limites d`une fonction

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
LIMITES D’UNE FONCTION
Les fonctions qu’on étudie en analyse sont souvent définies sur des intervalles, mais souvent aussi sur des réunions
d’intervalles comme R∗ou [0, 1[∪[2, 3]. Dans ce chapitre, pour simplifier, les lettres D,E. . . désigneront toujours des réunions
finies d’intervalles — mais on pourrait généraliser à certaines réunions infinies d’intervalles comme i−π
2,π 2h+πZ.
Définition (Adhérence d’une partie dans R)On appelle adhérence de D dans Ret on note Dl’ensemble des x∈Rqui
sont la limite d’une suite d’éléments de D.
Explication Dn’est jamais que l’ensemble Dauquel on a ajouté ses « bornes », sa « frontière ».
Exemple [0, 1[ = [0, 1],]0, +∞[ = [0, +∞],R∗=Ret ]0, 1]∪]2, 3[ = [0, 1]∪[2, 3].
Définition (Propriété vraie au voisinage d’un point) Soient f:D−→ Rune fonction et a∈D. On dit que fvérife
une certaine propriété Pau voisinage de a si fvérifie la propriété Psur D∩V pour un certain voisinage Vde a.
Exemple La fonction sinus est croissante au voisinage de 0 et la fonction cosinus minorée par 1
2au voisinage de 0.
1DÉFINITIONS DE LA LIMITE D’UNE FONCTION
1.1 LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT
Définition (Limite d’une fonction en un point) Soient f:D−→ Rune fonction, a∈Det ℓ∈R. On dit que f admet
ℓpour limite en a si : pour tout voisinage Vℓde ℓ, il existe un voisinage Vade asur lequel : f(x)∈ Vℓ.
a
ℓ
∃Va
∀Vℓ
lim
af=ℓavec ℓ∈Ret a∈R∃V+∞
∀V+∞
lim
+∞f= +∞
ℓ
∃V+∞
∀Vℓ
lim
+∞f=ℓavec ℓ∈R
a∃Va
∀V+∞
lim
af= +∞avec a∈R
a
ℓ
∃Va
∀Vℓ
lim
af=ℓavec ℓ∈Ret a∈R
a∃Va
∀V+∞
lim
af= +∞
1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Théorème (Unicité de la limite) Soient f:D−→ Rune fonction et a∈D.
(i) Si fpossède une limite en a, elle est unique et notée : lim
afou lim x→af(x).
Pour tout ℓ∈R, la relation : lim
af=ℓest souvent notée : f−→ aℓou f(x)−→ x→aℓ.
(ii) SIa∈Det si fpossède une limite en a, alors : lim
af=f(a).
Explication Pour l’assertion (ii) :
a
f(a)
fest définie en a
et : lim
af=f(a).
a
f(a)
fest définie en a
mais lim
afn’existe pas.
Nous verrons cela dit
que : lim
a−f=lim
a+f.
Démonstration
(i) Par l’absurde, faisons l’hypothèse que fpossède deux limites ℓet ℓ′DISTINCTES. Il existe alors un
voisinage Vℓde ℓet un voisinage Vℓ′de ℓ′DISJOINTS. Or par hypothèse sur f, il existe deux voisinages
Vaet V′
ade apour lesquels : ∀x∈D∩Va,f(x)∈ Vℓet ∀x∈D∩V ′ a,f(x)∈ Vℓ′.
Or : D∩Va∩V ′
a6=∅, et pour tout x∈D∩Va∩V ′ a:f(x)∈ Vℓ∩Vℓ′alors que nous avons choisi
Vℓet Vℓ′disjoints — contradiction !
(ii) Faisons l’hypothèse que fest définie en a, i.e. que : a∈D, et possède une limite ℓen a.
Peut-on avoir : ℓ= +∞? Il existerait alors un voisinage Vade asur lequel : f(x)∈f(a),+∞.
