Lecture Notes on STOCHASTIC CALCULUS

Lecture Notes on STOCHASTIC CALCULUS
Ciprian TUDOR
Université de Panthéon-Sorbonne Paris 1
November 4, 2007
MASTER M2: Mathématiques Appliquées à l’Economie et à
la Finance
CHAPTER 4: The ITÔ INTEGRAL
Attention: the proofs and the exercises are not yet translated.
1
1
CHAPTER 4: The ITÔ INTEGRAL
The space H22 :
1.1
Let (Bt )t≥0 be a Brownian motion and (φt )t≥0 a stochastic process on (Ω, Ft ). We want to
define a process Y which would be the integral with respect to the Brownian motion of the
process Φ
Z
t
Yt =
0
φs dBs .
(1)
The first idea is to construct
this integral in a pathwise way ”omega by omega”: Fix ω and
Rt
try to define Yt (ω) := 0 φs (ω)dBs (ω). If f and g are functions from IR to IR, the theory
Rt
of the Riemann-Stieltjes integration allows to define 0 f (s)dg(s) as limit of the Riemann
sums Σf (si )(g(si+1 ) − g(si )) along the partitions 0 = s0 < s1 < . . . < sn = t of [0, t]
when the mesh maxi |si+1 − si | of this partition tends to 0. In order to have a such integral
well-defined we need to impose conditions on f and on g.
Exercice 1.1 Show that if g is continuous and f := 1[a,b[ then the Riemann sums converge
Rt
to g(t ∧ b) − g(t ∧ a). Show also that, if g is continuous, 0 f (s)dg(s) is a linear functional
on the vector space R generated by the functions 1[a,b[ , a ≤ b.
If one wants to integrate more general functions f , for examples continuous functions
f , then we need to restrict the class of functions g: the Riemann-Stieltjes theory assumes
that g is a bounded variation function. the trajectory t → Bt (ω) being without bounded
variation, this theory cannot be applied here.
To define the integral (1), we need to restrict the class of processes φ that are
integrated. Let define the first set on which we will work:
Definition 1.2 H22 is the set of processes φ Ft - progressively measurable such that
Z ∞
kφk2H 2 = E[
φ2 (s)ds] < ∞.
2
0
H22 is the quotient of H22 by the equivalence relation ≡, où φ ≡ φ0 si et seulement si kφ −
φ0 k2H 2 = 0.
2
Exercice 1.3 Montrez que H22 est un espace vectoriel et que k.kH22 est une semi-norme sur
cet espace. H22 est donc un espace vectoriel normé.
³
Remark 1.4 Pour α > 1, on considère parfois les normes suivantes kφkH α
2
et les espaces H2α correspondants.
2
´1
R∞ 2
α
α
2
= E[( 0 φs ds) ]
Exercice 1.5 Soit t1 < t2 et ψ ∈ L2 (Ft1 ). Posons φt (ω) := ψ(ω)1[t1 ,t2 [ (t). Montrez que
φ ∈ H22 et calculez kφkH22 .
Preuve: Remarquons que φ est progressivement
mesurable en effet: Soit T fixé si T < t1
N
B[0,T ] mesurable car c’est l’application constante.
alors φ : Ω × [0, T ] → 0 donc φ est FT
Si T ≥ t1 alors φ(ω, t) = ψ(ω)1[t1 ,t2 [ (t), or ψ(ω) est Ft1 mesurable donc
N FT
mesurable et 1[t1 ,t2 [ (t) est B[0,T ] mesurable donc φ(ω, t) = ψ(ω)1[t1 ,t2 [ (t) est FT
B[0,T ]
mesurable.
R∞
R∞
Ensuite kφk2 H2 =E[ 0 φ2 (s)ds] = E[ 0 12[t1 ,t2 [ (t)ψ 2 (ω)dt]
2
= E[(t1 − t2 )ψ 2 (ω)] = (t2 − t1 )E(ψ 2 (ω)) < ∞.
Donc φ ∈ H22 .
Definition 1.6 We introduce Esc cas the vector space generated by {ψ(ω)1[t1 ,t2 [ : t1 <
t2 , ψ ∈ L2 (Ft1 )}.
Theorem 1.7 (H22 , k.kH22 ) is a Hilbert space.
N
N
Preuve: H22 est un sous espace vectoriel de L2 (F∞ B[0,∞[ , µ) avec µ = P
λ, P étant
la mesure sur F∞ et λ la mesure de Lebesgue sur [0, ∞[. En effet:
R
kφk2L2 = Ω×[0,∞[ φ2 (ω, t)dµ(ω, t)
R R∞
= Ω (R 0 φ2 (ω, t)dt)dP (ω)
∞
= E( 0 φ2 (ω, t)dt).
