Chapitre 5 : Puissances. I. Puissances d`un nombre relatif. 1

Chapitre 5 :
Puissances.
Puissances d’un nombre relatif.
1) Exposant entier positif.
Définition :
I.
a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul.
an désigne le produit de n facteurs égaux à a : an = a × a ×…× a
n facteurs
Le nombre n s’appelle un exposant.
Exemple :
34 est le produit de 4 facteurs égaux à 3. Donc : 34 = 3×3×3×3 = 81
Calculer :
73 = 7×7×7 = 343
97 = 9×9×9×9×9×9×9 = 4 782 969
=
(– 3)5 = (– 3)×(– 3)×(– 3)×(– 3)×(– 3) = - 243
=
Cas particulier : a1 = a
exemple : 51 = 5
Convention : pour a ≠ 0, on convient que : a0 = 1 exemple : 70 = 1
Attention : Ne pas confondre !!!
(–5)4 = (–5)× (–5)× (–5)× (–5) = + 625
–54 = –5×5×5×5 = – 625
Applications :
Quel est le signe des nombres suivants ?
(–7)2012 :
Produit de 2012 facteurs tous égaux à (-7). Or, 2012 est un nombre pair. Donc (–7)2012 est positif.
(–11)93 : Produit de 93 facteurs tous égaux à (-11). Or, 93 est un nombre impair. Donc (–11)93 est négatif.
–5110 = –5×5×5×…..×5 Il y a un seul signe moins donc le nombre –5110 est négatif.
2) Exposant entier négatif.
A l’aide de la calculatrice, calculer :
2-3 = 0,125
5-2 = 0,04
et
et
=
=
0,125
On remarque que 2-3 =
0,04
On remarque que 5-2 =
Définition :
a et b désignent deux nombres relatifs non nuls.
n désigne un entier non nul.
a-n désigne l’inverse de an :
a-n =
désigne l’inverse de
:
Exemple :
2-3 est l’inverse de 23 donc 2-3 =
Cas particulier :
Pour a ≠ 0, a-1 est l’inverse de a.
Exemple :
5-1 est l’inverse de 5. Donc, 5-1 =
Calculer :
Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
4–2 =
9–1 =
=
=
7–5 =
=
(–5)–4 =
=
Applications :
Quel est le signe des nombres suivants ?
(–5) –2012 =
Il y a 2012 facteurs négatifs (au dénominateur). Or, 2012 est un nombre pair. Donc (–5) –2012 est positif.
(–11) –93 =
Il y a 93 facteurs négatifs (au dénominateur). Or, 93 est un nombre impair. Donc (–11) –93 est négatif.
–5–110 =
Il y a un seul signe moins donc le nombre –5-110 est négatif.
=
Produit de 116 facteurs tous égaux à . Donc
=
Produit de 116 facteurs tous égaux à
est négatif.
Or, 116 est un nombre pair. Donc
est positif.
3) Priorités opératoires.
Attention, quand une expression comporte des puissances, on calcule en priorité :
1. Les calculs entre parenthèses.
2. Les puissances.
3. Les multiplications et les divisions.
Exemples :
Calculer (écrire les étapes intermédiaires) :
A = 50 – 342 = 50 – 3×16 = 50 – 48 = 2
B = 5 – 3² = 5 – 9 = -4
C = 5×(–3)² – (–3)3 = 5×9 – (–27) = 45 + 27 = 72
E = 4-2 –
=
D = 2-2 + 3-2 =
–
F = –2×3-3 – 32×4-3× = –2×
– 9× × = –2× – 9× × =
II- Puissances de 10.
1) Définitions.
n désigne un nombre entier positif non nul.
On note 10n le produit de n facteurs tous égaux à 10.
10 n  10
 ...
 10  1 0
...0

n facteurs
n zeros
Applications :
105 = 100 000
109 = 1 000 000 000
101 = 10
1022 = 10 000 000 000 000 000 000 000
1 gogol = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000 000 Il y a 100 zéros ! 10 sexdécilliard
On note 10-n l’inverse de 10n.
10 n 
1
10
n

1
1

 0, 0
...