Pour x=a, on aurait en particulier : f(a)∈f(a),+∞— contradiction. On pourrait montrer de
même que : ℓ6=−∞. Conclusion : ℓ∈R.
Pour tout ǫ > 0, il existe ainsi par hypothèse un voisinage V′
ade asur lequel : f(x)∈]ℓ−ǫ,ℓ+ǫ[.
En particulier, pour x=a:∀ǫ > 0, 
f(a)−ℓ < ǫ. Sous l’hypothèse que : ℓ6=f(a), ce
résultat est contradictoire pour : ǫ=
f(a)−ℓ
2, donc forcément : ℓ=f(a).
Définition (Les 9 limites) Soient f:D−→ Rune fonction, a∈Det ℓ∈R.
•Cas où ℓ∈Ret a∈R:
lim
af=ℓ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃α > 0/∀x∈D,|x−a|< α =⇒
f(x)−ℓ < ǫ.
•Cas où ℓ= +∞et a= +∞:
lim
+∞f= +∞ ⇐⇒ ∀A>0, ∃B>0/∀x∈D,x>B=⇒f(x)>A.
•Cas où ℓ=−∞ et a= +∞:
lim
+∞f=−∞ ⇐⇒ ∀A<0, ∃B>0/∀x∈D,x>B=⇒f(x)<A.
•Cas où ℓ= +∞et a=−∞ :
lim
−∞ f= +∞ ⇐⇒ ∀A>0, ∃B<0/∀x∈D,x<B=⇒f(x)>A.
•Cas où ℓ=−∞ et a=−∞ :
lim
−∞ f=−∞ ⇐⇒ ∀A<0, ∃B<0/∀x∈D,x<B=⇒f(x)<A.
•Cas où ℓ∈Ret a= +∞:
lim
+∞f=ℓ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃B>0/∀x∈D,x>B=⇒
f(x)−ℓ
< ǫ.
•Cas où ℓ∈Ret a=−∞ :
lim
−∞ f=ℓ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃B<0/∀x∈D,x<B=⇒
f(x)−ℓ
< ǫ.
•Cas où ℓ= +∞et a∈R,a/∈D:
lim
af= +∞ ⇐⇒ ∀A>0, ∃α > 0/∀x∈D,|x−a|< α =⇒f(x)>A.
•Cas où ℓ=−∞ et a∈R,a/∈D:
lim
af=−∞ ⇐⇒ ∀A<0, ∃α > 0/∀x∈D,|x−a|< α =⇒f(x)<A.
2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
En pratique Inégalités STRICTES ou inégalités LARGES, choisissez ce que vous préférez.
Exemple lim
x→1
x+2
px−1= +∞.
En effet Nous devons montrer que : ∀A>0, ∃α > 0/∀x∈]1, +∞[,|x−1|< α =⇒x+2
px−1>A.
Soit A>0. Pour tout x∈]1, +∞[, minorons : x+2
px−1¾3 px−1¾1 px−1.
On minore en SIMPLIFIANT et en vérifiant
que ce par quoi on minore TEND TOU-
JOURS VERS +∞quand xtend vers 1.
On arrête de minorer quand on
se sent capable de trouver α.
Or : 1
px−1>A⇐⇒ px−1<1
A⇐⇒ |x−1|<1 A2. Posons donc : α=1 A2.
D’après ce qui précède : ∀x∈]1, +∞[,|x−1|< α =⇒1
px−1>A.
Exemple lim
x→+∞
x2
x2+1=1.
En effet Nous devons montrer que : ∀ǫ > 0, ∃B>0/∀x∈R,x>B=⇒
x2
x2+1−1
< ǫ.
Soit ǫ > 0. Pour tout x∈R, majorons : 
x2
x2+1−1
=1
x2+1¶1 x2.
On majore en SIMPLIFIANT et en vérifiant
que ce par quoi on majore TEND TOU-
JOURS VERS 0 quand xtend vers +∞.
On arrête de majorer quand on
se sent capable de trouver B.
