EX 1 :( 2 points ) Soit f la fonction définie sur R par f (x) = − x2 +x + 1

EX1 :( 2 points ) Soit f la fonction définie sur Rpar f (x)=−x2+x+1
2.
1. Démontrer que f (x)=3
4−µx−1 2¶2
.
3
4−µx−1 2¶2
=3
4−µx2−x+1 4¶=3 4−x2+x−1 4=−x2+x+1 2=f(x)
2. Calculer f µ1
2¶et f (0).
Avec la forme canonique fµ1
2¶=3 4
et avec la forme développée f(0)=1
2
3. Choisir parmi les 4paraboles ci-contre
laquelle représente la fonction f .
Justifier la réponse
(sans recours à la calculatrice).
Comme f(0)=1
2, la courbe représen-
tant fpasse par le point de coordonnées
µ0 ; 1
2¶.P3est la seule courbe vérifiant cette
contrainte.
x
−2−1 1 2
y
−2
−1
1
2
P2P1
P3
P4
4. Après avoir identifié la courbe représentant la fonction f , comparer sans effectuer aucun calcul, les nombres f (1,5)
et f (1,6).La courbe P3, montre que fest décroissante sur l’intervalle ·1
2;+∞·
comme 1
2<1,5 <1,6 on a : f(1,5)>f(1,6)
EX2 :( 3 points ) Soit f la fonction définie sur Rpar f (x)=x2−2x−35 =(x−1)2−36 .
1. En factorisant l’expression (x−1)2−36 démontrer que f (x)=(x+5)(x−7)
(x−1)2−36 est de la forme a2−b2(identité remarquable) qui se factorise en (a+b)(a−b)
d’où (x−1)2−36 =(x−1+6)(x−1−6)=(x+5)(x−7)
2. En choisissant la forme la mieux adaptée, résoudre les équations suivantes :
a. f(x)=−36
f(x)=−36 ⇐⇒(x−1)2−36 =−36
⇐⇒(x−1)2=0⇐⇒(x−1)=0
⇐⇒x=1S={1}
b. f(x)=−35
f(x)=−35 ⇐⇒x2−2x−35 =−35
⇐⇒x2−2x=0⇐⇒ x(x−2)=0
⇐⇒x=0 ou x=2S={0 ; 2}
3. Justifier que f admet un minimum. Préciser lequel, et en quelle valeur il est atteint.
fest un trinôme du second degré
dont la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+β=(x−1)2−36
avec a=1 coefficient positif donc fest décroissante puis croissante ( la parabole est tournée vers le haut )
l’abscisse du sommet est : α=1 ;
l’ordonnée du sommet est : β=−36 c’est le minimum de f.
2nde. Contrôle 3 - Correction ♣

EX3 :( 3 points )
1. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C et D repérés respectivement par les réels :
−5π
6,−3π 4,−π 3et 2π 3.
Donner les coordonnées des quatre points.
AÃ−p3
2;−1 2!
BÃ−p2
2;−p2 2!
CÃ1
2;−p3 2!
DÃ−1
2;p3 2!
x
y
A
BC
−π
3
D
5π
6
π
6
π
4
−π
4
2. À l’aide du cercle trigonométrique, résoudre dans ]−π;π]les équations suivantes :
a. cosx=p2
2.
S=n−π
4;π 4o
b. sinx=1
2.
S=½π
6;5π 6¾
EX4 :( 2 points ) ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que : BC =a ,  EBF =60° et  FBG =45°.
1. Exprimer en fonction de a : BG, BE et EG.
cos45◦=BC
BG d’où
p2
2=a BG ⇐⇒p2×BG =a×2⇐⇒ BG =2a
p2=p2a
FBG =45° donc BFG est rectangle isocèle donc BF =a
cos60◦=BF
BE d’où
1
2=a BE ⇐⇒BE =2×a⇐⇒ BE =2a
Le théorème de Pythagore dans le triangle EBF donne :
EF =ap3
Le théorème de Pythagore dans le triangle EFG donne :
EG =2a
2. Quelle est la nature du triangle EBG ?
Comme EG =EB le triangle EBG est isocèle.
60°
45°
AB
F
E
G
C
H
I
Bonus Calculer l’arrondi au dixième de la mesure en degrés de  EBG.
Le triangle EBG est isocèle donc avec Imilieu de [BG]: cos  EBG =B I
BE =
ap2
2
2a=ap2 2×1 2a=p2 4
À la calculatrice je trouve :  EBG '69,3◦
2nde. Contrôle 3 - Fonctions usuelles - Trigonométrie ♣