombre complexe z non nul tout nombre réel θ
tel que
¡
¢
z = |z | cos θ + i sin θ .
(44)
D’après ce qui précède :
1. tout nombre complexe non nul possède un argument, et même une infinité, puisque :
32
4.8. ARGUMENTS D’UN NOMBRE COMPLEXE
2. si θ est un argument de z, alors les arguments de z sont exactement les réels de la forme
θ + 2kπ, où k ∈ Z.
La notion suivante est utile : si a, b, c sont des nombres réels, on dit que a est congru à
b modulo c, et on écrit
a ≡ b mod (c),
lorsque b − a est un multiple entier relatif de c, c’est à dire lorsqu’il existe un k ∈ Z tel que
b = a + kc. Par exemple, 5π ≡ π mod (2π) puisque 5π − π = 4π est un multiple entier de 2π.
Remarques. —
1. Le nombre complexe 0 ne possède pas d’argument.
2. L’argument principal d’un nombre complexe z non nul est l’unique argument de z qui
appartient à l’intervalle ] − π, π]. Il sera noté ici (4) arg(z), avec une lettre minuscule.
3. On notera (5) Arg(z), avec une lettre majuscule, l’ensemble de tous les arguments de z.
Si θ ∈ R est un argument de z, on a donc Arg(z) = {θ + 2kπ | k ∈ Z}. En particulier,
Arg(z) := {arg(z) + 2kπ | k ∈ Z} = {θ ∈ R | θ ≡ arg z
Exemples. —
mod (2π)}.
(45)
1. L’argument principal de tout nombre réel strictement positif est nul.
2. L’argument principal de tout nombre réel strictement négatif est π.
3. Un argument de i est π/2. D’autres arguments de i sont π/2 + 2π et π/2 − 2π.
4. L’argument principal de 1 + i est π/4. Un autre argument de 1 + i est 9π/4.
Proposition. — Soit z ∈ C non nul. Alors arg(1/z) = arg(z) ≡ − arg(z) mod (2π).
Démonstration. — Découle directement de la définition, en utilisant le fait que la fonction
cos est paire et que la fonction sin est impaire.
Exemples. —
1. arg(1 + i ) = π/4 et arg(1 − i ) = −π/4.
p
p
2. arg(−1/2 + i 3/2) = 2π/3 et arg(−1/2 − i 3/2) = −2π/3.
3. arg(1) = 0, et on a bien −0 = 0 ; le conjugué de 1 est 1 lui-même.
4. arg(−1) = π, et on a bien −π ≡ π mod (2π) ; le conjugué de −1 est −1 lui-même.
Proposition. — Soient z, w ∈ C non nuls. Alors :
1. arg(zw ) ≡ arg(z) + arg(w ) mod (2π) ;
2. arg(z/w ) ≡ arg(z) − arg(w ) mod (2π).
Démonstration. — Soient z = a + i b et w = c + i d , écrits sous forme algébrique.
1. Soient θ = arg(z) et φ = arg(w ). Alors z = |z |(cos θ + i sin θ) et w = |w |(cos φ + i sin φ), et
par les formules d’addition de cos et sin on obtient zw = |z ||w |(cos θ + i sinθ)(cos φ +
i sin φ) = |z ||w |((cos θ cos φ−sin θ sinφ+i (cos θ sin φ+sin θ cos φ)) = |z ||w |(cos(θ+φ)+
i sin(θ +φ)). Mais |zw | = |z | |w |, donc θ +φ est un argument de zw . D’où la conclusion.
2. On écrit z/w = z × (1/w ) et on utilise ce qui précède.
4. Attention : une autre convention est de noter arg(z) n’importe quel argument de z ; il ne s’agit alors pas d’un
nombre réel bien déterminé, mais seulement défini « modulo 2π ». On reviendra sur ce point dans la suite du
chapitre.
5. Attention : là aussi, les conventions diffèrent suivant les textes.
33
4.9. NOTATION EXPONENTIELLE. FORME POLAIRE D’UN NOMBRE COMPLEXE
4.9. Notation exponentielle. Forme polaire d’un nombre complexe
Pour tout nombre réel θ, on pose :
e i θ := cos(θ) + i sin(θ).
