Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Théorème (Unicité de la limite) Soient f:D−→ Rune fonction et a∈D.
(i) Si fpossède une limite en a, elle est unique et notée : lim
afou lim
x→af(x).
Pour tout ℓ∈R, la relation : lim
af=ℓest souvent notée : f−→
aℓou f(x)−→
x→aℓ.
(ii) SIa∈Det si fpossède une limite en a, alors : lim
af=f(a).
Explication Pour l’assertion (ii) :
a
f(a)
fest définie en a
et : lim
af=f(a).
a
f(a)
fest définie en a
mais lim
afn’existe pas.
Nous verrons cela dit
que : lim
a−f=lim
a+f.
Démonstration
(i) Par l’absurde, faisons l’hypothèse que fpossède deux limites ℓet ℓ′DISTINCTES. Il existe alors un
voisinage Vℓde ℓet un voisinage Vℓ′de ℓ′DISJOINTS. Or par hypothèse sur f, il existe deux voisinages
Vaet V′
ade apour lesquels : ∀x∈D∩Va,f(x)∈ Vℓet ∀x∈D∩V ′
a,f(x)∈ Vℓ′.
Or : D∩Va∩V ′
a6=∅, et pour tout x∈D∩Va∩V ′
a:f(x)∈ Vℓ∩Vℓ′alors que nous avons choisi
Vℓet Vℓ′disjoints — contradiction !
(ii) Faisons l’hypothèse que fest définie en a, i.e. que : a∈D, et possède une limite ℓen a.
Peut-on avoir : ℓ= +∞? Il existerait alors un voisinage Vade asur lequel : f(x)∈f(a),+∞.
Pour x=a, on aurait en particulier : f(a)∈f(a),+∞— contradiction. On pourrait montrer de
même que : ℓ6=−∞. Conclusion : ℓ∈R.
Pour tout ǫ > 0, il existe ainsi par hypothèse un voisinage V′
ade asur lequel : f(x)∈]ℓ−ǫ,ℓ+ǫ[.
En particulier, pour x=a:∀ǫ > 0,
f(a)−ℓ
< ǫ. Sous l’hypothèse que : ℓ6=f(a), ce
résultat est contradictoire pour : ǫ=
f(a)−ℓ
2, donc forcément : ℓ=f(a).
Définition (Les 9 limites) Soient f:D−→ Rune fonction, a∈Det ℓ∈R.
•Cas où ℓ∈Ret a∈R:
lim
af=ℓ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃α > 0/∀x∈D,|x−a|< α =⇒
f(x)−ℓ
< ǫ.
•Cas où ℓ= +∞et a= +∞:
lim
+∞f= +∞ ⇐⇒ ∀A>0, ∃B>0/∀x∈D,x>B=⇒f(x)>A.
•Cas où ℓ=−∞ et a= +∞:
lim
+∞f=−∞ ⇐⇒ ∀A<0, ∃B>0/∀x∈D,x>B=⇒f(x)<A.
•Cas où ℓ= +∞et a=−∞ :
lim
−∞ f= +∞ ⇐⇒ ∀A>0, ∃B<0/∀x∈D,x<B=⇒f(x)>A.
•Cas où ℓ=−∞ et a=−∞ :
lim
−∞ f=−∞ ⇐⇒ ∀A<0, ∃B<0/∀x∈D,x<B=⇒f(x)<A.
•Cas où ℓ∈Ret a= +∞:
lim
+∞f=ℓ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃B>0/∀x∈D,x>B=⇒
f(x)−ℓ
< ǫ.
•Cas où ℓ∈Ret a=−∞ :
lim
−∞ f=ℓ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃B<0/∀x∈D,x<B=⇒
f(x)−ℓ
< ǫ.
•Cas où ℓ= +∞et a∈R,a/∈D:
lim
af= +∞ ⇐⇒ ∀A>0, ∃α > 0/∀x∈D,|x−a|< α =⇒f(x)>A.
•Cas où ℓ=−∞ et a∈R,a/∈D:
lim
af=−∞ ⇐⇒ ∀A<0, ∃α > 0/∀x∈D,|x−a|< α =⇒f(x)<A.
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