EX 1 :( 2 points ) Soit f la fonction définie sur R par f (x) = − x2 +x + 1

♣
2nde. Contrôle 3 - Correction
E X 1 :( 2 points )
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x 2 + x +
1
.
2
µ
¶
3
1 2
− x−
.
4
2
µ
¶
µ
¶
3
1 2
3
1
3
1
1
− x−
= − x2 − x +
= − x 2 + x − = −x 2 + x + = f (x)
4
2
4
4
4
4
2
1. Démontrer que f (x) =
y
2. Calculer f
µ ¶
1
et f (0).
2
Avec la forme canonique f
µ ¶
1
3
=
2
4
P2
1
2
3. Choisir parmi les 4 paraboles ci-contre
laquelle représente la fonction f .
Justifier la réponse
(sans recours à la calculatrice).
1
Comme f (0) =
, la courbe représen2
µtant f¶ passe par le point de coordonnées
1
. P 3 est la seule courbe vérifiant cette
0;
2
contrainte.
P1
2
et avec la forme développée f (0) =
1
−2
1
−1
2
x
−1
P3
−2
P4
4. Après avoir identifié la courbe représentant la fonction f , comparer sans·effectuer·aucun calcul, les nombres f (1, 5)
1
et f (1, 6). La courbe P 3 , montre que f est décroissante sur l’intervalle
; +∞
2
1
comme
< 1, 5 < 1, 6 on a :
f (1, 5) > f (1, 6)
2
E X 2 :( 3 points )
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 − 2x − 35 = (x − 1)2 − 36 .
1. En factorisant l’expression (x − 1)2 − 36 démontrer que f (x) = (x + 5) (x − 7)
(x − 1)2 − 36 est de la forme a 2 − b 2 (identité remarquable) qui se factorise en (a + b) (a − b)
d’où
(x − 1)2 − 36 = (x − 1 + 6) (x − 1 − 6) = (x + 5) (x − 7)
2. En choisissant la forme la mieux adaptée, résoudre les équations suivantes :
a. f (x) = −36
b. f (x) = −35
2
f (x) = −36 ⇐⇒ (x − 1) − 36 = −36
⇐⇒ (x − 1)2 = 0 ⇐⇒ (x − 1) = 0
⇐⇒ x = 1
S = {1}
f (x) = −35 ⇐⇒ x 2 − 2x − 35 = −35
⇐⇒ x 2 − 2x = 0 ⇐⇒ x (x − 2) = 0
⇐⇒ x = 0 ou x = 2
S = {0 ; 2}
3. Justifier que f admet un minimum. Préciser lequel, et en quelle valeur il est atteint.
f est un trinôme du second degré
dont la forme canonique est : f (x) = a (x − α)2 + β= (x − 1)2 − 36
avec a = 1 coefficient positif donc f est décroissante puis croissante ( la parabole est tournée vers le haut )
l’abscisse du sommet est : α = 1 ;
l’ordonnée du sommet est : β = −36 c’est le minimum de f .
2nde. Contrôle 3 - Fonctions usuelles - Trigonométrie
♣
E X 3 :( 3 points )
1. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B , C et D repérés respectivement par les réels :
−
5π 3π
π 2π
,−
, − et
.
6
4
3
3
y
Donner les coordonnées des quatre points.
D
!
à p
− 3 −1
;
A
2
2
à p
p !
− 2 − 2
B
;
2
2
Ã
p !
1 − 3
C
;
2
2
Ã
p !
−1
3
;
D
2
2
π
4
π
6
5π
6
x
A
−π
4
B
− π3
C
2. À l’aide du cercle trigonométrique, résoudre dans ]−π; π] les équations suivantes :
p
2
a. cos x =
.
2
n −π π o
S=
;
4
4
E X 4 :( 2 points )
1
b. sin x = .
2
½
¾
π 5π
S=
;
6 6
ABC DE FG H est un parallélépipède rectangle tel que : BC = a , E
B F = 60° et F
BG = 45°.
1. Exprimer en fonction de a : BG, B E et EG.
BC
cos 45◦ =
d’où
BG
p
p
a
2
2a p
=
⇐⇒ 2 × BG = a × 2 ⇐⇒ BG = p = 2a
2
BG
2

F BG = 45° donc B FG est rectangle isocèle donc B F = a
BF
cos 60◦ =
d’où
BE
1
a
=
⇐⇒ B E = 2 × a ⇐⇒ B E = 2a
2 BE
Le théorème
de Pythagore dans le triangle E B F donne :
p
EF = a 3
Le théorème de Pythagore dans le triangle E F G donne :
EG = 2a
G
H
F
E
I
45°
60°
A
B
2. Quelle est la nature du triangle E BG ?
Comme EG = E B le triangle E BG est isocèle.
Bonus Calculer l’arrondi au dixième de la mesure en degrés de E
BG.
p
a 2
2
p
p
BI
a 2
1
2
Le triangle E BG est isocèle donc avec I milieu de [BG] : cos E
BG =
=
=
×
=
BE
2a
2
2a
4
À la calculatrice je trouve : E
BG ' 69, 3◦
C