(46)
Exemples. — e 0i = 1, e i π/2 = i , e i π = −1, e −i π/2 = −i , e i π/3 = 21 + i
p
3
.
2
Proposition. — Soient θ, ϕ ∈ R. Alors e i (θ+ϕ) = e i θ e i ϕ , et e −i θ = e i θ = 1/e i θ .
Démonstration. — Vérification directe, en utilisant les formules d’addition de cos et sin.
Si z est un nombre complexe non nul de module r et d’argument θ, on a donc :
z = r e i θ.
(47)
Le terme de droite de (47) est appelé la forme polaire, ou forme trigonométrique, du nombre
complexe z. Attention, cette terminologie (usuelle) prête à confusion : « la » forme polaire de
z n’est pas unique, puisque l’argument θ n’est défini que modulo 2π ; on devrait donc plutôt
dire « une » forme polaire. Plus précisément, on a le résultat suivant.
Proposition. — Soient r, r ′ ∈ R∗+ et soient θ, θ′ ∈ R. Alors :
¡
¢
′
r e i θ = r ′ e i θ ⇔ r ′ = r et θ′ ≡ θ mod (2π) .
La forme polaire est particulièrement adaptée au produit et au quotient de nombres complexes, comme le montre le résultat suivant qui est une simple reformulation des propriétés
du module et de l’argument déjà vues.
′
Proposition. — Soient z = r e i θ et z ′ = r ′ e i θ deux nombres complexes non nuls écrits sous
forme polaire. Alors :
′
zz ′ = r r ′ e i (θ+θ ) ,
′
r
z
= e i (θ−θ ) ,
z′ r ′
1 1 −i θ
= e .
z r
Exemples. —
1. 2e i π/6 × 3e i π/3 = 6e i π/2 = i .
p
p i π/4 3
) = 2 2e 3i π/4.
2. ( 2e
Les formules d’Euler (ci-dessous) permettent de retrouver cos θ et sin θ à partir de e i θ et
e . Elles seront utilisées dans la section suivante pour obtenir des formules trigonométriques.
−i θ
Proposition (Formules d’Euler). — Quel que soit le nombre réel θ, on a :
cos(θ) =
e i θ + e −i θ
2
et
sin(θ) =
e i θ − e −i θ
.
2i
(48)
Démonstration. — Immédiat à partir de la définition, en utilisant la parité des fonctions cosinus (paire) et sinus (impaire).
4.10. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES
34
4.10. Formules trigonométriques
Les « formules trigonométriques », utiles dans de nombreux calculs, relient des expressions
faisant intervenir des fonctions cos et sin sous différentes formes. Les nombres complexes
permettent de les unifier et de les retrouver facilement.
Les formules trigonométriques « complexes » qui permettent de retrouver les formules
« réelles » sont : e i θ = cos θ+i sin θ, e i (θ+ϕ) = e i θ e i ϕ , les formules d’Euler cos(θ) = (e i θ +e −i θ )/2
et sin(θ) = (e i θ − e −i θ )/2i , ainsi que la formule de Moivre ci-dessous.
Proposition (Formule de Moivre). — Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N, on a :
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
(49)
Démonstration. — On démontre par récurrence que (e i θ )n = e ni θ pour tout entier n ≥ 0, à
partir de la formule d’addition e i (θ+ϕ) = e i θ e i ϕ .
Par ailleurs, de nombreuses formules se prouvent en utilisant la formule du binôme,
qui reste vraie dans les nombres complexes : si z, w ∈ C, alors
à !
n n
X
n
(z + w ) =
z k w n−k .
k
k=0
Formules d’addition de cos et sin. — Soient a, b ∈ R. On a alors :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b,
sin(a − b) = sin a cos b + sin b cos a.
(50)
(51)
Il ne s’agit pas de prouver ces formules d’addition à l’aide de la relation
e i (a+b) = e i a e i b ,
(52)
puisque celle-ci a été démontrée à l’aide des ces formules. On montre simplement comment
(52) permet de les retrouver facilement. Par exemple, cos(a + b) est la partie réelle de e i (a+b) .
Or e i (a+b) = e i a e i b = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b). En développant et en prenant la partie
réelle, on obtient la formule pour cos(a + b) donnée ci-dessus (en prenant la partie imaginaire, on obtiendrait la formule pour le sinus d’une somme). Les deux autres formules s’obtiennent de même, en remplaçant b par −b.
