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EFREI
2011/2012
D.E Champ magnétique
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Exercice 1 Distribution continue de charges (Sur 7 points)
Un anneau de rayon R1, d’axe Oz est chargé avec une densité linéaire λ constante et positive.
(figure 1)
z z
M M
R1 R2 R1
Figure 1 Figure 2
1- Utiliser les symétries du système pour trouver la direction du champ électrique créé par
l’anneau, en un point M de l’axe Oz.
2- a- Exprimer le champ élémentaire
dE
créé par un élément de charge
RddldQ .. 
au
point M, en déduire l’élément de champ
z
dE
b- Montrer que le champ électrique résultant s’exprime par :
2/3
2
1
2
1
1)(
.2..
)( Rz
zRk
zE 
c- Représenter sur la figure (1) le champ
)(
1ME
3- On considère maintenant un deuxième anneau de rayon R2 (R2 > R1), de même axe Oz, chargé
négativement avec une densité linéaire (–λ). (Figure 2).
a- Sans refaire de calcul, exprimer le champ électrique
)(
2zE
créé par l’anneau de rayon R2 au
même point M. Représenter le vecteur
)(
2ME
sur la figure 2.
b- En déduire l’expression du champ électrique résultant E(z) créé par l’ensemble des 2
anneaux, au même point M.

Exercice 2 Théorème de Gauss (Sur 7 points)
Une sphère creuse de centre O, de rayon R est chargée en surface avec une densité σ, constante et
positive.
1- a- Utiliser les règles de symétrie pour trouver la direction du champ électrique.
b- Utiliser les invariances pour déterminer les variables de dépendance du champ E.
2- A l’aide du théorème de Gauss, exprimer le champ électrique, dans les régions r < R et r > R.
3- En déduire les expressions du potentiel électrique, pour r < R et r > R. Calculer les constantes
d’intégration en considérant
0)( V
, et la continuité du potentiel électrique V(r).
4- Donner les nouvelles expressions du champ électrique E(r) (Pour r < R et r > R), lorsque la sphère
est chargée en volume avec une densité de charge ρ constante et positive.
Exercice 3 Magnétostatique (Sur 6 points)
O x M
I
dl P (Figure 1)
C
I
H K
O
I I
B N D
(Figure 2)
1- Montrer à l’aide de la loi de Biot-Savart que l’intensité du
champ élémentaire magnétique : dB, créé par un élément de
longueur dl, traversé par un courant I (figure 1) est donnée par :
d
x
I
dB )cos(
.4
.
0
2- Utiliser l’expression ci-dessus pour calculer le champ
magnétique total B(O), créé au point O, par les fils BC et CD,
traversés par un courant constant I. (Figure2)
On a : BC = CD = BD = d (BCD: Triangle équilatéral, les
segments BK, DH et CN sont médianes, médiatrices et
bissectrices).

Formulaire
1- Les composantes du gradient en coordonnées sphériques
.
sin
1
.
1
r
r
r
dgra
2- Elément de surface en coordonnées sphériques
ddrdS .)sin(
2
0
20 
3- Elément de volume en coordonnées sphériques
dddrrd .)sin(
2
4- Elément de Charge surfacique
dSdQ .
5- Elément de charge volumique
ddQ .
6- Théorème de Gauss
0
int
.)(
Q
SdEE Sg   
7- Loi de Biot-Savart
3
0
4
)( PM
MPlId
MBd