1. FAUX 2. VRAI 3. VRAI 4. VRAI 5. FAUX

EXERCICE 3
1. FAUX
2. VRAI
3. VRAI
4. VRAI
5. FAUX
Explications.
1. Notons Xle nombre de boules blanches obtenues au bout de dix tirages. La variable aléatoire Xest régie par un
schéma de Bernoulli. En effet,
•10 expériences identiques et indépendantes (puisque les tirages se font avec remise) sont effectuées ;
•chaque expérience a deux issues : « la boule est blanche » avec une probabilité p=1
3ou « la boule est noire » avec
une probabilité 1−p=2
3.
La variable aléatoire Xsuit donc une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1
3.
La probabilité demandée est p(X=3)et on a
p(X=3)=!10
3"×!1
3"3
×!2
3"7
=10 ×9×8
3×2×!1 3"3
×!2
3"7
=120 ×!1
3"3
×!2
3"7
.
Donc la proposition 1 est fausse.
2. Soit aun réel positif. p(X!a)=!a
0
λe−λtdt =#−e−λt$a
0=1−e−λa. On a aussi p(X > a)=1−p(X!a)=e−λa.
Par suite,
p(X!a)=p(X > a)⇔1−e−λa=e−λa⇔e−λa=1
2⇔−λa=ln !1 2"⇔−λa=−ln 2⇔a=ln 2 λ.
Donc la proposition 2 est vraie.
3. z=2%1
2−i√3 2&=2'cos '−π 3(+isin '−π 3((. Donc un argument de zest −π 3. Mais alors pour tout entier naturel
n, un argument de znest −nπ
3. Si de plus, nest un multiple de 3, on peut poser n=3p où pest un entier naturel. Un
argument de znest alors −nπ
3=−pπ. Or, un nombre complexe d’argument −pπ,p∈N, est un nombre réel et donc si n
est un multiple de 3,znest un nombre réel. La proposition 3 est vraie.
4. L’affixe du vecteur −→ BA est a−b=!1−1+i
2"a=1−i 2a. Puisque un nombre complexe et son conjugué ont même
module, on a alors
AB =|b−a|=))))
1−i
2))))
|a|=))))
1+i
2))))
|a|=|b|=OB.
Donc le triangle OAB est isocèle en B. De plus, ))))
1+i
2))))
=1
2√12+12=1
√2. Donc AB =OB =OA √2. Mais alors
OB2+AB2=OA2
2+OA2 2=OA2.
Donc le triangle OAB est rectangle et isocèle en B. La proposition 4 est vraie.
5. Soit zun nombre complexe non nul.
On a z!=−10
z=−10z zz =−10 |z|2zet donc, puisque −10 |z|2est un réel, −−−→
OM!=−10
|z|2−−→
OM. Ainsi, les vecteurs −−→ OM et −−−→ OM!
sont colinéaires et donc les points O,Met M!sont alignés. La proposition 5 est fausse.
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