Théorème de Gauss

LE THÉORÈME DE GAUSS
FICHE 17
Théorème
a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b.
Alors a divise c.
Sous forme plus symbolique : Si a bc et si PGCD(a , b)  1 alors a c .
Démonstration
D'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que : au  bv  1.
D'où : acu  bcv  c . Puisque a a et a bc , alors a acu  bcv , c'est-à-dire a c .
Conséquences :
a, b et c sont des entiers strictement positifs.
1. Si a et b divisent un entier c, et si a et b sont premiers entre eux, alors ab divise c.
2. Si un nombre premier p divise un produit ab , alors p divise a ou b.
3. Si un nombre premier divise un produit de nombres premiers, alors il est égal à l'un d'entre
eux.
4. La décomposition en facteurs premiers d'un entier est unique (à l'ordre près).
Démonstration
1. Si a divise c, c s'écrit c  ka . Si de plus b divise c  ka , d'après le théorème de Gauss, b
doit diviser k, d'où k  bk  et c  abk  .
2. Si p ne divise pas a, le PGCD de p et a n'étant pas p est donc 1.
p et a sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, p doit diviser b.
3. est une conséquence de 2. et 4. pourrait être démontré en utilisant 3.
On rappelle que les nombres rationnels sont les fractions (un entier divisé par un entier).
Les nombres rationnels forment l'ensemble noté .
Ex 17.1 On considère le polynôme P( x)  x 2  ax  b , avec a et b entiers.
Montrer que si x est une racine rationnelle de P, alors x est entier.
Quels sont les entiers n tels que n soit rationnel ?
Ex 17.2 Montrer que l'équation : 5 x 3  3x 2  3x  2  0 admet une racine rationnelle.
En déduire la résolution complète de cette équation.
Ex 17.3 Montrer que 3 2 est irrationnel.
Ex 17.4 Déterminer tous les couples d'entiers naturels ( x ; y ) vérifiant : 32 x  45 y .
28
Ex 17.5 Déterminer une fraction égale à
dont la différence des termes est 28.
44
Ex 17.6 n est un entier naturel. Prouver que (n 2  1)n 2 (n 2  1) est divisible par 60.
Ex 17.7 Montrer que tout entier naturel dont le chiffre des unités dans l'écriture décimale est
1, 3, 7 ou 9 admet un multiple dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre 1.
Ex 17.8 On pose a 
n2  1
, n est un entier, n  1.
n(n 2  1)
a) Prouvez que l'ensemble des diviseurs communs du numérateur et du dénominateur de a est
l'ensemble des diviseurs communs à n 2  1 et 2.
b) En déduire que si n est pair la fraction est irréductible et que si n est impair le PGCD du
numérateur et du dénominateur de a est égal à 2.