Remarques. —
1. On en déduit une formule d’addition pour la fonction tangente (6) . Si
a, b ∈ R vérifient a 6≡ π/2 mod (π) et b 6≡ π/2 mod (π) et a + b 6≡ π/2 mod (π), alors :
tan a + tanb
.
tan(a + b) =
1 − tan a tanb
2. En prenant a = b, on obtient les formules importantes suivantes :
sin 2a = 2 sin a cos a,
cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
tan2a =
2 tan a
,
1 − tan2 a
6. La fonction tangente est la fonction tan : R \ πZ → R définie par tan(x) := sin(x)/ cos(x).
4.10. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES
35
Transformation de produits de cos, sin en sommes. — Soient a, b ∈ R. On a alors :
1
cos(a) cos(b) = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin(a) sin(b) = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin(a) cos(b) = [sin(a + b) + sin(a − b)]
2
(53)
(54)
(55)
Une manière de démontrer ces formules est de partir du terme de gauche, d’utiliser les formules d’Euler, développer puis regrouper les termes deux par deux. Par exemple :
!
¶Ã
µ ia
e + e −i a e i b + e −i b
cos(a) cos(b) =
2
2
1
= (e i a e i b + e i a e −i b + e −i a e i b + e −i a e −i b )
4
1 i (a+b)
= (e
+ e i (a−b) + e −i (a−b) + e −i (a+b) )
4
1
= [cos(a + b) + cos(a − b)].
2
Les deux autres formules s’obtiennent de la même façon.
Linéarisation de cosn et sinn . — « Linéariser » cosn (θ) ou sinn (θ), c’est l’écrire comme combinaison linéaire de termes de la forme cos(kθ) et sin(kθ).
Voyons cela sur un exemple : pour linéariser cos3 θ, on utilise la première formule d’Euler
en développant suivant la formule du binôme, puis on regroupe les exponentielles conjuguées pour faire apparaître des cosinus et/ou des sinus :
Ã
e i θ + e −i θ
cos3 (θ) =
2
!3
=
(e i θ )3 + 3(e i θ )2 e −i θ + 3e i θ (e −i θ )2 + (e −i θ )3 e 3i θ + 3e i θ + 3e −i θ + e −3i θ
=
8
8
=
2 cos 3θ + 6 cos θ 1
3
= cos 3θ + cos θ.
8
4
4
La même méthode permet de « linéariser » un produit de cos et de sin. Par exemple :
Ã
e i θ + e −i θ
cos θ sin θ =
2
2
3
!2 Ã
e i θ − e −i θ
2i
!3
= ··· =
1
(− sin 5θ + sin 3θ + 2 sin θ).
16
Expression de cos(nθ) et sin(nθ) comme polynôme en cos(θ) et sin(θ). — La formule de
Moivre permet d’obtenir une expression de cos(nθ) et sin(nθ) comme sommes de produits
de cos θ et sin θ. Il suffit simplement de développer (cos θ+i sin θ)n par la formule du binôme,
et d’identifier les parties réelles et les parties imaginaires.
Exemple. — On trouve cos(3θ) = cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ et sin(3θ) = 3 cos2 θ sinθ − sin3 θ.
4.11. RACINES CARRÉES D’UN NOMBRE COMPLEXE.
36
4.11. Racines carrées d’un nombre complexe.
On appelle racine carrée d’un nombre w ∈ C tout nombre z ∈ C tel que z 2 = w . Par exemple,
les complexes i et −i sont des racines carrées de −1 (on verra que ce sont les seules). Le
nombre 0 admet une unique racine carrée, à savoir lui-même (puisque z 2 = 0 implique z = 0).
Proposition. — Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées
complexes, qui sont opposées l’une de l’autre.
Démonstration. — On utilise la forme polaire, bien adaptée à la multiplication. Soit w ∈ C
p
p
non nul, de forme polaire w = r e i θ avec r > 0 et θ ∈ R. Alors z 0 := r e i θ/2 et −z 0 = − r e i θ/2
sont deux racines carrées de w , opposées l’une de l’autre. Et ce sont les seules : si z 2 = w ,
alors z 2 = z 02 , d’où 0 = z 2 − z 02 = (z − z 0 )(z + z 0 ), et par conséquent z = z 0 ou z = −z 0 .
