Les nombres complexes : formes trigonométrique et exponentielle

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Isabelle Morel-TS-cours complexes formes trigonométrique et exponentielle
Les nombres complexes : formes
trigonométrique et exponentielle
1
Lien avec les complexes
Soit M (z) un point du plan différent de l’origine O. Le point M admet donc un couple
(r; θ) de coordonnées polaires.
• On appelle module du complexe z le réel strictement positif r. On note |z|. On
a déjà étudié dans le chapitre précédent les propriétés du module d’un nombre
complexe.
Argument d’un nombre complexe
1.1
1.2
• On appelle argument du complexe z le nombre θ. Par conséquent, tout nombre
0
θ = θ[2π] est un argument de z. On note θ = arg z[2π].
Coordonnées polaires
Tout point M du plan distinct de
O est repéré par un couple de coordonnées polaires (r, θ), avec r > 0
tels que :
• Si z = 0, alors on pose |z| = 0, mais z n’a pas d’argument.
2
b
1
• r est la distance OM ,
• θ est la mesure de l’angle
−−→
→
(−
u ; OM ).
Premières propriétés :
M
1. Si z = a + ib, alors |z|2 = a2 + b2 ou encore, puisque |z| > 0, |z| =
θ
2. Si M (z), alors M est le symétrique de M (z) par rapport
p à l’axe des abscisses.
Donc |z| = OM = OM = |z|; donc |z| = |z| = a2 + b2 . De plus, on a
−−→
−−→
→
→
u ; OM ), donc arg z = − arg z.
(−
u ; OM ) = −(−
1
2
3
• Pour l’origine O du repère, on a r = 0, mais θ n’est pas défini.
• Si (r; θ) est un couple de coordonnées polaires de M , tout autre couple de co0
0
ordonnées polaires de M est de la forme (r; θ ), avec θ = θ + 2kπ, k ∈ Z
0
(θ = θ[2π]).
Lien entre coordonnées polaires et coordonnées catésiennes :
1. Si (r; θ) est un couple de coordonnées polaires de M , alors les coordonnées
cartésiennes (x; y) de M sont telles que :
x = r cos θ
y = r sin θ
p
a2 + b 2 .
r
3. Pour tout réel x, le module de x est la valeur absolue de x. De plus,
• si x > 0, arg x = 0[2π],
• si x < 0, arg x = π[2π].
π
4. Soit z 6= 0. z imaginaire pur équivaut à arg z = ± [2π].
2
π
Exemple : |1 + i|2 = 2 et arg(1 + i) = [2π].
4
1.3
Argument d’un nombre complexe et forme trigonométrique
Soit z un complexe non nul.
• Si r = |z| et θ = arg z alors z = r(cos θ + i sin θ).
• Si z = r(cos θ + i sin θ) avec r > 0 alors r = |z| et θ = arg z.
2. Réciproquement, si M (x; y) est tel que x = r cos θ et y = r sin θ avec r > 0, alors
(r; θ) est un couple de coordonnées polaires de M telles que :
Démonstration : Ce résultat découle immédiatement des relations entre coordonnées
polaires et coordonnées cartésiennes.

