Logique

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TD n˚6 : Sémantique de Kripke
Exercice 1 :
Donnez des contre-modèles de Kripke aux propositions suivantes :
• ¬¬X⇒X
• ¬X∨ ¬¬X
• ¬(¬X∧ ¬Y)⇒X∧Y
•(¬X⇒ ¬Y)⇒(Y⇒X)
•(X⇒Y)⇒((¬X⇒Z)⇒((Y⇒Z)⇒Z))
Exercice 2 :
On dit qu’un connecteur binaire ⊗est indépendant d’un ensemble de connecteurs Cs’il
n’existe pas de formule Aavec variables libres Xet Yet ne contenant que des connecteurs
de Ctelle que
`i(X⊗Y)⇔A
1a) Montrez que pour toute proposition Aet toute proposition B,` ¬¬(A∧B)⇔(¬¬A∧
¬¬B)et `i¬¬(A⇒B)⇔(¬¬A⇒ ¬¬B).
1b) Montrez que si ∨n’est pas indépendant de {⊥,∧,¬,⇒} alors `i¬¬(A∨B)⇔(¬¬A∨
¬¬B).
1c) Concluez.
On considère la structure de Kripke K= (W, α)suivante : elle a trois monde W=
{ω1, ω2, ω3}avec ω1≤ω3et ω2≤ω3et α(ω1) = {X},α(ω2) = {Y}et α(ω3) = {X, Y }.
2a) Montrez que pour toute proposition Ane contenant que X,Y,⊥,¬,∨et ⇒, si ω3|=A
alors ω1|=Aou ω2|=A.
2b) Déduisez que ∧est indépendant de {⊥,∨,¬,⇒}.
Exercice 3 :
Soit Kla structure de Kripke dont les mondes sont les interprétations partielles i.e. les couples
(I, f)où Iest sous-ensemble de variables et f:I−→ {0,1}, ordonnées par (I, f)v(J, g)si et
seulement si I⊆Jet pour tout x∈I,f(x) = g(x)et telle que α(I, f) = {x∈I|f(x)=1}.
1) Montrez que Kréfute X∨ ¬X.
2) Donnez une formule Anon prouvable en logique intuitionniste telle que Ksatisfait A.
Exercice 4 :
Soit Aune formule propositionnelle démontrable en logique classique (ou tautologie). On
note F2l’ensemble ordonné ω1≤ω2. On appellera structure de base F2toute structure de
Kripke dont l’ensemble ordonné sous-jacent est F2. On note LI +Al’ensemble de formules
démontrables en ajoutant à la déduction naturelle intuitionniste la règle suivante :
`A[X1←B1, . . . , Xn←Bn]
Par exemple, LI + (X∨ ¬X)est exactement l’ensemble LC des formules démontrables en
logique classique.

Le but de l’exercice est de démontrer le théorème de Yankov : pour toute tautologie A,
LI +A=LC si et seulement si Aest réfutée dans une structure de base F2.
1) Montrez que si LI +A=LC alors A est réfutée dans une structure de base F2. Vous
pourrez utiliser le contre-modèle de ¬¬X⇒Xobtenu à l’exercice 1.
2) Soit la structure K= (F2, α)telle que α(ω1) = ∅et α(ω2) = {X}. Supposons que An’a
qu’une variable X. Montrez que si Aest réfutée dans Kalors toute structure K0= (W0, α0)
qui satisfait Avérifie que si pour un certain ω∈W0,X /∈α0(ω)alors pour tout ω0≥ω,
X /∈α(ω0).
3) Déduisez que si Aest une formule avec une seule variable Xet que si Kréfute Aalors
A`i¬¬X⇒X.
4) Soit Aune proposition dont les variables sont X1, . . . , Xn. Montrez que si Aest réfutée
dans une structure de base F2alors il existe des formules B1, . . . , Bnn’ayant que Xcomme
variable et telles que Kréfute A[X1←B1, . . . , Xn←Bn].
5) Déduisez le théorème de Yankov.
6) Déduisez que si A1, . . . , Ansont des tautologies et que si LI +A1∧. . . ∧An=LC alors
il existe un i∈ {1, . . . , n}tel que LI +Ai=LC.
Exercice 5 :
On appelle arithmétique de Heyting, la théorie intuitionniste dont les axiomes sont ceux
de Peano i.e. dont les théorèmes sont les formules démontrables en logique intuitionniste à
partir des axiomes de Peano. On note HA `iAlorsque Aest un théorème de l’arithmétique
de Heyting.
1) Montrez que l’arithmétique de Heyting est à égalité décidable i.e. que
HA `i∀x. ∀y. (x=y∨x6=y).
2) Le but ici est de montrer que l’arithmétique de Heyting a la propriété du témoin i.e.
que si HA `i∃x. A, alors il existe un entier ntel que HA `iA[x←n]où n est le terme
Sn(0) = S(. . . (S(0))). Nous allons raisonner par l’absurde. Supposons que pour tout entier
n,HA 6`iA[x←n]. Alors, pour tout n, il existe une structure de Kripke Kntelle que Kn
satisfait les axiomes de Peano mais réfute A[x←n]. On construit la structure de Kripke
K={ω}t F
n∈N
Knavec ωplus petit que tous les éléments des Kn,Dω=N,Sest interprété
comme la fonction successeur, 0comme 0,+comme l’addition, ×comme la multiplication
et =comme l’égalité.
a) Vérifiez que Kest bien une structure de Kripke.
b) Vérifiez que K, ω 6|=∃x. A.
c) Vérifiez que Ksatisfait les axiomes de Peano. Vous pourrez vous limiter au schéma de
récurrence.
3) On veut montrer maintenant que si HA `iA∨Balors HA `iAou HA `iB.
a) Montrez que pour toutes formules Aet Bne contenant pas la variable x,
HA `i(A∨B)⇔ ∃x. (x= 0 ⇒A)∧(x6= 0 ⇒B)
b) Concluez.