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EFREI
2011/2012
D.E Champ magnétique
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Exercice 1
Distribution continue de charges
(Sur 7 points)
Un anneau de rayon R1, d’axe Oz est chargé avec une densité linéaire λ constante et positive.
(figure 1)
z
z
M
M
R1
Figure 1
R2
R1
Figure 2
1- Utiliser les symétries du système pour trouver la direction du champ électrique créé par
l’anneau, en un point M de l’axe Oz.
2-
a- Exprimer le champ élémentaire dE créé par un élément de charge dQ  .dl  .Rd  au
point M, en déduire l’élément de champ dE z
b- Montrer que le champ électrique résultant s’exprime par : E1 ( z ) 

c- Représenter sur la figure (1) le champ E1 ( M )
k ..2R1 .z
2
( z 2  R1 ) 3 / 2
3- On considère maintenant un deuxième anneau de rayon R2 (R2 > R1), de même axe Oz, chargé
négativement avec une densité linéaire (–λ). (Figure 2).
a- Sans refaire de calcul, exprimer le champ électrique E2 ( z) créé par l’anneau de rayon R2 au

même point M. Représenter le vecteur E2 ( M ) sur la figure 2.
b- En déduire l’expression du champ électrique résultant E(z) créé par l’ensemble des 2
anneaux, au même point M.
Exercice 2
Théorème de Gauss
(Sur 7 points)
Une sphère creuse de centre O, de rayon R est chargée en surface avec une densité σ, constante et
positive.
1- a- Utiliser les règles de symétrie pour trouver la direction du champ électrique.
b- Utiliser les invariances pour déterminer les variables de dépendance du champ E.
2- A l’aide du théorème de Gauss, exprimer le champ électrique, dans les régions r < R et r > R.
3- En déduire les expressions du potentiel électrique, pour r < R et r > R. Calculer les constantes
d’intégration en considérant V ()  0 , et la continuité du potentiel électrique V(r).
4- Donner les nouvelles expressions du champ électrique E(r) (Pour r < R et r > R), lorsque la sphère
est chargée en volume avec une densité de charge ρ constante et positive.
Exercice 3
Magnétostatique
(Sur 6 points)
1- Montrer à l’aide de la loi de Biot-Savart que l’intensité du
champ élémentaire magnétique : dB, créé par un élément de
longueur dl, traversé par un courant I (figure 1) est donnée par :
 .I
dB  0 cos( )d
4 .x
O
x
M

I
2- Utiliser l’expression ci-dessus pour calculer le champ
magnétique total B(O), créé au point O, par les fils BC et CD,
traversés par un courant constant I. (Figure2)
On a : BC = CD = BD = d (BCD: Triangle équilatéral, les
segments BK, DH et CN sont médianes, médiatrices et
bissectrices).
dl
P
(Figure 1)
C

I
H
K
O
I
I
B
N
D
(Figure 2)
Formulaire
1- Les composantes du gradient en coordonnées sphériques




 r

 1 

grad   .

 r 

 
 1
 r sin  .  


2- Elément de surface en coordonnées sphériques
dS  r 2 sin(  )d .d
0  
3- Elément de volume en coordonnées sphériques
d  r 2 dr sin(  )d .d
4- Elément de Charge surfacique
dQ   .dS
5- Elément de charge volumique
dQ   .d
6- Théorème de Gauss

  Q
 ( E )   E.dS  int
Sg
7- Loi de Biot-Savart



 0 Idl  PM
dB( M ) 
4 PM 3
0
0    2