Exemple synthèse

Exemple synthèse (Chapitre 5)
Un câble coaxial linéaire est formé d’un fil plein de rayon aet ayant une densité linéique
de charge + . Il est entouré d’une gaine (coquille cylindrique) de rayon bet ayant une
densité linéique – . L’isolant entre les deux conducteurs est du nylon dont la constante
diélectrique est . En utilisant le théorème de Gauss et le calcul de la différence de
potentiel entre les conducteurs, démontrez que la capacité d’une longueur Lde ce câble est
donnée par :
)/ln(
20
ab L
C
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Solution:
La capacité est donnée par C= Q/V. Il faut donc
déterminer Vet pour cela il faut déterminer
l’expression du champ électrique entre les deux
conducteurs.
Étape suivante 
ab

Déterminons le champ électrique entre aet bà l’aide du théorème de Gauss. Pour cela,
prenons une surface de Gauss cylindrique de rayon rcompris entre aet bet de longueur
Lentourant le fil plein comme dans la figure ci-contre.
a
r
L
S1
S3
S2
Ad
Ad
Ad
E
E
E
On peut décomposer la surface de Gauss en trois parties:
S1et S2pour les surfaces aux deux bouts du cylindre et
la surface S3pour la surface latérale du cylindre. La
permittivité de l’isolant est celle du vide multipliée par
sa constante diélectrique : o.
32
1So
in
SS
Q
AdEAdEAdEAdE
Pour les surfaces S1et S2, les vecteurs et sont
perpendiculaires alors le produit scalaire est nul.
E
Ad
AdE 
En tout point de la surface latérale du cylindre, la grandeur du champ électrique est
constante puisque la surface est toujours à la même distance du fil. Aussi, en tout
point de cette surface, est parallèle à de sorte que cos = 1
3cos So
in
Q
dAEAdE
E
Ad
Étape suivante 

o
in
Q
dAE 0cos
où Qin = L
0
2
L
LrE 
Le champ électrique entre aet best donné par :
0
2 r
E
On peut maintenant déterminer la différence de potentiel Vb–Vaentre les deux
conducteurs.
Puisque le champ varie suivant le rayon:
0cosdrErdEVV b
ar
b
arab  
En remplaçant l’expression du champ obtenu par le théorème de Gauss:
0cos
20dr r
VV b
a
ab 
 b
a
ab r
dr
VV 0
2
)ln(
2
ln
200 a
b
b
aab rVV
Où le signe négatif indique seulement que le potentiel décroît en se déplaçant de avers b.
Étape suivante 

La capacité est donnée par C = Q/Voù Vest en valeur absolue
)ln(
20
a
b
Q
C
où Q= L
)ln(
20
a
b
L
C
)ln(
20
a
bL
C
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Jérôme Giasson
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