PUISSANCE 107 102 101 100 10 1 10 2 10 3 10 4

PUISSANCE
406
Leçon 1
I. PUISSANCE DE 10
a) Définition
• Activité 1 : Les grands nombres.
Un million =
Un milliard =
Un billion =
Un trillion =
Quelques exemples concrets :
1. Ecrire un milliard dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre ?..........
2. Ecrire mille milliards dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre ? .........
3. Le diamètre de notre galaxie est de un milliard de milliards de kilomètres. Placer ce nombre dans le
tableau. Combien de zéros possède-t-il ?
4. La masse de la planète Neptune est de 100 000 000 000 000 000 000 000 de tonnes. Placer ce
nombre dans le tableau et l'écrire en Français:
5. Le Capitaine Haddock jurait "Mille milliards de mille sabords !". Ecrire ce nombre dans le tableau,
puis reformuler le nombre de sabords avec moins de mots, de façon correcte.
Question
n°
c
d
u
c
d
u
c
d
u
c
d
u
milliards
d'unités
c d u
millions
d'unités
c d u
milliers
d'unités
c d u
unités
c
d
u
1.
2.
3.
4.
5.
La manipulation de ces nombres "infiniment" grands n'est pas toujours commode (nombre de chiffres
limités sur l'écran d'une calculatrice, problèmes de lectures, ....) Pour cela on utilise les puissances de
dix.
• Activité 2 : Les puissances de 10.
Rappel :
10 2 = 10 10 = 1 00
2 zéros
2
On dit que 10 est ……………………… de 10 et que 2 est …………………………
Compléter le tableau suivant sans calculatrice :
10 7
10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10
10000000
1000
2
10
101
10 0
10 1
10 2
10 3
10 4
Par convention
PUISSANCE
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Leçon 2
• Conclusion :
n désignant toujours un nombre entier positif non nul.
On note 10n le produit de n facteurs tous égaux à 10.
10
... 10 = 100...0
10 n = 10
n zeros
n facteurs égaux à 10
Par convention : 10 = 1 et 10 = 10
0
1
On note 10-n l’inverse de 10n.
10 n =
1
1
1
=
=
= 0, 0...01
n
10
10
...
10
10...0
n décimales
n facteurs égaux à 10
n zeros
10 5 =
Exemples :
10 3 =
1
=
……
b) Propriétés
• PRODUIT DE DEUX PUISSANCES
Compléter le tableau suivant :
10 3 10 2
1000 100
100000
10 5
101 10 6
10 2 10 5
10 4 10 3
Pour multiplier deux puissances de 10, il suffit donc ……………………………………………………….
• QUOTIENT DE DEUX PUISSANCES
Compléter le tableau suivant :
10 5
10 2
10 6
10 3
10 4
10 2
10 6
101
1000 00
1 00
1000
10 3
Pour diviser deux puissances de 10, il suffit donc ……………………………………………………….
PUISSANCE
406
Leçon 3
• PUISSANCE D’UNE PUISSANCE
Compléter le tableau suivant :
(10 )
(10 )
(10 )
(10 )
3 2
10 3 10 3
10 6
5 2
4 3
5 4
Pour prendre la puissance d’une puissance de 10, il suffit donc …………………………………………
• CONCLUSION :
n et m désignant des entiers relatifs,
10 10 =
n
m
10 n
=
10 m
( )
10
n m
=
c) Notation scientifique
• Activité : Multiplier par une puissance de 10.
Compléter :
a. 6,08 105 = 608 000
a. 54 321,098 76 102 = 5 432 109,876
b. -87,52 103 =
b. 54 321,098 76 10-2 =
c. 8,0002 103 =
c. 54 321,098 76 104 =
d. 0,00875 107 =
d. 54 321,098 76 10-3 =
e. 67,04 10 –1 =
e. 54 321,098 76 105 =
f. -965,297 10-2 =
f. 54 321,098 76 10-4 =
g. -6,153372 104 =
g. 54 321,098 76 10-1 =
h. 807,5 10-5
h. 54 321,098 76 107 =
i. 953 000 000 10-5 =
i. 54 321,098 76 10-6 =
j. -41 765 300 10-2 =
j. 54 321,098 76 100 =
Règle :
PUISSANCE
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Leçon 4
• Activité : plusieurs écritures pour un même nombre.
Compléter :
12789
12,789 X 103
0,12789 X 105
1278900 X 10-2
0,00012789 X 108
451,7
45,17 X
4,517 X
4517 X
0,0004517 X
X 102
7945,12
X 103
X 10-2
X 10-5
0,031
0,31 X
X 10-5
3,1 X
X 100
0,12
12 X
X 10-1
1200 X
X 101
On dit qu’un nombre est en ECRITURE SCIENTIFIQUE lorsqu’il est de la forme « a × 10n » où a est un
nombre compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10) éventuellement précédé du signe « – ».
Parmi tous les nombres apparaissant dans le tableau, entourer tous ceux qui sont en écriture scientifique.
Par exemple, le nombre 1 234,5 peut s’écrire :

