TD de physique quantique 2012

TD de physique quantique 2012-2013
PHELMA PNS 2A
On consid`ere un ´ev`enement de diffusion ´elastique que l’on repr´esente par une
particule de charge q1et d’´energie initiale E=~2k2
2µ, de vecteur d’onde initial
~
kk~uz, incidente sur le potentiel d’une particule immobile de charge q2.
Le potentiel coulombien s’´ecrit V(~r) = V0
ravec V0=q2/(4π0) (potentiel que
l’on multipliera par q1pour obtenir une ´energie potentielle). Classiquement, la
section efficace diff´erentielle de diffusion coulombienne entre deux charges est
donn´ee par la formule de Rutherford
σCoulomb(θ) = 1
4π0
q1q2
4Esin2(θ/2)2
,
o`u θest l’angle de la direction de d´etection vis-`a-vis du faisceau incident.
Nous allons par un calcul de diffusion quantique essayer de retrouver ce
r´esultat.
I Potentiel de Coulomb et potentiel de Yukawa
a.) Montrez que le calcul direct de la transform´ee de Fourier de V
˜
V(~q) = 1
(2π)3/2ZV(~r)e−i~q·~r d3~r
ne converge pas.
b.) On introduit alors un facteur de convergence dans le potentiel, qui
devient
V(~r) = V0e−αr
r.
Ce type de potentiel est appel´e potentiel de Yukawa, il a une port´ee r0=
α−1>0. Calculez ˜ V(~q) puis faites tendre αvers 0.
Nota : On pourra utiliser
+∞
Z
0
sin (qr) exp (−αr)dr =q
q2+α2.
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II Fonctions de Green et approximation de Born
On cherche `a d´emontrer le r´esultat utilis´e en cours, `a savoir que la diffusion
d’une onde plane de vecteur d’onde ~ kk~uzsur un potentiel Vproduit une
fonction d’onde diffus´ee de la forme
ϕ(~r) = eikz +f(θ, ϕ)eikr
r.
a.) Montrez que l’on est amen´e `a chercher les solutions de l’´equation sta-
tionnaire de diffusion
∆ + k2−U(~r)ϕ(~r)=0,
o`u U=2µ
~2Vet Vest un potentiel d´ecroissant suffisamment vite `a l’infini.
On d´efinit la fonction
G(~r) = −1
4π
eikr
r.
En coordonn´ees sph´eriques, le Laplacien d’une fonction d´ependant uniquement
de rs’´ecrit pour r6= 0
∆ = 1
r
d2
dr2r.
b.) Montrez que pour tout r6= 0, ∆(1/r) = 0.
c.) Ecrivez l’´equation de Maxwell pour le champ ´electrostatique cr´ee par
une charge ponctuelle en ~r =~ 0. D´eduisez-en que ∀~r
∆1
r=−4πδ(~r).
d.) Pour ”r´egulariser” Gen 0, on d´ecomposera cette fonction de la mani`ere
suivante en deux fonctions dont le Laplacien est bien d´efini en 0:
eikr
r=eikr −1 r+1 r.
Montrez que
(∆ + k2)G=δ(~r),
ce qui d´efinit Gcomme la fonction de Green de l’´equation de propagation.
e.) Consid´erons une fonction d’onde ϕ(~r) qui v´erifie
ϕ(~r) = ZG(~r −~r 0)U(~r 0)ϕ(~r 0) d3~r 0.
Montrez que ϕest solution de l’´equation stationnaire de diffusion.
f.) Montrez qu’il en est de mˆeme avec ϕ(~r) solution de
ϕ(~r) = ϕ0(~r) + ZG(~r −~r 0)U(~r 0)ϕ(~r 0) d3~r 0,
o`u ϕ0(~r) = ei~
k·~r ou toute autre fonction telle que (∆ + k2)ϕ0(~r) = 0.
(ϕ0(~r) est l’analogue d’une constante d’int´egration)
Cette ´equation int´egrale auto-coh´erente est ainsi ´equivalente `a l’´equation de
Schrodinger des ´etats stationnaires de diffusion. Lorsque le potentiel d’interaction
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est faible, on peut souvent faire l’approximation que le terme int´egral (terme
de diffusion) est une petite correction devant le terme principal non diffus´e
ei~
k·~r =eikz . L’approximation de Born consiste alors `a poser ϕ(~r)≈ϕ0(~r) sous
l’int´egrale.
On consid`ere la d´etection en un point ~r tr`es ´eloign´e de la zone d’interaction,
tel que |~r || ~r 0|.
r"
r’"
r""$"r’"
u"
Zone%d’interac-on%
Détecteur%
g.) Montrez que |~r −~r 0|≈ r−~u ·~r 0(voir dessin).
h.) Ecrivez l’expression approch´ee de G(~r −~r 0) dans ces conditions puis
d´eduisez-en l’expression de l’amplitude de diffusion f(θ, ϕ) d´efinie en cours,
dans l’approximation de Born.
III Formule de Rutherford
a.) Calculez la section efficace diff´erentielle σ(θ, ϕ) de la diffusion sur le
potentiel de Yukawa (α6= 0) dans l’approximation de Born.
b.) Donnez la section efficace totale de la diffusion sur un potentiel de
Yukawa sous forme d’une int´egrale convergente que l’on ne cherchera pas `a
calculer.
c.) Pour retrouver le cas coulombien, faites tendre αvers 0 dans l’expression
de σ(θ, ϕ). Comparez la section efficace diff´erentielle trouv´ee `a la formule de
Rutherford.
Nota : le potentiel coulombien pose souvent des probl`emes de convergence `a
cause de sa longue port´ee. Dans la r´ealit´e, cette longue port´ee est de fait coup´ee
par l’´ecrantage par des charges environnantes de signe oppos´e.
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