Remarques. —
1. La démonstration précédente donne une méthode pratique
pde calcul
p
2+i
2=
des racines carrées de w lorsque l’on connaîtpsa forme
polaire.
Par
exemple
:
p
p
p
2e i π/4 (vérifier), donc les racines carrées de 2 + i 2 sont 2e i π/8 et − 2e i π/8 .
2. Dans R, tout nombre a strictement positif admet deux racines carrées opposées l’une
de l’autre, donc l’une positive et l’autre négative. Celle que l’on appelle « la » racine carp
rée de a, et que l’on note a, est par convention la racine carrée positive de a. Du fait
qu’il n’existe pas de relation d’ordre utile sur C (voir plus haut), il n’existe pas de bonne
manière de sélectionner l’une des deux racines carrées d’un nombre complexe w non
p
nul. Pour cette raison, on n’écrit jamais w, sauf lorsque w est un nombre réel positif.
p
p
3. Si x est réel strictement négatif, ses deux racines carrées
sont i −x et −i −x (voir rep
marque précédente pour l’utilisation du symbole
).
Extraction des racines carrées à partir de la forme algébrique du nombre complexe.— Soit
a + i b un nombre complexe non nul, où a, b ∈ R. On suppose que b 6= 0 (sinon a + i b = a est
un nombre réel, dont on connaît les racines carrées). Cherchons une racine carrée z = x + i y
exprimée sous forme algébrique. On doit donc avoir (x + i y)2 = a + i b. En égalant les parties
réelles, la parties imaginaires et les modules des deux membres de cette égalité, on arrive aux
trois égalités suivantes :
p
(56)
x 2 − y 2 = a,
2x y = b,
x 2 + y 2 = a 2 + b 2.
En faisant la somme et la différence de la première et la troisième de ces égalités, on détermine x 2 et y 2 . Comme par hypothèse b 6= 0, les valeurs de x 2 et y 2 auxquelles on arrive
sont non nulles (vérifier), d’où quatre couples (x, y) de solutions possibles a priori. Mais la
deuxième égalité de (56) donne le signe de x y (c’est celui de b), ce qui permet de ne retenir
que deux des quatre possibilités.
Exemple. — Déterminons les racines carrées de 8+6i par cette méthode. On cherche x, y ∈ R
tels que (x + i y)2 = 8 + 6i , donc tels que x 2 − y 2 + 2i x y = 8 + 6i (développement du carré). En
identifiant les parties réelle et imaginaire, p
on arrive donc à x 2 − y 2 = 8 et 2x y = 6. D’autre
p
p
part, l’égalité des modules donne x 2 + y 2 = 82 + 62 = 64 + 34 = 100 = 10. On obtient donc
2x 2 = 8 + 10 = 18, d’où x 2 = 9 et donc x = ±3. De même, 2y 2 = 10 − 8 = 2, d’où y 2 = 1 et donc
y = ±1. Comme 2x y = 6, les nombres x et y doivent être du même signe. Les deux racines de
8+6i sont donc 3+i et −3−i . Il est prudent de vérifier : (3+i )2 = 9+2×3i +i 2 = 9+6i −1 = 8+6i .
37
4.13. RACINES n-ÈMES DE L’UNITÉ
4.12. Équations du second degré à coefficients complexes
Une équation de degré 2 en z à coefficients complexes est une équation du type
az 2 + bz + c = 0,
(57)
où a, b, c sont des nombres complexes avec a 6= 0. Le discriminant d’une telle équation est le
nombre complexe ∆ défini par
∆ := b 2 − 4ac.
Proposition. — Soient a, b, c ∈ C avec a 6= 0. Avec les notations précédentes :
1. Si ∆ 6= 0 alors l’équation az 2 + bz + c = 0 possède exactement deux racines complexes,
qui sont, en notant ω une racine carrée de ∆ :
z1 =
−b + ω
2a
et
z2 =
−b − ω
.
2a
2. Si ∆ = 0, alors l’équation possède une seule racine complexe, à savoir z = −
b
.
2a
Remarque. —
Dans le cas d’un discriminant ∆ non nul, la question est donc de savoir
trouver les deux racines carrées de ∆ (voir la section précédente). On sait que si ω est l’une de
ces racines, alors l’autre est −ω. Le fait de choisir l’une ou l’autre pour ω ne fait qu’intervertir
les deux racines z 1 et z 2 données par les formules ci-dessus.
