Chapitre 7 : Puissances. Puissances d’un nombre relatif. 1) Exposant entier positif. Définition : I. a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul. an désigne le produit de n facteurs égaux à a : an = a × a ×…× a n facteurs Le nombre n s’appelle un exposant. Exemple : 34 est le produit de 4 facteurs égaux à 3. Donc : 34 = 3×3×3×3 = 81 Calculer : 73 = 7×7×7 = 343 2 4 3 𝟐 = 𝟑 97 =9×9×9×9×9×9×9 = 4 782 969 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟑 𝟑 𝟑 𝟖𝟏 × × × = Cas particulier :a1 = a − 5 5 𝟓 (– 3)5 =(– 3)×(– 3)×(– 3)×(– 3)×(– 3) = - 243 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟑𝟏𝟐𝟓 = − 𝟕 × − 𝟕 × − 𝟕 × − 𝟕 × − 𝟕 = − 𝟏𝟔𝟖𝟎𝟕 7 exemple : 51 = 5 Pour a ≠ 0, on convient que : a0 = 1 exemple : 70 = 1 Attention : Ne pas confondre !!! (–5)4 =(–5)× (–5)× (–5)× (–5) = + 625 –54 = –5×5×5×5 = – 625 Applications : Quel est le signe des nombres suivants ? (–7)2012 : Produit de 2012 facteurs tous égaux à (-7). Or, 2012 est un nombre pair. Donc (–7)2012 est positif. (–11)93 : Produit de 93 facteurs tous égaux à (-11). Or,93 est un nombre impair. Donc (–11)93 est négatif. 2) Exposant entier négatif. A l’aide de la calculatrice, calculer : 2-3 = 0,125 et 5-2 = 0,04 1 23 et 𝟏 = 𝟖 = 0,125 1 52 𝟏 2-3 = 𝟐𝟑 On remarque que 𝟏 𝟏 On remarque que 5-2 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓 =0,04 Définition : a et b désignent deux nombres relatifs non nuls. n désigne un entier non nul. a-n désigne l’inverse de an : 𝟏 a-n = 𝒂𝒏 Exemple : 2-3 est l’inverse de 23 donc 2-3 = Cas particulier : Pour a ≠ 0, a-1 est l’inverse de a. 1 23 = 1 8 Exemple : 5-1 est l’inverse de 5. Donc, 5-1 = 1 5 Calculer : Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles. 4–2 = 𝟏 𝟒𝟐 = 𝟏 9–1 = 𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟔 = 𝟏 7–5 = 𝟏 𝟕𝟓 𝟗 = 𝟏 𝟏𝟔𝟖𝟎𝟕 (–5)–4 = 𝟏 (−𝟓)𝟒 = 𝟏 𝟔𝟐𝟓 3) Priorités opératoires. Attention, quand une expression comporte des puissances, on calcule en priorité : 1.Les calculs entre parenthèses. 2.Les puissances. 3.Les multiplications et les divisions. Exemples : Calculer (écrire les étapes intermédiaires) : A = 50 – 342= 50 – 3×16 = 50 – 48 = 2 B = 5 – 3² = 5 – 9 = -4 C = 5×(–3)² – (–3)3= 5×9 – (–27) = 45 + 27 = 72 D = 2-2 + 3-2= 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟒 + 𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑𝟔 = 𝟑𝟔 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟗 𝟒 𝟏𝟑 II- Puissances de 10. 1) Définitions. n désigne un nombre entier positif non nul. On note 10n le produit de n facteurs tous égaux à 10. 10 n 10 ... 10 1 0 ...0 n facteurs n zeros Applications : 105 = 100 000 109 = 1 000 000 000 101 = 10 1022 = 10 000 000 000 000 000 000 000 1 gogol =10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Il y a 100 zéros !10 sexdécilliard ! On note 10-n l’inverse de 10n. 10 n 1 10 n 1 1 0, 0 ... 01 10 ... 