1 Isabelle Morel-TS-cours complexes formes trigonométrique et exponentielle Les nombres complexes : formes trigonométrique et exponentielle 1 Lien avec les complexes Soit M (z) un point du plan différent de l’origine O. Le point M admet donc un couple (r; θ) de coordonnées polaires. • On appelle module du complexe z le réel strictement positif r. On note |z|. On a déjà étudié dans le chapitre précédent les propriétés du module d’un nombre complexe. Argument d’un nombre complexe 1.1 1.2 • On appelle argument du complexe z le nombre θ. Par conséquent, tout nombre 0 θ = θ[2π] est un argument de z. On note θ = arg z[2π]. Coordonnées polaires Tout point M du plan distinct de O est repéré par un couple de coordonnées polaires (r, θ), avec r > 0 tels que : • Si z = 0, alors on pose |z| = 0, mais z n’a pas d’argument. 2 b 1 • r est la distance OM , • θ est la mesure de l’angle −−→ → (− u ; OM ). Premières propriétés : M 1. Si z = a + ib, alors |z|2 = a2 + b2 ou encore, puisque |z| > 0, |z| = θ 2. Si M (z), alors M est le symétrique de M (z) par rapport p à l’axe des abscisses. Donc |z| = OM = OM = |z|; donc |z| = |z| = a2 + b2 . De plus, on a −−→ −−→ → → u ; OM ), donc arg z = − arg z. (− u ; OM ) = −(− 1 2 3 • Pour l’origine O du repère, on a r = 0, mais θ n’est pas défini. • Si (r; θ) est un couple de coordonnées polaires de M , tout autre couple de co0 0 ordonnées polaires de M est de la forme (r; θ ), avec θ = θ + 2kπ, k ∈ Z 0 (θ = θ[2π]). Lien entre coordonnées polaires et coordonnées catésiennes : 1. Si (r; θ) est un couple de coordonnées polaires de M , alors les coordonnées cartésiennes (x; y) de M sont telles que : x = r cos θ y = r sin θ p a2 + b 2 . r 3. Pour tout réel x, le module de x est la valeur absolue de x. De plus, • si x > 0, arg x = 0[2π], • si x < 0, arg x = π[2π]. π 4. Soit z 6= 0. z imaginaire pur équivaut à arg z = ± [2π]. 2 π Exemple : |1 + i|2 = 2 et arg(1 + i) = [2π]. 4 1.3 Argument d’un nombre complexe et forme trigonométrique Soit z un complexe non nul. • Si r = |z| et θ = arg z alors z = r(cos θ + i sin θ). • Si z = r(cos θ + i sin θ) avec r > 0 alors r = |z| et θ = arg z. 2. Réciproquement, si M (x; y) est tel que x = r cos θ et y = r sin θ avec r > 0, alors (r; θ) est un couple de coordonnées polaires de M telles que : Démonstration : Ce résultat découle immédiatement des relations entre coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes. p 2 + y2 x r = x L’écriture z = r(cos θ + i sin θ) avec r > 0 est appelée la cos θ = r forme trigonométrique de z. y sin θ = r Pour z 6= 0, les relations de passage entre forme trigonométrique et forme algébrique 2 Isabelle Morel-TS-cours complexes formes trigonométrique et exponentielle sont résumées ci-dessous : r = |z| = p a2 + b 2 Forme algébrique : z = a + ib Propriétés algébriques de l’argument b r Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ), r > 0 cos θ = −→ ←− a r 0 Soient z et z deux complexes. Alors : sin θ = Exemples : √ √ 3 1 2π 2π 1. Soit z = −1 + i 3. Alors |z| = 2 donc z = 2(− + i ) = 2(cos + i sin ). 2 2 3 3 2π Donc la forme trigonométrique de z est z = 2(cos 2π 3 + i sin 3 ). 0 0 1. arg(zz ) = arg z + arg z [2π], 2. Pour tout entier naturel n, arg(z n ) = n arg z[2π], 1 = − arg z[2π], z 0 z 0 4. Pour tout z = 6 , arg 0 = arg z − arg z [2π]. z 3. Pour tout z 6= 0, arg Démonstration : 2. Si z = r(cos θ + i sin θ) alors z = r(cos θ − i sin θ) = r(cos(−θ) + i sin(−θ)). On retrouve donc que |z| = |z| et que arg z = − arg z[2π]. 3. Si z = r(cos θ + i sin θ) alors −z = −r(cos θ + i sin θ) = r(− cos θ − i sin θ) = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π)). On retrouve donc que | − z| = |z| et arg(−z) = arg z + π[2π]. 4. Si z = r(cos θ + i sin θ) alors −z = −r(cos θ − i sin θ) = r(− cos θ + i sin θ) = r(cos(π − θ) + i sin(π − θ)). On retrouve donc que | − z| = |z| et que arg(−z) = π − arg z[2π]. Lien entre argument et nature d’un complexe 1. z ∈ R+∗ ⇔ arg z = 0[2π]; 2. z ∈ R−∗ ⇔ arg z = π[2π]; π [2π]; 2 π ⇔ arg z = − [2π]. 