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II Fonctions de Green et approximation de Born
On cherche `a d´emontrer le r´esultat utilis´e en cours, `a savoir que la diffusion
d’une onde plane de vecteur d’onde ~
kk~uzsur un potentiel Vproduit une
fonction d’onde diffus´ee de la forme
ϕ(~r) = eikz +f(θ, ϕ)eikr
r.
a.) Montrez que l’on est amen´e `a chercher les solutions de l’´equation sta-
tionnaire de diffusion
∆ + k2−U(~r)ϕ(~r)=0,
o`u U=2µ
~2Vet Vest un potentiel d´ecroissant suffisamment vite `a l’infini.
On d´efinit la fonction
G(~r) = −1
4π
eikr
r.
En coordonn´ees sph´eriques, le Laplacien d’une fonction d´ependant uniquement
de rs’´ecrit pour r6= 0
∆ = 1
r
d2
dr2r.
b.) Montrez que pour tout r6= 0, ∆(1/r) = 0.
c.) Ecrivez l’´equation de Maxwell pour le champ ´electrostatique cr´ee par
une charge ponctuelle en ~r =~
0. D´eduisez-en que ∀~r
∆1
r=−4πδ(~r).
d.) Pour ”r´egulariser” Gen 0, on d´ecomposera cette fonction de la mani`ere
suivante en deux fonctions dont le Laplacien est bien d´efini en 0:
eikr
r=eikr −1
r+1
r.
Montrez que
(∆ + k2)G=δ(~r),
ce qui d´efinit Gcomme la fonction de Green de l’´equation de propagation.
e.) Consid´erons une fonction d’onde ϕ(~r) qui v´erifie
ϕ(~r) = ZG(~r −~r 0)U(~r 0)ϕ(~r 0) d3~r 0.
Montrez que ϕest solution de l’´equation stationnaire de diffusion.
f.) Montrez qu’il en est de mˆeme avec ϕ(~r) solution de
ϕ(~r) = ϕ0(~r) + ZG(~r −~r 0)U(~r 0)ϕ(~r 0) d3~r 0,
o`u ϕ0(~r) = ei~
k·~r ou toute autre fonction telle que (∆ + k2)ϕ0(~r) = 0.
(ϕ0(~r) est l’analogue d’une constante d’int´egration)
Cette ´equation int´egrale auto-coh´erente est ainsi ´equivalente `a l’´equation de
Schrodinger des ´etats stationnaires de diffusion. Lorsque le potentiel d’interaction
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