Télécharger

Chapitre III : PGCD et applications
I- PGCD de deux entiers naturels
Définition 1 : ܽ et ܾ désignent deux entiers naturels non nuls.
On appelle PGCD de ܽ et ܾ, et on note PGCD(ܽ ; ܾ) le plus grand diviseur commun à ܽ et ܾ.
Exemple : Recherche du PGCD de 70 et 84
ࣞ(70) = ሼ ࣞ(84) = ሼ ࣞ(70; 84) = ሼ Et donc ܲ‫(ܦܥܩ‬70; 84) =
Propriété 1 : ܽ et ܾ désignent deux entiers naturels non nuls.
1) ࣞ(ܽ; 0) = ࣞ(ܽ) et ܲ‫ ;ܽ(ܦܥܩ‬0) = ܽ.
2) Si ܾ divise ܽ alors ܲ‫ܾ = )ܾ ;ܽ(ܦܥܩ‬.
3) En notant ‫ ݎ‬le reste de la D.E. de ܽ par ܾ, alors ࣞ(ܽ; ܾ) = ࣞ(ܾ; ‫ )ݎ‬et ܲ‫)ݎ ;ܾ(ܦܥܩܲ = )ܾ ;ܽ(ܦܥܩ‬.
II- Algorithme d’Euclide
Action
Division
Reste
Commentaire
On divise ܽ par ܾ
ܽ = ܾ‫ݍ‬଴ + ‫ݎ‬଴
0 ≤ ‫ݎ‬଴ < ܾ
Si ‫ݎ‬଴ ≠ 0, on divise ܾ par ‫ݎ‬଴
ܾ = ‫ݎ‬଴ ‫ݍ‬ଵ + ‫ݎ‬ଵ
0 ≤ ‫ݎ‬ଵ < ‫ݎ‬଴
Si ‫ݎ‬ଵ ≠ 0, on divise ‫ݎ‬଴ par ‫ݎ‬ଵ
‫ݎ‬଴ = ‫ݎ‬ଵ ‫ݍ‬ଶ + ‫ݎ‬ଶ
0 ≤ ‫ݎ‬ଶ < ‫ݎ‬ଵ
…
…
…
…
Si ‫ݎ‬௞ ≠ 0, on divise ‫ݎ‬௞ିଵ par ‫ݎ‬௞
‫ݎ‬௞ିଵ = ‫ݎ‬௞ ‫ݍ‬௞ାଵ + ‫ݎ‬௞ାଵ
0 ≤ ‫ݎ‬௞ାଵ < ‫ݎ‬௞
ࣞ(‫ݎ‬௞ିଵ ; ‫ݎ‬௞ ) = ࣞ(‫ݎ‬௞ ; ‫ݎ‬௞ାଵ )
d’où ܲ‫ݎ(ܦܥܩ‬௞ିଵ ; ‫ݎ‬௞ ) = ܲ‫ݎ(ܦܥܩ‬௞ ; ‫ݎ‬௞ାଵ )
ࣞ(ܽ; ܾ) = ࣞ(ܾ; ‫ݎ‬଴ )
d’où ܲ‫ݎ ;ܾ(ܦܥܩܲ = )ܾ ;ܽ(ܦܥܩ‬଴ )
ࣞ(ܾ; ‫ݎ‬଴ ) = ࣞ(‫ݎ‬଴ ; ‫ݎ‬ଵ )
d’où ܲ‫ݎ ;ܾ(ܦܥܩ‬଴ ) = ܲ‫ݎ(ܦܥܩ‬଴ ; ‫ݎ‬ଵ )
ࣞ(‫ݎ‬଴ ; ‫ݎ‬ଵ ) = ࣞ(‫ݎ‬ଵ ; ‫ݎ‬ଶ )
d’où ܲ‫ݎ(ܦܥܩ‬଴ ; ‫ݎ‬ଵ ) = ܲ‫ݎ(ܦܥܩ‬ଵ ; ‫ݎ‬ଶ )
On définit ainsi une suite d’entiers ‫ݎ‬௡ tels que 0 ≤ ⋯ < ‫ݎ‬௞ାଵ < ‫ݎ‬௞ < ‫ݎ‬௞ିଵ < ⋯ < ‫ݎ‬ଶ < ‫ݎ‬ଵ < ‫ݎ‬଴ < ܾ.
Cette suite est une suite strictement décroissante d’entiers naturels : c’est donc une suite finie et il existe un
entier n tel que ‫ݎ‬௡ ≠ 0 et ‫ݎ‬௡ାଵ = 0.
Or ‫ݎ‬௡ାଵ = 0 signifie que ‫ݎ‬௡ divise ‫ݎ‬௡ିଵ et donc :
ܲ‫ݎ ;ܾ(ܦܥܩܲ = )ܾ ;ܽ(ܦܥܩ‬଴ ) = ܲ‫ݎ(ܦܥܩ‬଴ ; ‫ݎ‬ଵ ) = ⋯ = ܲ‫ݎ(ܦܥܩ‬௡ିଵ ; ‫ݎ‬௡ ) = ‫ݎ‬௡ .