Or pour tout x>0 : 1
x2< ǫ ⇐⇒ x>1
pǫ. Posons donc : B=1 pǫ.
D’après ce qui précède : ∀x∈R,x>B=⇒
x2
x2+1−1
< ǫ.
Exemple lim
x→+∞x2−x= +∞.
En effet Nous devons montrer que : ∀A>0, ∃B>0/∀x∈R,x>B=⇒x2−x>A.
Soit A>0. Pour tout x¾2, comme x−1¾1 : x2−x=x(x−1)¾x.
On minore en SIMPLIFIANT et en vérifiant
que ce par quoi on minore TEND TOU-
JOURS VERS +∞quand xtend vers +∞.
On arrête de majorer quand on
se sent capable de trouver B.
Posons donc : B=max ¦2, A©. D’après ce qui précède : ∀x∈R,x>B=⇒x2−x>A.
Théorème (Limite finie et caractère localement borné) Soient f:D−→ Ret a∈D.
Si fpossède une limite FINIE en a, alors fest bornée au voisinage de a.
Démonstration Par hypothèse, il existe un voisinage Vade asur lequel : 
f(x)−ℓ <1. En particulier :
f(x) =
f(x)−ℓ+ℓ
¶
f(x)−ℓ +|ℓ|¶|ℓ|+1, donc fest bornée sur D∩Va.
3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1.2 LIMITES D’UNE FONCTION À GAUCHE/À DROITE EN UN POINT
Définition-théorème (Limite d’une fonction à gauche/à droite en un point) Soient f:D−→ Rune fonction, a∈D
et ℓ∈R. On suppose fdéfinie au voisinage de aà gauche et à droite.
•On dit que f admet ℓpour limite à gauche en a si f
D∩]−∞,a[admet ℓpour limite en a. En tant que limite, la limite
de fen aà gauche, si elle existe, est unique et notée : lim
a−fou lim
x→a−f(x)ou lim
x→a
x<a
f(x).
Plus concrètement : lim
a−f=ℓsi :
—Cas où ℓ∈R:∀ǫ > 0, ∃α > 0/∀x∈D,a−α < x<a=⇒
f(x)−ℓ < ǫ.
—Cas où ℓ= +∞:∀A>0, ∃α > 0/∀x∈D,a−α < x<a=⇒f(x)>A.
—Cas où ℓ=−∞ :∀A<0, ∃α > 0/∀x∈D,a−α < x<a=⇒f(x)<A.
•On définit de même la notion de limite à droite. Par exemple, dans le cas où ℓ∈R: lim
a+f=ℓsi :
∀ǫ > 0, ∃α > 0/∀x∈D,a<x<a+α=⇒
f(x)−ℓ < ǫ.
Exemple lim
x→0+
1
x= +∞.
En effet Soit A>0. Nous cherchons α > 0 tel que : ∀x∈]0, α[,1
x>A.
Or pout tout x>0 : 1
x>A⇐⇒ x<1 A. Nous pouvons donc choisir : α=1 A.
Théorème (Caractérisation de la limite à l’aide des limites à gauche/à droite) Soient f:D−→ Rune fonction,
a∈Det ℓ∈R. On suppose fdéfinie au voisinage de aà gauche et à droite.
(i) Si a∈D: lim
af=ℓ⇐⇒ lim
a−f=lim a+f=ℓet ℓ=f(a).
(ii) Si a/∈D: lim
af=ℓ⇐⇒ lim
a−f=lim
a+f=ℓ.
Explication Pour bien comprendre la condition « et ℓ=f(a)», jetez un œil aux deux figures de la page 2.
Démonstration Montrons seulement (i).
•Si : lim
af=ℓ, nous savons déjà que : ℓ=f(a). On obtient le résultat : lim
a−f=lim a+f=ℓpar
simple restriction du domaine à D∩]−∞,a[et D∩]a,+∞[dans la définition de la limite : lim
af=ℓ.
