PUISSANCE 107 102 101 100 10 1 10 2 10 3 10 4

406
PUISSANCE
Leçon 1
I. PUISSANCE DE 10
a) Définition
• Activité 1 : Les grands nombres.
Un million =
Un milliard =
Un billion =
Un trillion =
Quelques exemples concrets :
1. Ecrire un milliard dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre ?..........
2. Ecrire mille milliards dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre ? .........
3. Le diamètre de notre galaxie est de un milliard de milliards de kilomètres. Placer ce nombre dans le
tableau. Combien de zéros possède-t-il ?
4. La masse de la planète Neptune est de 100 000 000 000 000 000 000 000 de tonnes. Placer ce
nombre dans le tableau et l'écrire en Français:
5. Le Capitaine Haddock jurait "Mille milliards de mille sabords !". Ecrire ce nombre dans le tableau,
puis reformuler le nombre de sabords avec moins de mots, de façon correcte.
Question
n° milliards
d'unités millions d'unités milliers d'unités unités
c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u
1.
2.
3.
4.
5.
La manipulation de ces nombres "infiniment" grands n'est pas toujours commode (nombre de chiffres
limités sur l'écran d'une calculatrice, problèmes de lectures, ....) Pour cela on utilise les puissances de
dix.
• Activité 2 : Les puissances de 10.
Rappel :
10
2
=10 10 =100
2zéros
On dit que
102
est ……………………… de 10 et que 2 est …………………………
Compléter le tableau suivant sans calculatrice :
107
10 10 10 10 10 10 10 10000000
10 10 10 10
1000
102
101
100
Par convention
101
10
2
103
10
4

406
PUISSANCE
Leçon 2
• Conclusion :
n désignant toujours un nombre entier positif non nul.
On note 10n le produit de n facteurs tous égaux à 10.
10n=10 10 ... 10
n facteurs égaux à 10
=100...0
n zeros
Par convention :
100=1
et
10
1
=10
On note 10-n l’inverse de 10n.
10n=1
10n=1 10 ... 10
n facteurs égaux à 10
=1
10...0
n zeros
=0, 0...01
n décimales
Exemples :
105=
10
3
=1
……
=
b) Propriétés
• PRODUIT DE DEUX PUISSANCES
Compléter le tableau suivant :
103102
1000 100 100000
105
101106
102105
104103
Pour multiplier deux puissances de 10, il suffit donc ……………………………………………………….
• QUOTIENT DE DEUX PUISSANCES
Compléter le tableau suivant :
105
102
1000 00
100
1000
103
106
103
104
102
106
101
Pour diviser deux puissances de 10, il suffit donc ……………………………………………………….

406
PUISSANCE
Leçon 3
• PUISSANCE D’UNE PUISSANCE
Compléter le tableau suivant :
103
()
2
103103 106
105
()
2
104
()
3
105
()
4
Pour prendre la puissance d’une puissance de 10, il suffit donc …………………………………………
• CONCLUSION :
n et m désignant des entiers relatifs,
10n10m=
 10n
10m=
10
n
()
m
=
c) Notation scientifique
• Activité : Multiplier par une puissance de 10.
Compléter :
a. 54 321,098 76  102 = 5 432 109,876
b.
54 321,098 76  10-2 =
c. 54 321,098 76  104 =
d.
54 321,098 76  10-3 =
e. 54 321,098 76  105 =
f. 54 321,098 76  10-4 =
g.
54 321,098 76  10-1 =
h.
54 321,098 76  107 =
i. 54 321,098 76  10-6 =
j. 54 321,098 76  100 =
Règle :
a. 6,08  105 = 608 000
b.
-87,52  103 =
c. 8,0002  103 =
d.
0,00875  107 =
e. 67,04  10 –1 =
f. -965,297  10-2 =
g.
-6,153372  104 =
h.
807,5  10-5
i. 953 000 000  10-5 =
j. -41 765 300  10-2 =

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P UIS SA N CE
Leçon 4
• Activité : plusieurs écritures pour un même nombre.
Compléter :
12789
12,789 X 103
0,12789 X 105
1278900 X 10-2
0,00012789 X 108
451,7
45,17 X
4,517 X
4517 X
0,0004517 X
7945,12
X 102
X 103
X 10-2
X 10-5
0,031
0,31 X
X 10-5
3,1 X
X 100
0,12
12 X
X 10-1
1200 X
X 101
On dit qu’un nombre est en ECRITURE SCIENTIFIQUE lorsqu’il est de la forme « a × 10n » où a est un
nombre compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10) éventuellement précédé du signe « – ».
Parmi tous les nombres apparaissant dans le tableau, entourer tous ceux qui sont en écriture scientifique.
Par exemple, le nombre 1 234,5 peut s’écrire :
 12 345 × 10-1
 1 234,5 × 1
 123,45 × 101
 12,345 × 102
 1,2345 × 103
 0,12345 × 104
• Applications :
Compléter le tableau :
ÉCRITURE DECIMALE
ÉCRITURE SCIENTIFIQUE
a.
540 000 000 000
5,4 × 1011
b.
650 000 000
c.
0,000 000 006
d.
1 048 000 000 000
e.
0,000 002 64
f.
20 300 000
g.
673,185
h.
8 070 000 000
i.
4000,007
j.
0,700 600 000
Compléter le tableau :
ÉCRITURE « a × 10n »
ÉCRITURE SCIENTIFIQUE
a.
6 300 × 104
6,3 × 107
b.
450 × 106
c.
0,000 67 × 10-5
d.
6 300 × 1012
e.
0,012 500 × 10-14
f.
0,012 500 × 10-12
g.
0,012 500 × 1015
h.
81 500 000 × 1023
i.
81 500 000 × 1013
j.
81 500 000 × 10-34
Méthode : 6300 x 104 = 6,3 x 103 x 104 = 6,3 x 107
Ecriture scientifique de 1234,5

406
P UIS SA N CE
Leçon 5
• Comparer des nombres en écriture scientifique :
Classer du plus petit au plus grand les nombres suivants :
7, 25 !104
;
4, 7 !105
;
14,1 !10"3
;
10, 49 !10"2
;
2, 259 !104
;
3!105
.
• Conclusion :
Pour comparer deux nombres en écriture scientifique,
- on commence par regarder les puissances : les nombres sont alors classés dans le même ordre que
les exposants.
- et si elles sont égales : les nombres sont classés dans le même ordre que leur coefficients.
d) Calculatrice
ATTENTION : Lorsque la calculatrice affiche : 8,25 03 cela signifie 8,25 × 103 soit 8250
et non pas 8,25 au cube (qui vaut environ 562).
Pour entrer le nombre 3,654125 × 104 dans la calculatrice il suffit de taper :
3,654125 EXP 4 ou 3,654125 ψ 4 ou ………………
II. PUISSANCE ENTIERE D’UN NOMBRE RELATIF
a) Définition
• Activité 1 : Compléter en suivant le modèle puis vérifier avec votre calculatrice
43 = 4 x 4 x 4 = 64
(-5)2 =
(-7)3 =
25 =
-5 2 =
-7 3 =
34 =
(-3)4 =
121 =
73 =
-3 4 =
1570 =
Définition : si a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif différent de zéro :
an=a!a!... !a
n facteurs
! "## $## (pour n "2)
a-n =1
an avec a #0
Par convention : a0=1 (avec a≠0) et a1=a
Cas particuliers : 1n=1, 0n=0, a-1= 1
a