Théorème 1 :
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
Si ܾ ne divise pas ܽ, alors le PGCD de ܽ et ܾ est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
Exemple : Recherche de ܲ‫ܦܥܩ‬൫2 185 ; 1 426൯ à l’aide de l’algorithme d’Euclide
1
Propriété 2 : Conséquences de l’algorithme d’Euclide
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
1) L’ensemble des diviseurs de ܽ et ܾ est l’ensemble des diviseurs de ܲ‫)ܾ ;ܽ(ܦܥܩ‬
2) Pour tout ݇ ∈ ℕ∗ , ܲ‫)ܾ ;ܽ(ܦܥܩܲ × ݇ = )ܾ݇ ;ܽ݇(ܦܥܩ‬.
Exemple : ܲ‫(ܦܥܩ‬240 ; 120) =
III – Nombres premiers entre eux
Définition 2 : Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
On dit que ܽ et ܾ sont premiers entre eux (ou étrangers) lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemples :
1)
2)
Propriété 3 : Caractérisation du PGCD
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
« Δ = ܲ‫ » )ܾ ;ܽ(ܦܥܩ‬équivaut à « il existe deux entiers naturels non nuls ܽ′ et ܾ′ premiers entre eux
tels que ܽ = Δܽ′ et ܾ = Δܾ′.
IV – Le théorème de Bézout
Propriété 4 : Identité de Bézout
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls et ݀ leur PGCD.
Il existe deux entiers relatifs ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬tels que ‫ ܽݑ‬+ ‫݀ = ܾݒ‬.
Remarque :
La réciproque est fausse en général : 6 = 1 × 4 + 1 × 2 et pourtant 6 ≠ ܲ‫(ܦܥܩ‬4; 2).
Exemple : ܲ‫(ܦܥܩ‬18; 51) = 3
Il existe bien un couple (‫( = )ݒ ;ݑ‬3; −1) tel que ‫ × ݑ‬18 + ‫ × ݒ‬51 = 3
Théorème 2 : Théorème de Bézout
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
ܽ et ܾ sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬tels que
‫ ܽݑ‬+ ‫ = ܾݒ‬1.
Remarque : l’algorithme d’Euclide est très pratique pour déterminer un couple d’entiers (‫)ݒ ; ݑ‬
solution.
Recherche de ܲ‫(ܦܥܩ‬26 ; 49) avec l’algorithme d’Euclide :
49
ด=ณ
1 × 26
ด + 23
ด
௔
௤బ
௕
௥బ
௕
௥బ
௤భ
௥బ
௥భ
௤మ
௥భ
26
ด=ณ
1 × 23
ด+ณ
3
23
ด=ณ
7 ×ณ
3+ณ
2
௥మ
ณ
3=ณ
1 ×ณ
2+ณ
1
௥భ
௤య
௥మ
௥య
2
On connaît ainsi le PGCD de 26 et 49, c’est 1 : ils sont premiers entre eux.
Les égalités précédentes permettent de trouver un couple (‫ )ݒ ; ݑ‬tels que ‫ ܽݑ‬+ ‫ = ܾݒ‬1 :
La 4ème égalité nous donne 1 = 3 − 2 et la 3ème 2 = 23 − 7 × 3, on en déduit :
1 = 3 − 23 + 7 × 3 = 8 × 3 − 23
On poursuit avec 3 = 26 − 23 et on obtient : 1 = 8 × 26 − 8 × 23 − 23 = 8 × 26 − 9 × 23
Enfin 23 = 49 − 26 et donc : 1 = 8 × 26 − 9 × 49 + 9 × 26 = 17 × 26 − 9 × 49
On a ainsi obtenu un couple (‫( = )ݒ ; ݑ‬−9; 17) tel que ‫ × ݑ‬49 + ‫ × ݒ‬26 = 1
Exemple : 2݊ + 3 et 3݊ + 4 sont premiers entre eux pour tout ݊ ∈ ℕ :
En effet, 3 × (2݊ + 3) − 2 × (3݊ + 4) = 1
V – Le théorème de Gauss
Théorème 3 : Théorème de Gauss
Soient ܽ, ܾ et ܿ trois entiers naturels non nuls.
Si ࢇ divise ࢈ࢉ et si ࢇ et ࢈ sont premiers entre eux, alors ࢇ divise ࢉ.
Remarque : théorème très utile pour la résolution d’équations
Propriété 5 : Conséquence du théorème de Gauss
Soient ܽ, ܾ et ܿ trois entiers naturels non nuls.
Si ࢇ et ࢈ divisent ࢉ et si ࢇ et ࢈ sont premiers entre eux, alors ࢇ࢈ divise ࢉ.
Exemples :
1) 4 et 5 divisent 100 et 4 et 5 sont premiers entre eux donc 4 × 5 = 20 divise 100.
2) Si les entiers ne sont pas premiers entre eux, ce résultat est faux en général :
4 et 6 divisent 36 (4 et 6 ne sont pas premiers entre eux) mais 4 × 6 = 24 ne divise pas 36 …
3