2 3. z ∈ iR+∗ ⇔ arg z = 4. z ∈ iR−∗ Démonstration : On écrit z = r(cos θ + i sin θ) sous forme trigonométrique. 1. z ∈ R+∗ ⇔ r cos θ > 0 et r sin θ = 0 ⇔ cos θ > 0 et θ = 0[π] ⇔ θ = 0[2π]. 2. z ∈ R−∗ ⇔ r cos θ < 0 et r sin θ = 0 ⇔ cos θ < 0 et θ = 0[π] ⇔ θ = π[2π]. 3. z ∈ iR+∗ ⇔ r cos θ = 0 et r sin θ > 0 ⇔ θ = π π [π] et sin θ > 0 ⇔ θ = [2π]. 2 2 4. z ∈ iR−∗ ⇔ r cos θ = 0 et r sin θ < 0 ⇔ θ = π π [π] et sin θ < 0 ⇔ θ = − [2π]. 2 2 0 1. On écrit z et z sous forme trigonométrique. Donc: 0 0 0 0 zz = r(cos θ + i sin θ) × r (cos θ + i sin θ ) 0 0 0 0 0 = rr [(cos θ cos θ − sin θ sin θ ) + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ )] 0 0 0 = rr (cos(θ + θ ) + sin(θ + θ )) 0 0 Donc arg(zz ) = arg z + arg z . 2. Récurrence. 3. On a : 1 = z z |z|2 r(cos θ − i sin θ) = r2 1 × (cos θ − i sin θ) = r 1 = × (cos(−θ) + i sin(−θ)) r 1 Donc arg = − arg z. z 4. arg 0 z 1 = arg z + arg 0 = arg z − arg z . z0 z Angle de vecteurs et argument −−−→0 0 0 0 → Soient M (z) et M (z ) deux points distincts. Alors (− u ; M M ) = arg(z − z). −−−→0 −−→ 0 Démonstration : Soit P le point du plan tel que OP = M M . Alors zP = z − z − − − → −− → 0 0 → → et donc arg zP = arg(z − z). Or, arg zP = (− u ; OP ) = (− u ; M M ). Donc −−−→0 0 → (− u ; M M ) = arg(z − z). 3 Isabelle Morel-TS-cours complexes formes trigonométrique et exponentielle 2 La notation exponentielle Soit f la fonction définie sur R par f (θ) = cos θ + i sin θ. D’après les propriétés vues 0 0 précédemment, f (θ + θ ) = f (θ)f (θ ). Ainsi, comme la fonction exponentielle, la fonction f transforme les sommes en produits. De plus, si on prolonge les propriétés de la dérivation, f est dérivable sur R et 0 0 f (θ) = − sin(θ) + i cos θ = i(i sin θ + cos θ) = if (θ). En particulier, f (0) = i. Par analogie avec la définition de la propriété exponentielle, pour tout réel θ on pose alors cos θ + i sin θ = eiθ . Ainsi, tout nombre complexe z non nul, de module r et d’argument θ, s’écrit sous la forme z = reiθ . C’est la forme exponentielle de z. Les formules de Moivre et Euler 1. Formules de Moivre : Pour tout réel θ et pour tout entier n, (eiθ )n = einθ C’est-à-dire, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). 2. Formules d’Euler : Pour tout réel θ, Exemples : 1. ei0 = 1, eiπ = −1, ei 2 = i, e−i 2 = −i. π 2. 1 + i = π √ iπ 2e 4 . Si on écrit les propriétés de l’argument en utilisant la forme exponentielle, la simplicité de cette écriture apparaı̂t immédiatement : 0 0 1. eiθ eiθ = ei(θ+θ ) ; 2. Pour tout entier naturel n, (eiθ )n = einθ ; 1 3. iθ = e−iθ ; e 4. 0 eiθ i(θ−θ ) ; 0 = e eiθ 5. eiθ = e−iθ . Remarques : 0 0 1. eiθ = eiθ ⇔ θ = θ . 2. |eiθ | = 1 et réciproquement tout complexe z de module 1 s’écrit z = eiθ . cos θ = eiθ + e−iθ 2 sin θ = eiθ − e−iθ 2i Démonstration : A faire. Exemples de calculs : 1. Calculer des puissances : pour calculer des puissances de nombres complexes, la formule de Moivre est très agréable. Il est donc souvent astucieux d’utiliser la forme trigonométrique ou la forme exponentielle. √ Calculer (1 + i 3)5 . √ √ 1 π π 3 Soit z = 1 + i 3. Alors |z| = 2 et donc z = 2( + i ) = 2(cos + i sin ) = 2√ 2 3 3 √ 1 3 iπ 5 iπ 5 5 i5 π 3 3 3 2e . Donc z = (2e ) = 2 e = 32( − i ) = 16(1 − i 3). 2 2 2. Recherche de racines n-ièmes : comme pour les puissances, la formule de Moivre s’adapte très bien aux recherches de racines. Soit n un entier naturel strictement positif. On appelle racine n-ième de 1 les nombres complexes z vérifiant z n = 1. Par exemple, cherchons les solutions dans C de l’équation z 3 = 1. On écrit z = reiθ sous forme exponentielle. Alors r3 e3iθ = 1. Deux complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argument. L’équation est donc équivalente à r3 = 1 et 3iθ = 2kπ, k ∈ Z, soit r = 1 et θ = 2kπ 3 , k ∈ Z. On 4π et obtient alors trois solutions de module 1 et d’arguments 0; 2π 3 3 , à savoir 1, j et j.