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Chapitre III : PGCD et applications
I- PGCD de deux entiers naturels
Définition 1 : ܽ et ܾ désignent deux entiers naturels non nuls.
On appelle PGCD de ܽ et ܾ, et on note PGCD(ܽ ; ܾ) le plus grand diviseur commun à ܽ et ܾ.
Exemple : Recherche du PGCD de 70 et 84
ࣞ(70)= ሼ
ࣞ(84)= ሼ
ࣞ(70;84)= ሼ
Et donc ܲܩܥܦ(70;84)=
Propriété 1 : ܽ et ܾ désignent deux entiers naturels non nuls.
1) ࣞ(ܽ;0)= ࣞ(ܽ) et ܲܩܥܦ(ܽ; 0)= ܽ.
2) Si ܾ divise ܽ alors ܲܩܥܦ(ܽ;ܾ)= ܾ.
3) En notant ݎ le reste de la D.E. de ܽ par ܾ, alors ࣞ(ܽ; ܾ)= ࣞ(ܾ;ݎ) et ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ)= ܲܩܥܦ(ܾ; ݎ).
II- Algorithme d’Euclide
Action Division Reste Commentaire
On divise
ܽ
par
ܾ
ܽ
=
ܾ
ݍ
଴
+
ݎ
଴
0
≤
ݎ
଴
<
ܾ
ࣞ
(
ܽ
;
ܾ
)
=
ࣞ
(
ܾ
;
ݎ
଴
)
d’où
ܲܩܥܦ
(
ܽ
;
ܾ
)
=
ܲܩܥܦ
(
ܾ
;
ݎ
଴
)
Si
ݎ
଴
≠
0
, on divise
ܾ
par
ݎ
଴
ܾ
=
ݎ
଴
ݍ
ଵ
+
ݎ
ଵ
0
≤
ݎ
ଵ
<
ݎ
଴
ࣞ
(
ܾ
;
ݎ
଴
)
=
ࣞ
(
ݎ
଴
;
ݎ
ଵ
)
d’où
ܲܩܥܦ
(
ܾ
;
ݎ
଴
)
=
ܲܩܥܦ
(
ݎ
଴
;
ݎ
ଵ
)
Si
ݎ
ଵ
≠
0
, on divise
ݎ
଴
par
ݎ
ଵ
ݎ
଴
=
ݎ
ଵ
ݍ
ଶ
+
ݎ
ଶ
0
≤
ݎ
ଶ
<
ݎ
ଵ
ࣞ
(
ݎ
଴
;
ݎ
ଵ
)
=
ࣞ
(
ݎ
ଵ
;
ݎ
ଶ
)
d’où
ܲܩܥܦ
(
ݎ
଴
;
ݎ
ଵ
)
=
ܲܩܥܦ
(
ݎ
ଵ
;
ݎ
ଶ
)
… … … …
Si
ݎ
௞
≠
0
, on divise
ݎ
௞
ି
ଵ
par
ݎ
௞
ݎ
௞
ି
ଵ
=
ݎ
௞
ݍ
௞
ା
ଵ
+
ݎ
௞
ା
ଵ
0
≤
ݎ
௞
ା
ଵ
<
ݎ
௞
ࣞ
(
ݎ
௞
ି
ଵ
;
ݎ
௞
)
=
ࣞ
(
ݎ
௞
;
ݎ
௞
ା
ଵ
)
d’où
ܲܩܥܦ
(
ݎ
௞
ି
ଵ
;
ݎ
௞
)
=
ܲܩܥܦ
(
ݎ
௞
;
ݎ
௞
ା
ଵ
)
On définit ainsi une suite d’entiers ݎ
௡
tels que 0 ≤ ⋯ < ݎ
௞ାଵ
< ݎ
௞
< ݎ
௞ିଵ
< ⋯ < ݎ
ଶ
< ݎ
ଵ
< ݎ
଴
< ܾ.
Cette suite est une suite strictement décroissante d’entiers naturels : c’est donc une suite finie et il existe un
entier n tel que ݎ
௡
≠ 0 et ݎ
௡ାଵ
= 0.
Or ݎ
௡ାଵ
= 0 signifie que ݎ
௡
divise ݎ
௡ିଵ
et donc :
ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ)= ܲܩܥܦ(ܾ;ݎ
଴
)= ܲܩܥܦ(ݎ
଴
;ݎ
ଵ
)= ⋯ = ܲܩܥܦ(ݎ
௡ିଵ
;ݎ
௡
)= ݎ
௡
.
