Les nombres complexes : formes trigonométrique et exponentielle

Isabelle Morel-TS-cours complexes formes trigonom´etrique et exponentielle 1
Les nombres complexes : formes
trigonom´etrique et exponentielle
1 Argument d’un nombre complexe
1.1 Coordonn´ees polaires
Tout point Mdu plan distinct de
Oest rep´er´e par un couple de coor-
donn´ees polaires (r, θ), avec r > 0
tels que :
•rest la distance OM ,
•θest la mesure de l’angle
(−→ u;−−→ OM ).
1
2
123
M
r
θ
•Pour l’origine Odu rep`ere, on a r= 0, mais θn’est pas d´efini.
•Si (r;θ)est un couple de coordonn´ees polaires de M, tout autre couple de co-
ordonn´ees polaires de Mest de la forme (r;θ0), avec θ0=θ+ 2kπ,k∈Z
(θ0=θ[2π]).
Lien entre coordonn´ees polaires et coordonn´ees cat´esiennes :
1. Si (r;θ)est un couple de coordonn´ees polaires de M, alors les coordonn´ees
cart´esiennes (x;y)de Msont telles que :
x=rcos θ
y=rsin θ
2. R´eciproquement, si M(x;y)est tel que x=rcos θet y=rsin θavec r > 0, alors
(r;θ)est un couple de coordonn´ees polaires de Mtelles que :
r=px2+y2
cos θ=x
r
sin θ=y
r
1.2 Lien avec les complexes
Soit M(z)un point du plan diff´erent de l’origine O. Le point Madmet donc un couple
(r;θ)de coordonn´ees polaires.
•On appelle module du complexe zle r´eel strictement positif r. On note |z|. On
a d´ej`a ´etudi´e dans le chapitre pr´ec´edent les propri´et´es du module d’un nombre
complexe.
•On appelle argument du complexe zle nombre θ. Par cons´equent, tout nombre
θ0=θ[2π]est un argument de z. On note θ= arg z[2π].
•Si z= 0, alors on pose |z|= 0, mais zn’a pas d’argument.
Premi`eres propri´et´es :
1. Si z=a+ib, alors |z|2=a2+b2ou encore, puisque |z|>0,|z|=pa2+b2.
2. Si M(z), alors Mest le sym´etrique de M(z)par rapport `a l’axe des abscisses.
Donc |z|=OM =OM =|z|; donc |z|=|z|=pa2+b2. De plus, on a
(−→ u;−−→ OM) = −(−→
u;−−→ OM ), donc arg z=−arg z.
3. Pour tout r´eel x, le module de xest la valeur absolue de x. De plus,
•si x > 0,arg x= 0[2π],
•si x < 0,arg x=π[2π].
4. Soit z6= 0.zimaginaire pur ´equivaut `a arg z=±π
2[2π].
Exemple : |1 + i|2= 2 et arg(1 + i) = π
4[2π].
1.3 Argument d’un nombre complexe et forme trigonom´etrique
Soit zun complexe non nul.
•Si r=|z|et θ= arg zalors z=r(cos θ+isin θ).
•Si z=r(cos θ+isin θ)avec r > 0alors r=|z|et θ= arg z.
D´emonstration : Ce r´esultat d´ecoule imm´ediatement des relations entre coor-
donn´ees polaires et coordonn´ees cart´esiennes.
L’´ecriture z=r(cos θ+isin θ)avec r > 0est appel´ee la
forme trigonom´etrique de z.
Pour z6= 0, les relations de passage entre forme trigonom´etrique et forme alg´ebrique

