Chapitre 7 : ... Puissances d’un nombre relatif.

Chapitre 7 : Puissances.
I. Puissances d’un nombre relatif.
1) Exposant entier positif.
Définition :
a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul.
an désigne le produit de n facteurs égaux à a : an = a × a ×…× a
n facteurs
Le nombre n s’appelle un exposant.
Exemple :
34 est le produit de 4 facteurs égaux à 3. Donc : 34 = 3×3×3×3 = 81
Calculer :
73 = 7×7×7 = 343 97 =9×9×9×9×9×9×9 = 4 782 969 (– 3)5 =(– 3)×(– 3)×(– 3)×(– 3)×(– 3) = - 243
2
34=
× × × =  5 75=
× × × × =
Cas particulier :a1 = a exemple : 51 = 5
Pour a ≠ 0, on convient que : a0 = 1 exemple : 70 = 1
Attention : Ne pas confondre !!!
(–5)4 =(–5)× (–5)× (–5)× (–5) = + 625
–54 = –5×5×5×5 = – 625
Applications :
Quel est le signe des nombres suivants ?
(–7)2012 : Produit de 2012 facteurs tous égaux à (-7). Or, 2012 est un nombre pair. Donc (–7)2012 est positif.
(–11)93 : Produit de 93 facteurs tous égaux à (-11). Or,93 est un nombre impair. Donc (–11)93 est négatif.
2) Exposant entier négatif.
A l’aide de la calculatrice, calculer :
2-3 = 0,125 et 1
23 =  = 0,125 On remarque que 2-3 = 
5-2 = 0,04 et 1
52 =   =0,04 On remarque que 5-2 = 
Définition :
a et b désignent deux nombres relatifs non nuls.
n désigne un entier non nul.
a-n désigne l’inverse de an :
a-n = 
Exemple :
2-3 est l’inverse de 23 donc 2-3 = 1
23=1 8
Cas particulier :
Pour a ≠ 0, a-1 est l’inverse de a.

Exemple :
5-1 est l’inverse de 5. Donc, 5-1 = 1
5
Calculer :
Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
4–2 = 
=  9–1 =  =  7–5 =  =  (–5)–4 =  ()=
3) Priorités opératoires.
Attention, quand une expression comporte des puissances, on calcule en priorité :
1.Les calculs entre parenthèses.
2.Les puissances.
3.Les multiplications et les divisions.
Exemples :
Calculer (écrire les étapes intermédiaires) :
A = 50 – 342= 50 – 3×16 = 50 – 48 = 2 B = 5 – 3² = 5 – 9 = -4
C = 5×(–3)² – (–3)3= 5×9 – (–27) = 45 + 27 = 72 D = 2-2 + 3-2= 
+ = + =  +  =
II- Puissances de 10.
1) Définitions.
n désigne un nombre entier positif non nul.
On note 10n le produit de n facteurs tous égaux à 10.
zeros n
facteurs n
n0...0110...1010  
Applications :
105 = 100 000
109 = 1 000 000 000
101 = 10
1022 = 10 000 000 000 000 000 000 000
1 gogol =10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000 000 Il y a 100 zéros !10 sexdécilliard !
On note 10-n l’inverse de 10n.
 décimales n
zeros n
facteurs n
n
n01...0,0
0...01
1
10...10
1
10
1
10 
Applications :
10-2 = 0,01
10-5 =0,000 01
10-9 = 0,000 000 001
10-1 = 0,1
Attention :Par convention 100 =1