N
L2 (F∞ B[0,∞[ , µ) étant un espace de Hilbert, il nous
N suffit pour prouver la première as2
2
sertion de démontrer que H2 est fermé dans L (F∞ B[0,∞[ , µ):
N
Soit φn → φ dans L2 (F∞ B[0,∞[ , µ) avec φn ∈ H22 . Montrons que φ ∈ H22 . Pour
T fixé on a:
RT
kφn − φk2L2 (F∞ N B ) = E[ 0 (φn,t (ω) − φt (ω))2 dt]
[0,T ]
R∞
≤ E[ 0 (φn,t − φt )2 dt]
= kφn − φk2H 2 → 0.
2
N
2 (F
La restriction de φ à Ω × [0, T ] est la limite dans
L
B[0,T ] µ) des restrictions de φn
T
N
à Ω × [0, T ]. La restriction de φ à [0, T ] est FT
B[0,T ] - mesurable. Ceci étant vrai pour
tout T , φ est progressivement mesurable et donc dans H22 .
Theorem 1.8 Esc is dense in H22 .
3
Preuve: 1) Si f ∈ L2 ([0, ∞[) et n ∈ IN , définissons Tn (f ) par Tn (f )t =
P∞
k=1 (n
Montrons que Tn (f ) ∈ L2 et que kTn (f )k2L2 ≤ kf k2L2 .
R
k
n
k−1
n
f (s)ds)1[ k , k+1 [ (t).
R ∞ P∞
R nk
2
k k+1 (t)) dt
, n [
0 ( k=1 (n k−1 f (s)ds)1[ n
n
R ∞ P∞
R nk
2
= 0
(n
k−1 f (s)ds) 1[ k , k+1 [ (t)dt
k=1
n
n
n
R nk
P∞
1
2
=
k=1 (n k−1 f (s)ds) n .
kTn (f )k2L2
=
n
or d’après l’inégalité de Jensen [E[f (U )]]2 ≤ E[f 2 (U )] en prenant U une variable uniforme
k
sur [ k−1
n , n ], on a:
kTn (f )k2L2 ≤
∞ Z
X
k=1
k
n
k−1
n
Z
∞
f 2 (s)ds =
0
f 2 (s)ds = kf k2L2 < ∞.
n→∞
Montrons à présent que Tn (f ) −→ f dans L2 : l’espace CK ([0, ∞[) des fonctions
continues à support compact est dense dans L2 , donc si φ ∈ L2 ([0, ∞[) alors ∀² > 0,
∃f ∈ CK ([0, ∞[): kφ − f kL2 < 3² .
Or, la continuité uniforme de f implique que Tn (f ) converge uniformément vers f
et donc kTn (f ) − f kL2 → 0. Ainsi, ∃N : ∀n ≥ N kTn (f ) − f kL2 < 3² . Ainsi:
kTn (φ) − φkL2
≤ kTn (φ − f )k + kTn (f ) − f k + kf − φk
≤ 3² + 3² + 3² = ².
n→∞
Ceci étant vrai pour tout ², nous concluons que Tn (f ) −→ f dans L2 .
2)Si φ ∈ H22 est tel que φt = 0, ∀t ≥ T , définissons le processus φn par
φn (ω, t) = Tn (φ(ω, .))(t) =
Z
∞
X
(n
k=1
k
n
k−1
n
φ(ω, s)ds)1[ k , k+1 [ (t).
n
n
Cette somme ne contient en fait qu’un nombre fini de termes non nuls. Or, si s ≤ nk , φ(ω, s)
R nk
φ(ω, s)ds est F k -mesurable. De plus
est F k mesurable donc k−1
n
n
n
Z
E[(n
k
n
k−1
n
Z
2
φ(ω, s)ds) ] ≤ E[n
k
n
k−1
n
φ(ω, s)2 ds)] < ∞.
Ainsi φn (ω, t) ∈ Esc.
R∞
Montrons que φn → φ pour la norme de H22 : Soit Yn (ω) := 0 (φn (ω, t)−φ(ω, t))2 dt.
Observons que
Yn (ω) = kTn (φ(ω, .)) − φ(ω, .)k2L2 ([0,∞[) .
4
n
n
Aussi, ∀ω, Yn (ω) → 0 lorsque n → ∞. De plus
p
Yn (ω) = kTn (φ(ω, .)) − φ(ω, .)kL2 ([0,∞[)
≤ kTn (φ(ω, .))kL2 ([0,∞[) + kφ(ω, .)kL2 ([0,∞[)
≤ 2kφ(ω, .)kL2 ([0,∞[)
R∞
Ainsi Yn (ω) ≤ 4 0 (φ(ω, t))2 dt. Le membre de droite de cette inégalité ayant une espérance
finie, nous pouvons appliquer le théorème de la convergence dominée de Lebesgue pour
conclure que kφn − φkH22 = E[Yn ] → 0.
