TDpendule inverse

1. L.F.D.
MODELISATION DU PENDULE INVERSE
1 L.F.D.
1.1 Théorème du centre de masse ( L.F.D. en translation ) :
m! G=P! Fext projettée sur Ox
chariot :
Mdx
dt =M•x=fTsin 
barre :
mdxG
dt =m•xG= 0 + Tsin 
la somme membre à membre conduit à :
M•x+m•xG=f(1)
l’écriture de xGdans le repère du chariot est :
xG=x+lsin 
yG=lcos 
+
xG= x+lcos 
yG=lsin 
+
•xG= •x+lcos • lsin  2
le théorème du centre de masse (1) s’écrit donc :
(M+m)•x+ml cos • ml sin  2=f
Pr I. Zambettakis

1. L.F.D.
1.2 Théorème du moment cinétique en O : ! O=! MO(Fext)
! MO(Fext) = 2
4
0
0
mgl sin 
3
5moment du poids mg de la barre en O, les autres sont
nuls car les e¤orts passent par O.
! O=d
dt
!
O+! vO^m! vGcar O n’est pas …xe
or :
!
O=! G+! OG ^! mvGmoment cinétique (moment de la quantité de mouvement)
=2
6
4
0
0
ml2
3
3
7
5+2
4
lsin 
lcos 
0
3
5^2 4
mxG
myG
0
3
5
rappel : le moment d’inertie J de la barre de masse m et de longueur 2l par rapport à
son centre de gravité G est
J=Zl
l
m
2ly2dy = 2 Zl
0
m
2ly2dy =m l
y3
3l
0
=ml2
3
remarque : la vitesse de rotation instantanée de la barre par rapport à G dans le repère
absolu centré en G est  ; tous les points de la barre étant animés de la même vitesse  ;
mais  > 0dans le sens inverse du sens trigo.
donc :
!
O=2
6
4
0
0
ml2
3
(lcos )mxG+ (lsin )myG
3
7
5
=2
6
4
0
0
ml2
3
ml2sin2 mlxcos ml2cos2
3
7
5
d’autre part :
!
vO^m! vG=2
4
x
0
0
3
5^2 4
mxG
myG
0
3
5=2 4
0
0
xml sin 
3
5
Pr I. Zambettakis

2. EQUATIONS DE LAGRANGE
…nalement le théorème du moment cinétique en O s’écrit, relativement à la 3ième com-
posante :
d
dt 4ml2 3
mlxcos xml sin  =mgl sin 
soit :
4ml2
3•
+ml cos •xmgl sin = 0
2 Equations de Lagrange
coordonnées généralisées xet 
2.1 energies
2.1.1 énergie cinétique du chariot
Ecc =1
2Mx2
2.1.2 énergie cinétique de la barre
Ecp =1
2J
2+1
2mv2
G
avec :
J=Zl
l
m
2ly2dy = 2 Zl
0
m
2ly2dy =m l
y3
3l
0
=ml2
3
et :
vG=x+lcos 
lsin 
2.1.3 énergie potentielle du chariot
Epc = 0
il ne s’enfonce pas dans le sol !
2.1.4 énergie potentielle de la barre
Epp =mgl cos ;
travail de la force de pesanteur mg sur la distance lcos:
Pr I. Zambettakis

2. EQUATIONS DE LAGRANGE
2.2 équations de Lagrange-Euler
le Lagrangien L=Ecc +Ecp Epc Epp;s’crit donc :
L=1
2(M+m)x2+2ml2 3
2+mlxcos  mgl cos 
les équations :
d
dt
@L
@x@L @x =f(t)
d
dt
@L
@ @L
@ = 0
conduisent également au système d’équations di¤érentielles :
8
<
:
(M+m)•x+ml cos • ml sin  2=f
4ml2
3•
+ml cos •xmgl sin = 0
régissant l’évolution du système.
Pr I. Zambettakis