2) Calculer avec des puissances.
Activités :
a. Après avoir décomposé le produit, écrire le résultat sous la forme d’une puissance de 10 :
A = 103 102
A = 1 000  100
A = 100 000
A = 105
B = 104 105
B = 10 000× 100 000
B = 1 000 000 000
B = 109
C = 10-5 107
C = 0,00001×10 000 000
C = 100
C = 102
On peut conjecturer la propriété :
Etant donnés deux entiers relatifs n
et p, on a :
10n×10p = 10n+p
b. Même consigne :
A =
3
7
10
10
A =
1000
10000000
A = 10 000
A = 104
B =
5
8
10
10
B = 
B = 1000
B = 103
C =
2
5
10
10
C = ,
C = 0,000 000 1
C = 10-7
On peut conjecturer le propriété :
Etant donnés deux entiers relatifs n et p,
on a :
= 10n-p
c. Même consigne :
A =
2
3
10
A =
2
1000
A = 1 000  1 000
A = 1 000 000
A = 106
B =
4
2
10
B = (100)4
B=100×100×100×100
B = 100 000 000
B = 108
C =
2
5
10
C = (0,00001)2
C = 0,00001×0,00001
C = 0,000 000 000 1
C = 10-10
Propriété :
Etant donnés deux entiers relatifs n et p,
on a :
(10n)p = 10n×p
Applications :Ecrire les nombres sous la forme an :
102×104 = 102+4 = 106 107×10-11 = 107+(-11) = 10-4 10-4×10-7 = 10-4+(-7) = 10-11
1012
108 =1012-8 = 104 108 1015 =108-15= 10-7 Attention ! 105 109 =105-(-9)= 105+9 = 1014
10
107 =  =101-7 = 10-6 (104)7 =104×7 = 1028 (10-3)-9 =10(-3)×(-9) = 1027
(106)-8 = 106×(-8) = 10-48 1
103 =  = 100-(-3) = 103

III- Ecriture scientifique d’un nombre décimal.
Un nombre a plusieurs écritures utilisant les puissances de 10, mais une seule est appelée écriture
scientifique(ou notation scientifique), c’est-à-dire de la forme « a 10n » avec :
1 a< 10 et n est un entier positif ou négatif.
La notation (ou écriture) scientifique du nombre 12,3 est 1,23×101.
Applications : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
A = 120 000 000 000 =1,2×1011
B = 0,000 000 000 002 01 = 2,01×10-12
C = 145 000 000 = 1,45×108
D = 0,000 002 = 2×10-6
E = 1 000 000 =1×106
F = 0,000 001 101 =1,101×10-6
G = 450 000×108 =4,5×105×108 = 4,5×1013
H = 123 000 000 000 000 000×10-18 =1,23×1017×10-18 = 1,23×10-1
I = 0,000 145×1013 =1,45×10-4×1013 = 1,45×109
J = 0,000 000 203×10-11 =2,03×10-7×10-11 = 2,03×10-18
K = 12×10-5×9×109 =12×9×10-5×109 = 108×104 = 1,08×102×104 = 1,08×106
L = 2×10-3 + 5×10-2 =2×0,001 + 5×0,01 = 0,002 + 0,05 = 0,052 = 5,2×10-2
11
4
7
4
512
4
512 102
1021 1042 1021 101067 1021 106107
M
IV- Préfixes scientifiques.
Préfixe
giga
méga
kilo
milli
micro
nano
Symbole
G
M
k
m
µ
n
Signification
109
106
103
10-3
10-6
10-9
Exemples :
1) Un Gigaoctet, noté Go, correspond à une quantité de données numériques de 109 octets, soit 1 000 000 000
d’octets !
2) La taille des cellules est très variable, de l'ordre de grandeur de 20 µm pour les cellules animales et 100 µm pour
les cellules végétales.
20 µm = 20×10-6 m = 0,000 02 m et 100 µm = 100×10-6 m = 0,000 1 m
3) Le rayon d’un atome de carbone (symbole : C) est environ 0,07 nm.
0,07 nm = 0,07×10-9 m = 0,000 000 000 07 m
4) La distance entre la Terre et la lune est d’environ 385 Mm.
385 Mm = 385 000 000 m = 385 000 km
5) Le rayon de la molécule de dioxygène (symbole : O2) est d’environ 0,292 nm.
0,292 nm = 0,000 000 000 292 m
6) Le diamètre d'un cheveu est de 65 µm.
65 µm = 0,000 065 m