1. FAUX 2. VRAI 3. VRAI 4. VRAI 5. FAUX

EXERCICE 3
1.
FAUX
2.
VRAI
3.
VRAI
4.
VRAI
5.
FAUX
Explications.
1. Notons X le nombre de boules blanches obtenues au bout de dix tirages. La variable aléatoire X est régie par un
schéma de Bernoulli. En effet,
• 10 expériences identiques et indépendantes (puisque les tirages se font avec remise) sont effectuées ;
1
• chaque expérience a deux issues : « la boule est blanche » avec une probabilité p = ou « la boule est noire » avec
3
2
une probabilité 1 − p = .
3
1
La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = .
3
La probabilité demandée est p(X = 3) et on a
p(X = 3) =
! "3 ! "7
! " ! "3 ! "7
! "3 ! "7
2
10 × 9 × 8
2
1
2
10
1
1
×
=
×
= 120 ×
×
.
×
×
3
3
3×2
3
3
3
3
3
Donc la proposition 1 est fausse.
2.
Soit a un réel positif. p(X ! a) =
!a
0
Par suite,
$a
#
λe−λt dt = −e−λt 0 = 1 − e−λa . On a aussi p(X > a) = 1 − p(X ! a) = e−λa .
p(X ! a) = p(X > a) ⇔ 1 − e−λa = e−λa ⇔ e−λa =
Donc la proposition 2 est vraie.
1
⇔ −λa = ln
2
! "
ln 2
1
⇔ −λa = − ln 2 ⇔ a =
.
2
λ
√ &
'
' π(
' π ((
π
1
3
= 2 cos −
+ i sin −
. Donc un argument de z est − . Mais alors pour tout entier naturel
−i
3. z = 2
2
2
3
3
3
π
n, un argument de zn est −n . Si de plus, n est un multiple de 3, on peut poser n = 3p où p est un entier naturel. Un
3
π
n
argument de z est alors −n = −pπ. Or, un nombre complexe d’argument −pπ, p ∈ N, est un nombre réel et donc si n
3
est un multiple de 3, zn est un nombre réel. La proposition 3 est vraie.
%
4.
−→
L’affixe du vecteur BA est a − b =
module, on a alors
"
!
1−i
1+i
a=
a. Puisque un nombre complexe et son conjugué ont même
1−
2
2
)
)
)
)
)1 − i)
)
)
) |a| = ) 1 + i ) |a| = |b| = OB.
AB = |b − a| = ))
)
)
2
2 )
)
)
)1 + i) 1√
1
OA
)
)=
12 + 12 = √ . Donc AB = OB = √ . Mais alors
Donc le triangle OAB est isocèle en B. De plus, )
)
2
2
2
2
OB2 + AB2 =
OA2 OA2
+
= OA2 .
2
2
Donc le triangle OAB est rectangle et isocèle en B. La proposition 4 est vraie.
5.
Soit z un nombre complexe non nul.
−−−→
−−−→
−−→
10
10 −−→
10z
10
10
On a z ! = −
=−
= − 2 z et donc, puisque − 2 est un réel, OM ! = − 2 OM. Ainsi, les vecteurs OM et OM !
z
zz
|z|
|z|
|z|
sont colinéaires et donc les points O, M et M ! sont alignés. La proposition 5 est fausse.
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4
c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.
!