01

10
 ...
 10 1 0
...0

n décimales
n facteurs
Applications :
10-2 = 0,01
10-5 = 0,000 01
10-9 = 0,000 000 001
10-1 = 0,1
Attention : Par convention 100 = 1
n zeros
2) Calculer avec des puissances.
Activités :
a. Après avoir décomposé le produit, écrire le résultat sous la forme d’une puissance de 10 :
On peut conjecturer la propriété :
A = 103  102
B = 104  105
C = 10-5  107
A = 1 000  100
B = 10 000× 100 000
A = 100 000
B = 1 000 000 000
A = 105
B = 109
C = 0,00001×10 000 000
Etant donnés deux entiers relatifs n
et p, on a :
10n×10p = 10n+p
C = 100
C = 102
b. Même consigne :
A=
10 7
B=
10 3
10 8
C=
10 5
10 5
On peut conjecturer le propriété :
10 2
Etant donnés deux entiers relatifs n et p,
on a :
A = 10000000
B=
C=
A = 10 000
B = 1000
C = 0,000 000 1
A = 104
B = 103
C = 10-7
1000
10n-p
c. Même consigne :
 
A = 10 3
2
 
B = 10 2
4

C = 10 5

2
Propriété :
Etant donnés deux entiers relatifs n et p,
on a :
A = 1000 2
B = (100)
A = 1 000  1 000
B=100×100×100×100
C = 0,00001×0,00001
B = 100 000 000
C = 0,000 000 000 1
4
2
C = (0,00001)
A = 1 000 000
A = 106
(10n)p = 10n×p
C = 10-10
B = 108
Applications : Ecrire les nombres sous la forme an :
102×104 = 102+4 = 106
= 1012-8 = 104
107×10-11 = 107+(-11) = 10-4
= 108-15 = 10-7
10-4×10-7 = 10-4+(-7) = 10-11
Attention !
= 105-(-9) = 105+9 = 1014
= 101-7 = 10-6
=
(104)7 = 104×7 = 1028
(106)-8 = 106×(-8) = 10-48
=
(10-3)-9 = 10(-3)×(-9) = 1027
57×47 = (5×4)7 = 207
= 100-(-3) = 103
= 100-5 = 10-5
III- Ecriture scientifique d’un nombre décimal.
Activité :
Donner l’écriture décimale des nombres suivants :
0,123×102 = 12,3
1 230×10-2 = 12,3
0,000 123×105 = 12,3
123 000×10-4 = 12,3
1,23×101 = 12,3
Un nombre a plusieurs écritures utilisant les puissances de 10, mais une seule est appelée écriture scientifique
(ou notation scientifique), c’est-à-dire de la forme « a  10n » avec :
1  a < 10 et n est un entier positif ou négatif.
La notation (ou écriture) scientifique du nombre 12,3 est 1,23×101.
Applications :
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
A = 120 000 000 000 = 1,2×1011
B = 0,000 000 000 002 01 = 2,01×10-12
C = 145 000 000 = 1,45×108
D = 0,000 002 = 2×10-6
E = 1 000 000 = 1×106
F = 0,000 001 101 = 1,101×10-6
G = 450 000×108 = 4,5×105×108 = 4,5×1013
H = 123 000 000 000 000 000×10-18 = 1,23×1017×10-18 = 1,23×10-1
I = 0,000 145×1013 = 1,45×10-4×1013 = 1,45×109
J = 0,000 000 203×10-11 = 2,03×10-7×10-11 = 2,03×10-18
K = 12×10-5×9×109 = 12×9×10-5×109 = 108×104 = 1,08×102×104 = 1,08×106
L = 2×10-3 + 5×10-2 = 2×0,001 + 5×0,01 = 0,002 + 0,05 = 0,052 = 5,2×10-2
M
7  10 12  6  105 7  6  10 12  105 42  10 7


 2  10 11
4
4
4
21  10
21  10
21  10
N=
Donner l’écriture décimale du nombre :
A = 108 + 105 + 102 + 10–1 + 10–5
A = 100 000 000 + 100 000 + 100 + 0,1 + 0,000 01
A = 100 100 100,100 01
0,056×103-(-19) = 0,056×1022 = 5,6×10-2×1022 = 5,6×1020