Démonstration. — Pour résoudre l’équation, on la transforme de sorte à se ramener à extraire une racine carrée (la méthode est identique à celle utilisée pour la résolution de l’équation de degré 2 à coefficients réels). Comme a 6= 0, on a :
¶
·µ
¶
¸
µ
b 2 b 2 − 4ac
c
b
−
=a z+
az 2 + bz + c = a z 2 + z +
a
a
2a
4a 2
Donc z est racine de l’équation si et seulement si z +b/2a est racine carrée de (b 2 −4ac)/4a 2 .
Soit ω ∈ C une racine carrée de ∆ = b 2 − 4ac, l’autre racine étant −ω. Les racines carrées
de (b 2 − 4ac)/4a 2 sont donc ω/2a et −ω/2a, et les racines de l’équation sont donc (−b +
ω)/2a et (−b − ω)/2a. Si ∆ = 0, ces racines sont identiques (c’est pourquoi on parle de racine
« double »).
Exemple. — Déterminer les z ∈ C tels que z 2 + (2i − 3)z + 5 − i = 0.
4.13. Racines n-èmes de l’unité
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1. On appelle racine n-ème de l’unité tout
nombre complexe z tel que z n = 1.
Proposition. — Il existe exactement n racines n-èmes de l’unité. Ce sont les nombres complexes de la forme e 2i kπ/n pour k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
4.14. RACINES n-ÈMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
38
Démonstration. — Tout d’abord, on vérifie que les nombres complexes donnés sont bien des
racines n-èmes de l’unité. En effet, si k ∈ ‚0, n − 1ƒ, on a bien (e 2i kπ/n )n = e 2i kπ = 1.
Ensuite, on observe que ces racines n-èmes de l’unité sont bien deux à deux distinctes, et
donc en nombre n. En effet, pour k ∈ ‚0, n − 1ƒ on a 0 ≤ 2kπ/n ≤ 2(n − 1)π/n < 2π, donc les
n arguments θk := 2kπ/n sont deux à deux distincts et compris dans l’intervalle [0, 2π[, donc
les nombres complexes associés sont deux à deux distincts.
Enfin, on montre que toute racine n-ème de l’unité est de cette forme. Pour cela, soit z =
ρe i θ une racine n-ème de l’unité écrite sous forme polaire avec θ ∈ [0, 2π[. Alors d’une part
on doit avoir ρn = 1 en considérant les modules, d’où ρ = 1 puisque ρ > 0. Et d’autre part
on doit avoir nθ ≡ 0 mod (2π) en considérant les arguments. Donc il existe un k ∈ Z tel que
nθ = 2kπ, c’est à dire tel que θ = 2kπ/n. Donc z est bien de la forme z = e 2i kπ/n avec k ∈ Z.
Comme on a choisi θ ∈ [0, 2π[, il faut avoir 0 ≤ k ≤ n − 1.
Exemple. —
1. Les racines carrées de l’unité (pour n = 2) sont bien e (2i π×0)/2 = e 0i = 1 et
e (2i π×1)/2 = e i π = −1.
2. Les racines
cubiques de de l’unité (np= 3) sont e (2i π×0)/3 = e 0i = 1, e (2i π×1)/3 = e 2i π/3 =
p
− 12 +
3
2 i
et e (2i π×2)/3 = e 4i π/3 = − 12 −
3
2 i.
On note souvent j := e 2i π/3 . Les racines cubiques de l’unité sont alors 1, j , j 2 . On
observe que j 2 = j
3. Les racines quatrièmes de l’unité sont e 0 = 1, e 2i π/4 = e i π/2 = i , e 4i π/4 = e i π = −1 et
e 6i π/4 = −i .
Proposition. — Soit n un entier ≥ 2. La somme des racines n-èmes de l’unité est nulle.
Démonstration. — Les racines n-èmes de l’unité forment une suite géométrique finie dont
P
on sait calculer la somme : si on pose ω := e 2i π/n , alors la somme des racines est nk=0 ωk =
(1 − ωn )/(1 − ω) = 0, puisque ωn = 1.
