TDpendule inverse

1. L.F.D.
MODELISATION DU PENDULE INVERSE
1
L.F.D.
1.1
Théorème du centre de masse ( L.F.D. en translation ) :
P!
m!
=
F ext projettée sur Ox
G
chariot :
M
dx
= M x• = f
dt
T sin
barre :
dxG
= m•
xG = 0 + T sin
dt
la somme membre à membre conduit à :
m
(1)
M x• + m•
xG = f
l’écriture de xG dans le repère du chariot est :
xG = x + l sin
yG = l cos
+
xG = x + l cos
yG = l sin
+
x•G = x• + l cos •
l sin
2
le théorème du centre de masse (1) s’écrit donc :
(M + m)•
x + ml cos •
ml sin
2
=f
Pr I. Zambettakis
1. L.F.D.
1.2
!
Théorème du moment cinétique en O : !
O = MO (Fext )
2
3
0
!
5 moment du poids mg de la barre en O, les autres sont
0
MO (Fext ) = 4
mgl sin
nuls car les e¤orts passent par O.
! = d ! + v! ^ mv! car O n’est pas …xe
O
O
G
O
dt
or :
!
! + OG
^ mv!
moment cinétique (moment de la quantité de mouvement)
G
G
3 2
2
3 2
3
0
l sin
mxG
7 4
6
0
= 4
5 + l cos 5 ^ 4 myG 5
ml2
0
0
3
! =
O
rappel : le moment d’inertie J de la barre de masse m et de longueur 2l par rapport à
son centre de gravité G est
J=
Z
l
l
m 2
y dy = 2
2l
Z
0
l
m 2
m y3
y dy =
2l
l 3
l
ml2
3
=
0
remarque : la vitesse de rotation instantanée de la barre par rapport à G dans le repère
absolu centré en G est
; tous les points de la barre étant animés de la même vitesse ;
mais > 0 dans le sens inverse du sens trigo.
donc :
2
! = 6
4
O
2
6
= 4
0
0
ml2
3
(l cos ) mxG + (l sin ) myG
0
0
ml
3
3
7
5
2
ml2 sin2
mlx cos
ml2 cos2
3
7
5
d’autre part :
2
3 2
3 2
x
mxG
! 4 0 5 ^ 4 my 5 = 4
v!
G
O ^ m vG =
0
0
0
0
xml sin
3
5
Pr I. Zambettakis
2. EQUATIONS DE LAGRANGE
…nalement le théorème du moment cinétique en O s’écrit, relativement à la 3ième composante :
d
dt
4
ml2
3
mlx cos
xml sin
=
mgl sin
soit :
4
2
ml2 •
+ ml cos x•
3
mgl sin = 0
Equations de Lagrange
coordonnées généralisées x et
2.1
2.1.1
energies
énergie cinétique du chariot
1
Ecc = M x2
2
2.1.2
énergie cinétique de la barre
avec :
J=
et :
Z
l
l
1 2 1 2
Ecp = J + mvG
2
2
Z l
m y3
m 2
m 2
y dy = 2
y dy =
2l
l 3
0 2l
vG =
2.1.3
l
=
0
ml2
3
x + l cos
l sin
énergie potentielle du chariot
Epc = 0
il ne s’enfonce pas dans le sol !
2.1.4
énergie potentielle de la barre
Epp = mgl cos ;
travail de la force de pesanteur mg sur la distance lcos :
Pr I. Zambettakis
2. EQUATIONS DE LAGRANGE
2.2
équations de Lagrange-Euler
le Lagrangien L = Ecc + Ecp
Epc
Epp ; s’crit donc :
2ml2
1
L = (M + m)x2 +
2
3
2
+ mlx cos
mgl cos
les équations :
d @L
dt @x
d @L
dt @
@L
= f (t)
@x
@L
= 0
@
conduisent également au système d’équations di¤érentielles :
8
2
< (M + m)•
x + ml cos • ml sin
=f
2
ml
• + ml cos x• mgl sin = 0
: 4
3
régissant l’évolution du système.
Pr I. Zambettakis