p
2 + y2

x
r
=


x
L’écriture z = r(cos θ + i sin θ) avec r > 0 est appelée la
cos θ =
r

forme trigonométrique de z.
y


sin θ =
r
Pour z 6= 0, les relations de passage entre forme trigonométrique et forme algébrique
2
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sont résumées ci-dessous :
r = |z| =
p
a2 + b 2
Forme algébrique :
z = a + ib
Propriétés algébriques de l’argument
b
r
Forme trigonométrique :
z = r(cos θ + i sin θ), r > 0
cos θ =
−→
←−
a
r
0
Soient z et z deux complexes. Alors :
sin θ =
Exemples :
√
√
3
1
2π
2π
1. Soit z = −1 + i 3. Alors |z| = 2 donc z = 2(− + i
) = 2(cos
+ i sin ).
2
2
3
3
2π
Donc la forme trigonométrique de z est z = 2(cos 2π
3 + i sin 3 ).
0
0
1. arg(zz ) = arg z + arg z [2π],
2. Pour tout entier naturel n, arg(z n ) = n arg z[2π],
1
= − arg z[2π],
z
0
z
0
4. Pour tout z =
6 , arg 0 = arg z − arg z [2π].
z
3. Pour tout z 6= 0, arg
Démonstration :
2. Si z = r(cos θ + i sin θ) alors z = r(cos θ − i sin θ) = r(cos(−θ) + i sin(−θ)). On
retrouve donc que |z| = |z| et que arg z = − arg z[2π].
3. Si z = r(cos θ + i sin θ) alors −z = −r(cos θ + i sin θ) = r(− cos θ − i sin θ) =
r(cos(θ + π) + i sin(θ + π)). On retrouve donc que | − z| = |z| et arg(−z) =
arg z + π[2π].
4. Si z = r(cos θ + i sin θ) alors −z = −r(cos θ − i sin θ) = r(− cos θ + i sin θ) =
r(cos(π − θ) + i sin(π − θ)). On retrouve donc que | − z| = |z| et que arg(−z) =
π − arg z[2π].
Lien entre argument et nature d’un complexe
1. z ∈ R+∗ ⇔ arg z = 0[2π];
2. z ∈ R−∗ ⇔ arg z = π[2π];
π
[2π];
2
π
⇔ arg z = − [2π].
2
3. z ∈ iR+∗ ⇔ arg z =
4. z ∈ iR−∗
Démonstration : On écrit z = r(cos θ + i sin θ) sous forme trigonométrique.
1. z ∈ R+∗ ⇔ r cos θ > 0 et r sin θ = 0 ⇔ cos θ > 0 et θ = 0[π] ⇔ θ = 0[2π].
2. z ∈ R−∗ ⇔ r cos θ < 0 et r sin θ = 0 ⇔ cos θ < 0 et θ = 0[π] ⇔ θ = π[2π].
3. z ∈ iR+∗ ⇔ r cos θ = 0 et r sin θ > 0 ⇔ θ =
π
π
[π] et sin θ > 0 ⇔ θ = [2π].
2
2
4. z ∈ iR−∗ ⇔ r cos θ = 0 et r sin θ < 0 ⇔ θ =
π
π
[π] et sin θ < 0 ⇔ θ = − [2π].
2
2
0
1. On écrit z et z sous forme trigonométrique. Donc:
0
0
0
0
zz
=
r(cos θ + i sin θ) × r (cos θ + i sin θ )
0
0
0
0
0
= rr [(cos θ cos θ − sin θ sin θ ) + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ )]
0
0
0
=
rr (cos(θ + θ ) + sin(θ + θ ))
0
0
Donc arg(zz ) = arg z + arg z .
2. Récurrence.
3. On a :
1
=
z
z
|z|2
r(cos θ − i sin θ)
=
r2
1
× (cos θ − i sin θ)
=
r
1
=
× (cos(−θ) + i sin(−θ))
r
1
Donc arg = − arg z.
z
4. arg
0
z
1
= arg z + arg 0 = arg z − arg z .
z0
z
Angle de vecteurs et argument
−−−→0
0
0
0
→
Soient M (z) et M (z ) deux points distincts. Alors (−
u ; M M ) = arg(z − z).
−−−→0
−−→
0
Démonstration : Soit P le point du plan tel que OP = M M . Alors zP = z − z
−
−
−
→
−−
→
0
0
→
→
et donc arg zP = arg(z − z). Or, arg zP = (−
u ; OP ) = (−
u ; M M ). Donc
−−−→0
0
→
(−
u ; M M ) = arg(z − z).
3
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2
La notation exponentielle
Soit f la fonction définie sur R par f (θ) = cos θ + i sin θ. D’après les propriétés vues
0
0
précédemment, f (θ + θ ) = f (θ)f (θ ). Ainsi, comme la fonction exponentielle, la
fonction f transforme les sommes en produits.
De plus, si on prolonge les propriétés de la dérivation, f est dérivable sur R et
0
0
f (θ) = − sin(θ) + i cos θ = i(i sin θ + cos θ) = if (θ). En particulier, f (0) = i.
Par analogie avec la définition de la propriété exponentielle, pour tout réel θ on pose
alors cos θ + i sin θ = eiθ .
Ainsi, tout nombre complexe z non nul, de module r et d’argument θ, s’écrit sous la
forme z = reiθ . C’est la forme exponentielle de z.
Les formules de Moivre et Euler
1. Formules de Moivre : Pour tout réel θ et pour tout entier n,
(eiθ )n = einθ
C’est-à-dire, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
2. Formules d’Euler : Pour tout réel θ,
Exemples :
1. ei0 = 1, eiπ = −1, ei 2 = i, e−i 2 = −i.
π
2. 1 + i =
π
√ iπ
2e 4 .
Si on écrit les propriétés de l’argument en utilisant la forme exponentielle, la simplicité
de cette écriture apparaı̂t immédiatement :
0
0
1. eiθ eiθ = ei(θ+θ ) ;
2. Pour tout entier naturel n, (eiθ )n = einθ ;
1
3. iθ = e−iθ ;
e
4.
0
eiθ
i(θ−θ )
;
0 = e
eiθ
5. eiθ = e−iθ .
Remarques :
0
0
1. eiθ = eiθ ⇔ θ = θ .
2. |eiθ | = 1 et réciproquement tout complexe z de module 1 s’écrit z = eiθ .
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Démonstration : A faire.
Exemples de calculs :
1. Calculer des puissances : pour calculer des puissances de nombres complexes,
la formule de Moivre est très agréable. Il est donc souvent astucieux d’utiliser la
forme trigonométrique
ou la forme exponentielle.
√
Calculer (1 + i 3)5 .
√
√
1
π
π
3
Soit z = 1 + i 3. Alors |z| = 2 et donc z = 2( + i
) = 2(cos + i sin ) =
2√
2
3
3
√
1
3
iπ
5
iπ
5
5 i5 π
3
3
3
2e . Donc z = (2e ) = 2 e
= 32( − i
) = 16(1 − i 3).
2
2
2. Recherche de racines n-ièmes : comme pour les puissances, la formule de Moivre
s’adapte très bien aux recherches de racines.
Soit n un entier naturel strictement positif. On appelle racine n-ième de 1 les
nombres complexes z vérifiant z n = 1.
Par exemple, cherchons les solutions dans C de l’équation z 3 = 1.
On écrit z = reiθ sous forme exponentielle. Alors r3 e3iθ = 1. Deux complexes
sont égaux ssi ils ont même module et même argument. L’équation est donc
équivalente à r3 = 1 et 3iθ = 2kπ, k ∈ Z, soit r = 1 et θ = 2kπ
3 , k ∈ Z. On
4π
et
obtient alors trois solutions de module 1 et d’arguments 0; 2π
3
3 , à savoir 1, j
et j.