Remarque. — Géométriquement, les racines n-èmes de l’unité sont les sommets du polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité (cercle de centre 0 et de rayon 1) passant
par le point 1. [Faire une figure]
4.14. Racines n-èmes d’un nombre complexe
De l’étude des racines de l’unité on déduit les racines d’un nombre complexe quelconque.
On appelle racine n-ème d’un nombre w ∈ C tout nombre z ∈ C tel que z n = w .
Proposition. — Tout nombre complexe non nul admet exactement n racines n-èmes complexes. Si w 0 est une racine n-ème de z et si 1, ω, ω2 , . . . , ωn−1 sont les racines n-èmes de
l’unité, alors les racines n-èmes de z sont les nombres :
w 0 , w 0 ω, w 0 ω2 , . . . , w 0 ωn−1 .
Démonstration. — Soit z = r e i θ un nombre complexe non nul, écrit sous forme polaire. On
p
commence par montrer que w 0 := n r e i θ/n est une racine n-ème de z. On montre ensuite
que les nombres w 0 , w 0 ω, w 0 ω2 , . . . , w 0 ωn−1 sont des racines n-èmes de z, et que ce sont les
seules.
4.15. RACINES DES POLYNÔMES À COEFFICIENTS COMPLEXES
39
p
Exemple. — Les racines 4-èmes de 8+i 8 3 sont 2e i π/12 , 2e 7i π/12, 2e 13i π/12 et 2e 19i π/12. Géométriquement, ce sont les sommets d’un carré inscrit dans le cercle de centre 0 et de rayon
2.
4.15. Racines des polynômes à coefficients complexes
On vient de voir que les nombres complexes permettent de résoudre les équations polynomiales de degré 2. On sait également résoudre explicitement les équations de degré 3 et 4,
par des formules de plus en plus compliquées.
On peut montrer qu’il n’existe pas de résolution explicite des équations de degré 5 ou plus,
sauf dans des cas particuliers. On a néanmoins le résultat abstrait suivant, parfois appelé
« théorème fondamental de l’algèbre », qui affirme que les nombres complexes permettent de
résoudre toutes les équations polynomiales. Il en existe de nombreuses démonstrations, qui
sont toutes trop difficiles pour être incluses dans ce texte. Nous admettrons donc ce résultat
important.
Théorème (Théorème de D’Alembert-Gauss). — Tout polynôme non constant à coefficients
complexes admet au moins une racine complexe.
Comme dans le cas réel, on peut « factoriser un polynôme par une racine ». Cela signifie
que si P est un polynôme à coefficients complexes et si z 1 ∈ C est une racine de P, alors il
existe un polynôme Q à coefficients complexes tel que P(z) = (z − z 1 )Q(z). En développant
le terme de droite de cette égalité et en comparant les degrés, on voit que deg Q = deg P − 1.
Si Q n’est pas constant, on peut lui appliquer le théorème de D’Alembert-Gauss et donc le
factoriser par une de ses racines, qui est aussi une racine de P. En réitérant le procédé, on
arrive au résultat suivant.
Proposition. — Tout polynôme non constant à coefficients complexes se factorise en produit de polynômes de degré 1. Plus précisément, si P(z) est un polynôme de degré n ≥ 1, alors
il existe z 1 , . . . , z n ∈ C et λ ∈ C tels que :
P(z) = λ(z − z 1 ) · · · (z − z n ).
(58)
Corollaire. — Tout polynôme de degré n à coefficients complexes a au plus n racines distinctes.
Le cas des polynômes à coefficients réels. — Lorsque le polynôme étudié est à coefficients
réels, la proposition précédente en donne une décomposition en termes de polynômes a
priori complexes, puisque certaines de ses racines peuvent être des nombres complexes non
réels. En regroupant ces racines complexes non réelles deux par deux, on arrive néanmoins à
une décomposition simple et intéressante en termes de polynômes réels.
Proposition. — Soit P un polynôme à coefficients réels. Si z ∈ C est une racine de P, alors z
est également une racine de P.
Corollaire. — Tout polynôme à coefficients réels se factorise en produit de polynômes du
type x − a (avec a ∈ R) et x 2 + bx + c (avec b et c réels et b 2 − 4c < 0).
Exemple. — x 5 + 2x 3 + x = x(x 2 + 1)2 .