10 1 0 ...0 n décimales n facteurs Applications : 10-2 = 0,01 10-5 =0,000 01 10-9 = 0,000 000 001 10-1 = 0,1 Attention :Par convention 100 =1 n zeros 2) Calculer avec des puissances. Activités : a. Après avoir décomposé le produit, écrire le résultat sous la forme d’une puissance de 10 : On peut conjecturer la propriété : A = 103 102 B = 104 105 C = 10-5 107 A = 1 000 100 B = 10 000× 100 000 A = 100 000 B = 1 000 000 000 A = 105 B = 109 C = 0,00001×10 000 000 Etant donnés deux entiers relatifs n et p, on a : 10n×10p = 10n+p C = 100 C = 102 b. Même consigne : A= 10 7 10 8 B= 10 3 C= 10 5 10 5 On peut conjecturer le propriété : 10 2 Etant donnés deux entiers relatifs n et p, on a : A = 10000000 B= A = 10 000 B = 1000 C = 0,000 000 1 A = 104 B = 103 C = 10-7 1000 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 C= 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝒏 𝟏𝟎𝒑 = 10n-p c. Même consigne : A = 10 3 2 B = 102 4 C = 10 5 2 Propriété : A = 10002 B = (100)4 C = (0,00001)2 A = 1 000 1 000 B=100×100×100×100 C = 0,00001×0,00001 B = 100 000 000 C = 0,000 000 000 1 Etant donnés deux entiers relatifs n et p, on a : (10n)p = 10n×p A = 1 000 000 A = 106 C = 10-10 B = 108 Applications :Ecrire les nombres sous la forme an : 102×104 = 102+4 = 106 10 12 10 8 10 10 7 =1012-8 = 104 107×10-11 = 107+(-11) = 10-4 10 8 10 15 𝟏𝟎𝟏 =𝟏𝟎𝟕 =101-7 = 10-6 (106)-8 = 106×(-8) = 10-48 =108-15= 10-7 Attention ! (104)7 =104×7 = 1028 1 10 −3 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎−𝟑 = 100-(-3) = 103 10-4×10-7 = 10-4+(-7) = 10-11 10 5 10 −9 =105-(-9)= 105+9 = 1014 (10-3)-9 =10(-3)×(-9) = 1027 III- Ecriture scientifique d’un nombre décimal. Un nombre a plusieurs écritures utilisant les puissances de 10, mais une seule est appelée écriture scientifique(ou notation scientifique), c’est-à-dire de la forme « a 10n » avec : 1 a< 10 et n est un entier positif ou négatif. La notation (ou écriture) scientifique du nombre 12,3 est 1,23×101. Applications : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants : A = 120 000 000 000 =1,2×1011 B = 0,000 000 000 002 01 = 2,01×10-12 C = 145 000 000 = 1,45×108 D = 0,000 002 = 2×10-6 E = 1 000 000 =1×106 F = 0,000 001 101 =1,101×10-6 G = 450 000×108 =4,5×105×108 = 4,5×1013 H = 123 000 000 000 000 000×10-18 =1,23×1017×10-18 = 1,23×10-1 I = 0,000 145×1013 =1,45×10-4×1013 = 1,45×109 J = 0,000 000 203×10-11 =2,03×10-7×10-11 = 2,03×10-18 K = 12×10-5×9×109 =12×9×10-5×109 = 108×104 = 1,08×102×104 = 1,08×106 L = 2×10-3 + 5×10-2 =2×0,001 + 5×0,01 = 0,002 + 0,05 = 0,052 = 5,2×10-2 M 7 1012 6 105 7 6 1012 105 42 107 2 1011 4 4 4 21 10 21 10 21 10 IV- Préfixes scientifiques. Préfixe Symbole Signification giga G 109 méga M 106 kilo k 103 milli m 10-3 micro µ 10-6 nano n 10-9 Exemples : 1) Un Gigaoctet, noté Go, correspond à une quantité de données numériques de 109 octets, soit 1 000 000 000 d’octets ! 2) La taille des cellules est très variable, de l'ordre de grandeur de 20 µm pour les cellules animales et 100 µm pour les cellules végétales. 20 µm = 20×10-6 m = 0,000 02 m et 100 µm = 100×10-6 m = 0,000 1 m 3) Le rayon d’un atome de carbone (symbole : C) est environ 0,07 nm. 0,07 nm = 0,07×10-9 m = 0,000 000 000 07 m 4) La distance entre la Terre et la lune est d’environ 385 Mm. 385 Mm = 385 000 000 m = 385 000 km 5) Le rayon de la molécule de dioxygène (symbole : O2) est d’environ 0,292 nm. 0,292 nm = 0,000 000 000 292 m 6) Le diamètre d'un cheveu est de 65 µm. 65 µm = 0,000 065 m