12 345 × 10-1

1 234,5 × 1

123,45 × 101
Ecriture scientifique de 1234,5
2

12,345 × 10

1,2345 × 103

0,12345 × 104
• Applications :
Compléter le tableau :
ÉCRITURE DECIMALE
Compléter le tableau :
ÉCRITURE « a × 10n »
ÉCRITURE SCIENTIFIQUE
4
a.
6 300 × 10
650 000 000
b.
450 × 106
c.
0,000 000 006
c.
0,000 67 × 10-5
d.
1 048 000 000 000
d.
6 300 × 1012
e.
0,000 002 64
e.
0,012 500 × 10-14
f.
20 300 000
f.
0,012 500 × 10-12
g.
673,185
g.
0,012 500 × 1015
h.
8 070 000 000
h.
81 500 000 × 1023
i.
4000,007
i.
81 500 000 × 1013
j.
0,700 600 000
j.
81 500 000 × 10-34
a.
540 000 000 000
b.
5,4 × 10
11
Méthode : 6300 x 104 = 6,3 x 103 x 104 = 6,3 x 107
ÉCRITURE SCIENTIFIQUE
6,3 × 107
PUISSANCE
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Leçon 5
• Comparer des nombres en écriture scientifique :
Classer du plus petit au plus grand les nombres suivants :
; 4, 7 ! 10 5
;
7, 25 ! 10 4
14,1 ! 10 "3 ; 10, 49 ! 10 "2
;
2, 259 ! 10 4
;
3 ! 10 5 .
• Conclusion :
Pour comparer deux nombres en écriture scientifique,
- on commence par regarder les puissances : les nombres sont alors classés dans le même ordre que
les exposants.
- et si elles sont égales : les nombres sont classés dans le même ordre que leur coefficients.
d) Calculatrice
ATTENTION : Lorsque la calculatrice affiche : 8,25 03 cela signifie 8,25 × 103 soit 8250
et non pas 8,25 au cube (qui vaut environ 562).
Pour entrer le nombre 3,654125 × 104 dans la calculatrice il suffit de taper :
3,654125 EXP 4 ou 3,654125 ψ 4 ou ………………
II. PUISSANCE ENTIERE D’UN NOMBRE RELATIF
a) Définition
• Activité 1 : Compléter en suivant le modèle puis vérifier avec votre calculatrice
43 = 4 x 4 x 4 = 64
(-5)2 =
(-7)3 =
25 =
-5 2 =
-7 3 =
34 =
(-3)4 =
121 =
73 =
-3 4 =
1570 =
Définition : si a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif différent de zéro :
a n = a!!#
a"
! ...
!$a (pour n " 2)
#
##
n facteurs
1
a -n = n avec a # 0
a
Par convention : a0=1 (avec a≠0)
et
Cas particuliers : 1n=1, 0n=0, a-1= 1
a
a1=a
PUISSANCE
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Leçon 6
b) Propriétés
Les règles de calculs sont les mêmes qu’avec les puissances de 10.
a !a =a
n
m
(a )
an
= an! m
m
a
n+ m
n m
an ! bn = (a ! b)
= an! m
c) Applications
• Donner le résultat des calculs suivants sous la forme « an » :
a. 52 × 54 = 56
b. 4-3 × 48 =
c. (-6)-7 × (-6)2 =
d. (-3)7 × (-3)-4 =
e. 5-3 × 5-1 × 58 =
f. 79 × 7-8 × 7-3 =
g. (-8)2×(-8)-5×(-8)-1=
h. 92×9-1×9-7×9-4=
i.
m.
57
53
=
7 !4
j.
(!1) !12
(!1) !8
=
73
n.
=
23 !14
23 !21
k.
=
o.
(!6) !6
(!6) !1
(!3) !9
(!3) 6
=
l.
=
p.
q.
(3 )
=
r.
(( !5 ) )
=
s.
(( !2 ) )
u.
(8 )
=
v.
(( !9 ) )
=
w.
(( !0, 6 ) )
!2 7
!8 8
!7 !1
!7 !2
4 !3
=
!11 !3
t.
=
(!5) 6
(!5) !16
2 !3
23
(12 )
=
( )
=
7 3
x. 7 !8
• Priorité des calculs
Exemple : 10 + 20 ÷ 2 =
3
Dans une expression sans ( ), on effectue :
 D’abord les puissances,
 Ensuite les multiplications et les divisions,
 Enfin les additions et les soustractions (en respectant l’ordre des calculs)
• A vous :
(15
2
# 1&
! 43 " % ( =
$ 7'
)
7 3 ! 2 5 ÷ 16 =
=
0
=
n