•Réciproquement, supposons qu’on ait : lim
a−f=lim
a+f=ℓ=f(a)— en particulier : ℓ∈R. Nous
voulons montrer que : lim
af=ℓ. Soit ǫ > 0. Il existe α−>0 et α+>0 tels que pour tout x∈D:
a−α−<x<a=⇒
f(x)−ℓ < ǫet a<x<a+α+=⇒ f(x)−ℓ < ǫ.
Posons : α=min ¦α−,α+©et donnons-nous x∈Dtel que |x−a|< α, i.e. a−α < x<a+α. Alors :
— si a−α < x<a, on a en fait : a−α−<x<a, donc : 
f(x)−ℓ < ǫ,
— si x=a:
f(x)−ℓ = f(a)−ℓ =0< ǫ,
— si a<x<a+α, on a en fait : a<x<a+α+, donc : 
f(x)−ℓ < ǫ.
Dans tous les cas : 
f(x)−ℓ < ǫ, c’est terminé. 
Exemple On note fla fonction x7−→ §exsi x¾0
1−xsi x<0de Rdans R. Alors : lim
0f=1.
En effet Puisque : lim
x→0−(1−x) = 1 et lim
x→0+ex=1, ET PUISQUE :f(0) = 1, alors : lim
x→0f(x) = 1.
4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
2MANIPULATION DES LIMITES
2.1 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
Il se passe avec les fonctions la même chose qu’avec les suites pour les opérations de somme, produit, multiplication par
un scalaire et inverse — en particulier, mêmes formes indéterminées. Pour ne pas perdre de temps inutilement, nous ne nous
arrêterons pas davantage sur ces résultats, refaites un tour du côté des suites.
Théorème (Composition de limites) Soient f:D−→ Eet g:E−→ Rdeux fonctions, a∈D,b∈Eet c∈R.
Si : lim
af=bet si : lim
bg=c, alors : lim
ag◦f=c.
Démonstration Soit Vcun voisinage de c.
Comme lim
bg=c, il existe un voisinage Vbde bpour lequel : ∀x∈E∩Vb,g(x)∈ Vc, et comme lim
af=b,
il existe un voisinage Vade apour lequel : ∀x∈D∩ Va,f(x)∈ Vb.
Par composition : ∀x∈D∩Va,g◦f(x)∈ Vc. Comme voulu : lim
ag◦f=c.
Va
D
3
. . . et donc aussi un voisinage Vade a
que fenvoie dans Vb.
VbE
2. . . il existe un voisinage Vbde b
que genvoie dans Vc...
Vc
1Pour tout voisinage Vcde c...
4Finalement g◦fenvoie Vadans Vcd’un coup d’un seul.
fg
g◦f
a
b
c
Exemple lim
x→+∞ln e−2x+1
(e−x+1)2=0.
En effet AU BROUILLON :x7−→ e−x=y7−→ y2+1
(y+1)2=z7−→ ln z. Une fois qu’on a fait ça, c’est facile,
on n’a plus qu’à remarquer que : lim
x→+∞e−x=0, lim
y→0
y2+1
(y+1)2=1 et lim
z→1ln z=0.
2.2 PASSAGE À LA LIMITE DANS LES INÉGALITÉS
Théorème (Limites et inégalités strictes) Soient f:D−→ Rune fonction, a∈Det m,M∈R.
(i) Si lim
af<M, alors : f(x)<Mau voisinage de a.
(ii) Si lim
af>m, alors : f(x)>mau voisinage de a.
Démonstration Nous prouverons seulement (ii). Posons : ℓ=lim
af. Si : ℓ= +∞, il existe un
voisinage Vade asur lequel : f(x)∈]m,+∞[. Si au contraire ℓ∈R, sachant que : ℓ−m>0 par
hypothèse, il existe un voisinage Vade asur lequel : f(x)∈]ℓ−(ℓ−m),ℓ+ (ℓ−m)[ ⊂]m,+∞[. Dans
les deux cas : f(x)>mau voisinage de a.
5