3.25

25. a) Le schéma ci-dessous présente une coupe transversale, ou mieux, une coupe en bout, du cylindre chargé (un
cercle plein). Supposons une surface de Gauss sous la forme d’un cylindre de rayon r et de longueur coaxiale
avec le même axe que le cylindre chargé. La coupe en bout de la surface de Gauss est indiquée en pointillé.
La charge intérieure qu’elle renferme est q ρV πr2ρ, où V πr2 est le volume du cylindre.
Si ρ est positive, les lignes de champ électrique s’orientent radialement vers l’extérieur. Elles sont normales par
rapport à la surface de Gauss et distribuées uniformément sur sa longueur. Par conséquent, le flux net qui circule
dans le cylindre de Gauss est Φ EAcylindre E(2πr). À présent, en appliquant le théorème de Gauss, on obtient
ρr
2πε0 rE = πr2 ρ =⇒ E =
.
2ε0
b) Ensuite, on considère une surface de Gauss cylindrique dont le rayon r R. La charge intérieure est la charge
nette contenue dans une section du cylindre chargé de longueur l. Cela signifie que q πR2ρ. Dans ce cas,
le théorème de Gauss permet d’écrire
2πε0 rEext = πR2 ρ =⇒ Eext =
R2 ρ
.
2ε0 r