TD de physique quantique 2012

TD de physique quantique 2012-2013
PHELMA PNS 2A
On considère un évènement de diffusion élastique que l’on représente par une
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particule de charge q1 et d’énergie initiale E = ~2µk , de vecteur d’onde initial
~k k ~uz , incidente sur le potentiel d’une particule immobile de charge q2 .
Le potentiel coulombien s’écrit V (~r) = Vr0 avec V0 = q2 /(4π0 ) (potentiel que
l’on multipliera par q1 pour obtenir une énergie potentielle). Classiquement, la
section efficace différentielle de diffusion coulombienne entre deux charges est
donnée par la formule de Rutherford
σCoulomb (θ) =
q1 q2
1
4π0 4E sin2 (θ/2)
2
,
où θ est l’angle de la direction de détection vis-à-vis du faisceau incident.
Nous allons par un calcul de diffusion quantique essayer de retrouver ce
résultat.
I Potentiel de Coulomb et potentiel de Yukawa
a.) Montrez que le calcul direct de la transformée de Fourier de V
Z
1
Ṽ (~q) =
V (~r)e−i~q·~r d3~r
(2π)3/2
ne converge pas.
b.) On introduit alors un facteur de convergence dans le potentiel, qui
devient
V0 e−αr
V (~r) =
.
r
Ce type de potentiel est appelé potentiel de Yukawa, il a une portée r0 =
α−1 > 0. Calculez Ṽ (~q) puis faites tendre α vers 0.
Nota : On pourra utiliser
+∞
Z
sin (qr) exp (−αr) dr =
0
1
q2
q
.
+ α2
II Fonctions de Green et approximation de Born
On cherche à démontrer le résultat utilisé en cours, à savoir que la diffusion
d’une onde plane de vecteur d’onde ~k k ~uz sur un potentiel V produit une
fonction d’onde diffusée de la forme
eikr
.
r
a.) Montrez que l’on est amené à chercher les solutions de l’équation stationnaire de diffusion
∆ + k 2 − U (~r) ϕ(~r) = 0,
ϕ(~r) = eikz + f (θ, ϕ)
où U =
2µ
~2 V
et V est un potentiel décroissant suffisamment vite à l’infini.
On définit la fonction
1 eikr
.
4π r
En coordonnées sphériques, le Laplacien d’une fonction dépendant uniquement
de r s’écrit pour r 6= 0
1 d2
r.
∆=
r dr2
b.) Montrez que pour tout r 6= 0, ∆(1/r) = 0.
c.) Ecrivez l’équation de Maxwell pour le champ électrostatique crée par
une charge ponctuelle en ~r = ~0. Déduisez-en que ∀~r
1
∆
= −4πδ(~r).
r
G(~r) = −
d.) Pour ”régulariser” G en 0, on décomposera cette fonction de la manière
suivante en deux fonctions dont le Laplacien est bien défini en 0:
eikr − 1 1
eikr
=
+ .
r
r
r
Montrez que
(∆ + k 2 )G = δ(~r),
ce qui définit G comme la fonction de Green de l’équation de propagation.
e.) Considérons une fonction d’onde ϕ(~r) qui vérifie
Z
ϕ(~r) = G(~r − ~r 0 )U (~r 0 )ϕ(~r 0 ) d3~r 0 .
Montrez que ϕ est solution de l’équation stationnaire de diffusion.
f.) Montrez qu’il en est de même avec ϕ(~r) solution de
Z
ϕ(~r) = ϕ0 (~r) + G(~r − ~r 0 )U (~r 0 )ϕ(~r 0 ) d3~r 0 ,
~
où ϕ0 (~r) = eik·~r ou toute autre fonction telle que (∆ + k 2 )ϕ0 (~r) = 0.
(ϕ0 (~r) est l’analogue d’une constante d’intégration)
Cette équation intégrale auto-cohérente est ainsi équivalente à l’équation de
Schrodinger des états stationnaires de diffusion. Lorsque le potentiel d’interaction
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est faible, on peut souvent faire l’approximation que le terme intégral (terme
de diffusion) est une petite correction devant le terme principal non diffusé
~
eik·~r = eikz . L’approximation de Born consiste alors à poser ϕ(~r) ≈ ϕ0 (~r) sous
l’intégrale.
On considère la détection en un point ~r très éloigné de la zone d’interaction,
tel que | ~r || ~r 0 |.
Détecteur r r -­‐ r ’ u r’ Zone d’interac-on g.) Montrez que | ~r − ~r 0 |≈ r − ~u · ~r 0 (voir dessin).
h.) Ecrivez l’expression approchée de G(~r − ~r 0 ) dans ces conditions puis
déduisez-en l’expression de l’amplitude de diffusion f (θ, ϕ) définie en cours,
dans l’approximation de Born.
III Formule de Rutherford
a.) Calculez la section efficace différentielle σ(θ, ϕ) de la diffusion sur le
potentiel de Yukawa (α 6= 0) dans l’approximation de Born.
b.) Donnez la section efficace totale de la diffusion sur un potentiel de
Yukawa sous forme d’une intégrale convergente que l’on ne cherchera pas à
calculer.
c.) Pour retrouver le cas coulombien, faites tendre α vers 0 dans l’expression
de σ(θ, ϕ). Comparez la section efficace différentielle trouvée à la formule de
Rutherford.
Nota : le potentiel coulombien pose souvent des problèmes de convergence à
cause de sa longue portée. Dans la réalité, cette longue portée est de fait coupée
par l’écrantage par des charges environnantes de signe opposé.
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