Le cours en PDF - Académie de Nancy-Metz

Chapitre7 : Trigonométrie
1. Rappels : cosinus
Solution : Dans le triangle EFG rectangle en E , on a :
cos(
^
EFG)= EF
FG
cos(
^
EFG)=3
5
cos(
^
EFG)=0,6
donc
^
EFG≈53,13 °
. L'angle
^
EFG
mesure environ 53,13°
Remarque : La calculatrice doit être dans le mode "degrés". Pour le savoir, tapez cos(60). Si votre
calculette affiche 0,5 alors tout va bien.
2. sinus
doc A.Garland p1/3 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons

Solution Dans le triangle EFG rectangle en F, on a :
sin(
^
FGE)= EF
EG
sin(
^
FGE)= 3
4
donc
^
FGE≈48,6°
. L'angle
^
FGE
mesure environ 48,6°
Enoncé2 : HIJ est un triangle rectangle en H avec IJ=5,7cm ;
^
HIJ =40°
.Calculer la
longueur JH arrondie à 0,001cm près.
Solution :
Dans le triangle HIJ rectangle en H, on a :
sin(
^
HIJ )= JH
IJ
sin(40 °)= JH
5,7
sin(40 °)×5,7=JH
5,7 ×5,7
JH =sin(40 °)×5,7
JH≈3,664
La longueur JH mesure environ 3,664cm
Enoncé3 : KLM est un triangle rectangle en K avec KL=10cm ;
^
KML=25°
.
Calculer la longueur ML (arrondir à 10-1 cm près).
Solution : Dans le triangle KML rectangle en K, on a :
sin(
^
KML)= LK
LM
sin(25°)= 10
LM
sin(25°)×LM =10
LM ×LM
sin(25°)×LM =10
(
sin(25 °)×LM
)
÷sin (25°)=10÷sin (25°)
LM =10÷sin(25°)
LM ≈23,7
La longueur JH est d'environ 23,7cm
3. Tangente
doc A.Garland p2/3 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons

solution :
Dans le triangle DEF rectangle en D, on a :
tan(
^
FED)= DF
DE
tan(26 °)= 3
DE
tan(26 °)×DE=3
DE ×DE
tan(26 °)×DE=3
tan(26 °)×DE÷tan(26 °)=3÷tan (26 °)
DE=3÷tan (26 °)
DE≈6,15
La longueur DE est d'environ 6,15cm.
4. D'autres formules
4.1 Lien entre sinus, cosinus et tangente
Soit ABC un triangle rectangle en A. On a
tan(
^
ABC )= sin(
^
ABC )
cos(
^
ABC )
Démonstration
Dans le triangle ABC rectangle en A on a
tan(
^
ABC )= AC
AB
;
sin(
^
ABC )= AC
BC
;
cos(
^
ABC )= AB
BC
donc
sin(
^
ABC )
cos(
^
ABC)=
AC
BC
AB
BC
=AC
BC ×BC AB =AC AB =tan (
^
ABC)
4.2 Sinus, cosinus et carrés
Soit ABC un triangle rectangle en A. On a
sin ² (
^
ABC )+cos ²(
^
ABC )=1
Démonstration : Dans le triangle ABC rectangle en A on a
sin(
^
ABC )= AC
BC
donc
sin ² (
^
ABC )= AC ²
BC ²
cos(
^
ABC )= AB
BC
donc
cos ²(
^
ABC )= AB ²
BC ²
On a
sin ² (
^
ABC )+cos ²(
^
ABC )= AB ²
BC ²+AC ² BC ²=AB ²+AC ² BC ²
Dans le triangle ABC rectangle en A on a d’après le théorème de Pythagore :
BC²=AB²+AC²
donc
sin ² (
^
ABC )+cos ²(
^
ABC )= AB ²+AC ²
BC ²=BC ² BC ²=1
Remarque : Attention à l'écriture : cos²(x) correspond à (cos(x))² qu'il ne faut pas confondre avec cos(x²)
3ème : Objectifs et compétences - CHAPITRE7 : Trigonométrie
3G101 Connaître et utiliser les relations entre le cosinus ou le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux des côtés
d’un triangle rectangle.
3G104 Déterminer, à l’aide de la calculatrice, des valeurs approchées du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné.
3G105 Triangle rectangle, relations trigonométriques : connaitre les formules cos²(a)+sin²(a)=1 et tan(a)=sin(a) / cos(a)
3G106 Déterminer, à l’aide de la calculatrice, des valeurs approchées de l’angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la
tangente.
doc A.Garland p3/3 Collège Jules Ferry de Neuves Maisons