I- INTRODUCTION 1) Définition x on a exp (x) > 0.

COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
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I- INTRODUCTION
1) Définition
Dans le cours précédent nous avons montré que la fonction « ln » était dérivable et
strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Comme l’image de ]0 ; +∞[ par la fonction « ln » est
]-∞ ; +∞[, alors la fonction « ln » admet une fonction réciproque définie sur ]-∞ ; +∞[.
Définition : la fonction exponentielle définie sur , notée exp, est la fonction
réciproque de la fonction « ln » définie sur 0;∞.
Illustration :
Conséquence immédiate : pour tout réel 0 et pour tout réel  on a,
ln y = x équivaut à y = exp(x).
Exemple : ln101exp0
Autres conséquences :
→ Les fonctions ln et exp étant deux fonctions réciproques on peut écrire :
o Pour tout réel x, ln (exp (x)) = x.
o Pour tout réel x > 0, exp (ln x) = x.
→ La fonction exp est définie sur .
→ Pour tout réel x on a exp (x) > 0.
Remarques :
o Sur les calculatrices les images de la fonction exponentielle sont obtenues à l’aide
de la touche « e » (ou « ex »…), suivi du réel dont on veut l’image.
o A l’aide de la calculatrice on peut donner une valeur approchée à 10-3 près de
exp(1) :
exp1  2,718
Exemple 1 : à l’aide de la calculatrice, calculer : exp 2 et exp 10.
o exp2  7,389.
o exp10  22026.
Exdefctréciproques:
carréetracinecarrée(sur
+);sinusetarcsinus…
Surlacalculatrice,généralement:
mêmetouchepourdesfonctions
réciproques(sinetarcsin;…).
Idemavecracineetcarré:
² 
√

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Remarque : le plus souvent nous obtiendrons des valeurs approchées avec la calculatrice.
2) Propriétés algébriques
Propriété fondamentale : soit x et y deux réels, et n un entier relatif. Nous avons :
exp
exp exp
Démonstration :
Propriété 2 (admise) : soit x un réel. Nous avons :
exp1
exp
Propriété 3 (admise) : soit x et y deux réels. Nous avons :
exp
exp
exp
Propriété 4 (admise) : soit x un réel, et n un entier relatif. Nous avons :
expexp
3) Notation
Pour tout entier n dans , expexp
1 exp1.
On notera e le réel exp1; nous avons alors, pour tout , exp
.
Par convention, pour tout réel x, on note  au lieu de exp.
Avec cette notation, les propriétés algébriques de la fonction exponentielle se traduisent
comme les règles de calculs sur les exposants déjà connues.
Règles de calcul : soit x et y deux réels, et n un entier relatif. Nous avons :
 1; 1
;;
;
Exemple 1 :
o Pour tout réel x,   
.
o Pour tout réel x, 
.
Puisquelafctlntransformeun«
p
roduiten
somme»,onpeutpenserquel’exp
transformeune«sommeenproduit»…

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o Pour tout réel x, 
0.
Exemple 2 : résoudre l’équation (E) suivante après avoir déterminé son ensemble de
résolution.
Soit (E) l’équation ln  5
L’ensemble de résolution de (E) est 0;∞.
Comme 5  5  1  5  ln  ln, l’équation équivaut à ln  ln
On en déduit que l’ensemble des solutions de (E) est : .
II- ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
1) Conséquences de la définition
Théorème 1 ( admis ) : la fonction exponentielle est définie sur  et pour tout x de 
nous avons 0.
2) Sens de variation de la fonction exponentielle
Théorème 2 : la fonction exponentielle est dérivable sur  et la fonction dérivée est
égale à la fonction elle-même.
Démonstration : soit la fonction f définie sur  par ln
.
on sait que, pour tout x de , ln
.
d’où : 1.
Appliquons le théorème sur la dérivée des fonctions composées.
  exp lnexp  exp1
exp
1  exp
exp expexp
Théorème 3 : la fonction exponentielle est strictement croissante sur .

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Démonstration : d’après le théorème 2 la fonction exponentielle est dérivable sur  et
d’après le théorème 1 sa fonction dérivée est strictement positive sur .
Tableau de variation : soit la fonction f définie sur  par .
x -∞ 0 +∞
4) Limites en +∞ et en 0 de la fonction exponentielle
Théorème : soit la fonction exponentielle définie sur . Nous avons :
lim
  ∞ lim  0
Démonstration :
o En -∞: utilisons la limite de la fonction ln en 0.
lim
ln  ∞
On pose 
; on a alors ln   et 
lim
 ln  ∞  lim  lim  lim  0 
o En +∞: utilisons la limite de la fonction ln en +∞.
lim
 ln  ∞
On pose 
; on a alors ln   et …
Tableau de variation :
x -∞ +∞
1
0
∞

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5) Courbe représentative de la fonction exponentielle
Comportement asymptotique : le théorème précédent nous indique :
lim
0
Ainsi, la courbe représentative dans le plan muni d’un repère ;,  de la fonction exp
admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en -∞.
Représentation graphique : s oit C la courbe représentative de la fonction exponentielle
dans le plan est muni d’un repère ;, . On prendra 2 cm pour unité graphique.
h
Tableau de valeur (à faire) :
x
6) Lien entre les courbes représentatives de fonctions ln et exp
Théorème : le plan muni d’un repère orthonormal ;, . La courbe représentative de la
fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction ln sont symétriques
par rapport à la droite d’équation y = x.
III- ÉGALITÉS ET INÉGALITÉS
Propriété 1 : pour tous réels a et b de , 
 équivaut à .
Démonstration :
→ Si   alors
 (strictement croissant).
→ Si 
 alors   car si nous avions   ce qui est absurde.
Propriété 2 : pour tous réels a et b de , 
 équivaut à .
Démonstration :
→ Si   alors (un nombre n’a qu’une seule image par une fonction).
→ Si 
 alors   sinon,         ce qui est
absurde.