Théorème 1 :
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
Si ܾ ne divise pas ܽ, alors le PGCD de ܽ et ܾ est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
Exemple : Recherche de
ܲܩܥܦ൫2 185 ;1 426൯ à l’aide de l’algorithme d’Euclide

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Propriété 2 : Conséquences de l’algorithme d’Euclide
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
1) L’ensemble des diviseurs de ܽ et ܾ est l’ensemble des diviseurs de ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ)
2) Pour tout ݇ ∈ ℕ
∗
, ܲܩܥܦ(݇ܽ; ܾ݇)= ݇ × ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ).
Exemple : ܲܩܥܦ(240 ;120) =
III – Nombres premiers entre eux
Définition 2 : Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
On dit que ܽ et ܾ sont premiers entre eux (ou étrangers) lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemples :
1)
2)
Propriété 3 : Caractérisation du PGCD
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
« Δ = ܲܩܥܦ(ܽ; ܾ) » équivaut à « il existe deux entiers naturels non nuls ܽ′ et ܾ′ premiers entre eux
tels que ܽ = Δܽ′ et ܾ = Δܾ′.
IV – Le théorème de Bézout
Propriété 4 : Identité de Bézout
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls et ݀ leur PGCD.
Il existe deux entiers relatifs ݑ et ݒ tels que ݑܽ + ݒܾ = ݀.
Remarque :
La réciproque est fausse en général : 6 = 1 × 4 + 1 × 2 et pourtant 6 ≠ ܲܩܥܦ(4; 2).
Exemple : ܲܩܥܦ(18;51)= 3
Il existe bien un couple (ݑ;ݒ)= (3; −1) tel que ݑ × 18 + ݒ × 51 = 3
Théorème 2 : Théorème de Bézout
Soient ܽ et ܾ deux entiers naturels non nuls.
ܽ et ܾ sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs ݑ et ݒ tels que
ݑܽ + ݒܾ = 1.
Remarque : l’algorithme d’Euclide est très pratique pour déterminer un couple d’entiers (ݑ ; ݒ)
solution.
Recherche de ܲܩܥܦ(26 ;49) avec l’algorithme d’Euclide :
49ด
௔
= 1ณ
௤బ
× 26ด
௕
+ 23ด
௥బ
26ด
௕
= 1ณ
௤భ
× 23ด
௥బ
+ 3ณ
௥భ
23ด
௥బ
= 7ณ
௤మ
× 3ณ
௥భ
+ 2ณ
௥మ
3ณ
௥భ
= 1ณ
௤య
× 2ณ
௥మ
+ 1ณ
௥య

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On connaît ainsi le PGCD de 26 et 49, c’est 1 : ils sont premiers entre eux.
Les égalités précédentes permettent de trouver un couple (ݑ ; ݒ) tels que ݑܽ + ݒܾ = 1 :
La 4
ème
égalité nous donne 1 = 3 − 2 et la 3
ème
2 = 23 − 7 × 3, on en déduit :
1 = 3 − 23 + 7 × 3 = 8 × 3 − 23
On poursuit avec 3 = 26 − 23 et on obtient : 1 = 8 × 26 − 8 × 23 − 23 = 8 × 26 − 9 × 23
Enfin 23 = 49 − 26 et donc : 1 = 8 × 26 − 9 × 49 + 9 × 26 = 17 × 26 − 9 × 49
On a ainsi obtenu un couple (ݑ ; ݒ)=(−9; 17) tel que ݑ × 49 + ݒ × 26 = 1
Exemple : 2݊ + 3 et 3݊ + 4 sont premiers entre eux pour tout ݊ ∈ ℕ :
En effet, 3 × (2݊ + 3)− 2 × (3݊ + 4)= 1
V – Le théorème de Gauss
Théorème 3 : Théorème de Gauss
Soient ܽ,ܾ et ܿ trois entiers naturels non nuls.
Si ࢇ divise ࢈ࢉ et si ࢇ et ࢈ sont premiers entre eux, alors ࢇ divise ࢉ.
Remarque : théorème très utile pour la résolution d’équations
Propriété 5 : Conséquence du théorème de Gauss
Soient ܽ,ܾ et ܿ trois entiers naturels non nuls.
Si ࢇ et ࢈ divisent ࢉ et si ࢇ et ࢈ sont premiers entre eux, alors ࢇ࢈ divise ࢉ.
Exemples :
1) 4 et 5 divisent 100 et 4 et 5 sont premiers entre eux donc 4 × 5 = 20 divise 100.
2) Si les entiers ne sont pas premiers entre eux, ce résultat est faux en général :
4 et 6 divisent 36 (4 et 6 ne sont pas premiers entre eux) mais 4 × 6 = 24 ne divise pas 36 …