Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si

EXERCICE 1 (5 points )
(Commun à tous les candidats)
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démons-
tration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute
trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans
l’évaluation.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O, −→u,−→v).
1. Soient Ale point d’affixe 2−5iet Ble point d’affixe 7−3i.
Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.
2. Soit (∆)l’ensemble des points Md’affixe ztelle que |z−i|=|z+2i|.
Proposition 2 : (∆)est une droite parallèle à l’axe des réels.
3. Soit z=3+i√3.
Proposition 3 : Pour tout entier naturel nnon nul, z3nest imaginaire pur.
4. Soit zun nombre complexe non nul.
Proposition 4 : Si π
2est un argument de zalors |i+z|=1+|z|.
5. Soit zun nombre complexe non nul.
Proposition 5 : Si le module de zest égal à 1alors z2+1
z2est un nombre réel.
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BACCALAUREAT GENERAL
Session de juin 2011
MATHEMATIQUES
-SérieS-
Enseignement Obligatoire
Polynésie
EXERCICE 1
1. VRAI
2. VRAI
3. FAUX
4. VRAI
5. VRAI
Justification 1. •OA =|zA|=|2−5i|=!22+(−5)2=√29.
•OB =|zB|=|7−3i|=!72+(−3)2=√58.
•AB =|zB−zA|=|(7−3i)−(2−5i)|=|5+2i|=√52+22=√29.
Donc, AB =AO et le triangle OAB est isocèle en A.Deplus,AO2+AB2=29 +29 =58 =OB2et d’après la réciproque
du théorème de Pythagore,letriangleOAB est rectangle en A.Finalement,letriangleOAB est rectangle et isocèle en
Aet la proposition 1 est vraie.
Justification 2. Posons z=x+iy où xet ysont deux réels.
|z−i|=|z+2i|⇔|x+i(y−1)|2=|x+i(y+2)|2⇔x2+(y−1)2=x2+(y+2)2⇔y2 −2y +1=y2+4y +4
⇔y=−
1
2.
(∆)est donc une droite parallèle à l’axe des abscisses qui est l’axe des réels. La proposition 2 est vraie.
Justification 3. 3+i√3=2√3"√3
2+1 2i#=2√3$cos $π 6%+isin $π 6%% =2√3eiπ/6.Ensuite,sinest un entier
naturel non nul,
z3n =$2√3eiπ/6%3n
=$2√3%3n ei3nπ/6 =$2√3%3n einπ/2.
En particulier, si n=2,onobtient
z6=z3×2=$2√3%3×2
ei2π/2 =−$2√3%6
qui n’est pas un imaginaire pur. Donc la proposition 3 est fausse.
Justification 4. Un nombre complexe non nul d’argument π
2est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement
positive. Posons z=iy où yest un réel strictement positif.
|i+z|=|i(y+1)|=|i||y+1|=y+1et 1+|z|=1+|iy|=1+|i||y|=y+1.Donc|i+z|=1+|z|et la proposition 4 est
vraie.
Justification 5. Soit zun nombre complexe de module 1.Ilexisteunréelθtel que z=eiθ.Alors
z2+1
z2=(eiθ)2+1 (eiθ)2=e2iθ+e−2iθ=cos(2θ)+isin(2θ)+cos(2θ)−isin(2θ)=2cos(2θ).
Donc z2+1
z2est un nombre réel et la proposition 5 est vraie.
1