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sont r´esum´ees ci-dessous :
r=|z|=pa2+b2cos θ=a
rsin θ=b
r
Forme alg´ebrique : −→ Forme trigonom´etrique :
z=a+ib ←− z=r(cos θ+isin θ),r > 0
Exemples :
1. Soit z=−1 + i√3. Alors |z|= 2 donc z= 2(−1
2+i√3 2) = 2(cos 2π 3+isin 2π 3).
Donc la forme trigonom´etrique de zest z= 2(cos 2π
3+isin 2π 3).
2. Si z=r(cos θ+isin θ)alors z=r(cos θ−isin θ) = r(cos(−θ) + isin(−θ)). On
retrouve donc que |z|=|z|et que arg z=−arg z[2π].
3. Si z=r(cos θ+isin θ)alors −z=−r(cos θ+isin θ) = r(−cos θ−isin θ) =
r(cos(θ+π) + isin(θ+π)). On retrouve donc que | − z|=|z|et arg(−z) =
arg z+π[2π].
4. Si z=r(cos θ+isin θ)alors −z=−r(cos θ−isin θ) = r(−cos θ+isin θ) =
r(cos(π−θ) + isin(π−θ)). On retrouve donc que |−z|=|z|et que arg(−z) =
π−arg z[2π].
Lien entre argument et nature d’un complexe
1. z∈R+∗⇔arg z= 0[2π];
2. z∈R−∗ ⇔arg z=π[2π];
3. z∈iR+∗⇔arg z=π
2[2π];
4. z∈iR−∗ ⇔arg z=−π
2[2π].
D´emonstration : On ´ecrit z=r(cos θ+isin θ)sous forme trigonom´etrique.
1. z∈R+∗⇔rcos θ > 0et rsin θ= 0 ⇔cos θ > 0et θ= 0[π]⇔θ= 0[2π].
2. z∈R−∗ ⇔rcos θ < 0et rsin θ= 0 ⇔cos θ < 0et θ= 0[π]⇔θ=π[2π].
3. z∈iR+∗⇔rcos θ= 0 et rsin θ > 0⇔θ=π
2[π]et sin θ > 0⇔θ=π 2[2π].
4. z∈iR−∗ ⇔rcos θ= 0 et rsin θ < 0⇔θ=π
2[π]et sin θ < 0⇔θ=−π 2[2π].
Propri´et´es alg´ebriques de l’argument
Soient zet z0deux complexes. Alors :
1. arg(zz0) = arg z+ arg z0[2π],
2. Pour tout entier naturel n,arg(zn) = narg z[2π],
3. Pour tout z6= 0,arg 1
z=−arg z[2π],
4. Pour tout z06=,arg z
z0= arg z−arg z
0[2π].
D´emonstration :
1. On ´ecrit zet z0sous forme trigonom´etrique. Donc:
zz0=r(cos θ+isin θ)×r0(cos θ0+isin θ0)
=rr0[(cos θcos θ0−sin θsin θ0) + i(cos θsin θ0+ sin θcos θ0)]
=rr0(cos(θ+θ0) + sin(θ+θ0))
Donc arg(zz0) = arg z+ arg z0.
2. R´ecurrence.
3. On a :
1
z=z |z|2
=r(cos θ−isin θ)
r2
=1
r×(cos θ−isin θ)
=1
r×(cos(−θ) + isin(−θ))
Donc arg 1
z=−arg z.
4. arg z
z0= arg z+ arg 1 z0= arg z−arg z
0.
Angle de vecteurs et argument
Soient M(z)et M0(z0)deux points distincts. Alors (−→ u;−−−→ M M 0) = arg(z0−z).
D´emonstration : Soit Ple point du plan tel que −−→ OP =−−−→ M M 0. Alors zP=z0−z
et donc arg zP= arg(z0−z). Or, arg zP= (−→ u;−−→ OP ) = (−→ u;−−−→ M M 0). Donc
(−→ u;−−−→ M M 0) = arg(z0−z).

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2 La notation exponentielle
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(θ) = cos θ+isin θ. D’apr`es les propri´et´es vues
pr´ec´edemment, f(θ+θ0) = f(θ)f(θ0). Ainsi, comme la fonction exponentielle, la
fonction ftransforme les sommes en produits.
De plus, si on prolonge les propri´et´es de la d´erivation, fest d´erivable sur Ret
f0(θ) = −sin(θ) + icos θ=i(isin θ+ cos θ) = if (θ). En particulier, f0(0) = i.
Par analogie avec la d´efinition de la propri´et´e exponentielle, pour tout r´eel θon pose
alors cos θ+isin θ=eiθ .
Ainsi, tout nombre complexe znon nul, de module ret d’argument θ, s’´ecrit sous la
forme z=reiθ . C’est la forme exponentielle de z.
Exemples :
1. ei0= 1,eiπ =−1,eiπ
2=i,e−iπ 2=−i.
2. 1 + i=√2eiπ
4.
Si on ´ecrit les propri´et´es de l’argument en utilisant la forme exponentielle, la simplicit´e
de cette ´ecriture apparaˆıt imm´ediatement :
1. eiθ eiθ
0
=ei(θ+θ
0);
2. Pour tout entier naturel n,(eiθ )n=einθ ;
3. 1
eiθ =e−iθ ;
4. eiθ
eiθ0=ei(θ−θ
0);
5. eiθ =e−iθ .
Remarques :
1. eiθ =eiθ
0
⇔θ=θ0.
2. |eiθ |= 1 et r´eciproquement tout complexe zde module 1 s’´ecrit z=eiθ .
Les formules de Moivre et Euler
1. Formules de Moivre : Pour tout r´eel θet pour tout entier n,
(eiθ )n=einθ
C’est-`a-dire, (cos θ+isin θ)n= cos(nθ) + isin(nθ).
2. Formules d’Euler : Pour tout r´eel θ,
cos θ=eiθ +e−iθ
2
sin θ=eiθ −e−iθ
2i
D´emonstration : A faire.
Exemples de calculs :
1. Calculer des puissances : pour calculer des puissances de nombres complexes,
la formule de Moivre est tr`es agr´eable. Il est donc souvent astucieux d’utiliser la
forme trigonom´etrique ou la forme exponentielle.
Calculer (1 + i√3)5.
Soit z= 1 + i√3. Alors |z|= 2 et donc z= 2( 1
2+i√3 2) = 2(cos π 3+isin π 3) =
2eiπ
3. Donc z5= (2eiπ 3)5= 25ei5π 3= 32( 1
2−i√3 2) = 16(1 −i√3).
2. Recherche de racines n-i`emes : comme pour les puissances, la formule de Moivre
s’adapte tr`es bien aux recherches de racines.
Soit nun entier naturel strictement positif. On appelle racine n-i`eme de 1 les
nombres complexes zv´erifiant zn= 1.
Par exemple, cherchons les solutions dans Cde l’´equation z3= 1.
On ´ecrit z=reiθ sous forme exponentielle. Alors r3e3iθ = 1. Deux complexes
sont ´egaux ssi ils ont mˆeme module et mˆeme argument. L’´equation est donc
´equivalente `a r3= 1 et 3iθ = 2kπ,k∈Z, soit r= 1 et θ=2kπ
3,k∈Z. On
obtient alors trois solutions de module 1 et d’arguments 0; 2π
3et 4π 3, `a savoir 1, j
et j.