3) Si φ ∈ H22 , nous allons montrer que 1[0,T ] φ converge vers φ dans H22 lorque T
tend vers ∞. Le théorème sera établi puisque, par le point 2, 1[0,T ] φ peut être approché
d’aussi près que l’on veut par un processus de Esc.
T →∞
Puisque (φ − 1[0,T ] φ)2 = 1]T,∞[ φ2 ≤ φ2 et que 1]T,∞[ φ2 −→ 0, il suffit d’appliquer
à
N
1
nouveau le théorème de la convergence dominée de Lebesgue sur l’espace L (F∞ B[0,∞[ , µ)
pour conclure que kφ − 1[0,T ] φkH22 → 0.
1.2
The Itô integral on H22
We aim now to define the integralR(1) for processes φ in the space H22 . It is possible to
t
construct the random variable Yt = 0 φs dBs for fixed t, but in this way this random variable
would be a random variable in L2 (Ft ): Yt would be therefore defined modulo a set with zero
measure and nothing would indicate that Y , viewed as a stochastic process (Yt )t≥0 , has a
regular enough version (continuous version, for example). We prefer to define directly the
integral as a process which will be denoted by I(φ).
Definition 1.9 If φ ∈ Esc, then for every ω the trajectory φ. (ω) is in the space R given in
the exercise 1.1. We can thus define I(φ) pathwise ”omega by omega”
Z
I(φ)t (ω) :=
t
0
φs (ω)dBs (ω),
the above integral being understood in the sense of Exercise 1.1.In particular, if φt (ω) =
ψ(ω)1[t1 ,t2 [ (t), où t1 ≤ t2 et ψ ∈ L2 (Ft1 ), we have
I(φ)t = ψ · (Bt2 ∧t − Bt1 ∧t ).
Remark 1.10 Note that, if φt (ω) = ψ(ω)1[t1 ,t2 [ (t), the constructed process I(φ) is {Ft }adapted and continuous. The integral from exercise 1.1being linear on R, the application I
will also be linear and I applies linearly Esc into the space of continuous adapted to {Ft }
processes..
Exercice 1.11 Si φt (ω) = ψ(ω)1[t1 ,t2 [ (t), où t1 ≤ t2 et ψ ∈ L2 (Ft1 ), montrez que I(φ) est
une martingale et calculez kI(φ)kL2 .
5
Preuve: Soit s > t.
1) Supposons d’abord que t ∈ [t1 , t2 ]: alors ψ ∈ L2 (Ft ), et t1 ∧ s = t1 = t1 ∧ t ≤ t.
Donc
E[I(φ)s |Ft ] = E[ψ · (Bt2 ∧s − Bt1 ∧s )|Ft ] = ψ · (E[Bt2 ∧s |Ft ] − Bt1 ∧t ).
Puisque B est une martingale et t2 ∧ s ≥ t = t2 ∧ t, nous avons
E[I(φ)s |Ft ] = ψ · (Bt2 ∧t − Bt1 ∧t ) = I(φ)t .
2) Si t < t1 alors, soit s ≤ t1 , et partant
E[I(φ)s |Ft ] = E[0|Ft ] = 0 = I(φ)t ,
soit s > t1 , et donc, il suit du cas 1) que:
E[I(φ)s |Ft ] = E[E[I(φ)s |Ft1 ]|Ft ] = E[I(φ)t1 |Ft ] = E[0|Ft ] = 0 = I(φ)t .
3) Si t > t2 , alors I(φ)t = I(φ)t2 = I(φ)s , et puisque I(φ)t est Ft -mesurable, nous
avons également E[I(φ)s |Ft ] = I(φ)t .
Enfin,
kI(φ)k2L2 = limt→∞ kI(φ)t k2L2
= kI(φ)t2 k2L2
= E[ψ 2 (Bt2 − Bt1 )2 ]
= E[ψ 2 ](t2 − t1 ).
En comparant au résultat obtenu à l’exercice 1.5, nous voyons que
kI(φ)kL2 = kφkH22 .
Cette propriété se généralise:
Theorem 1.12 I is a linear isometric application from (Esc, k.kH22 ) to (M 2 , k.kL2 ).
Preuve: Nous savons d’une part que I est linéaire. D’autre part si φ est de la forme
ψ1[t1 ,t2 [ , il découle de l’exercice précédent que I(φ) ∈ M 2 . Par linéarité, cette propriété
s’étend à tout φ ∈ Esc.
6
Pn
Remarquons que si φ ∈ Esc, alors φ =
k0
0
ψk 1[tk ,tk [ avec tk1 ≤ tk2 , ψk ∈ L2 (Ftk ) et
1
k0
[tk1 , tk2 [∩[t1 , t2 [= ∅ si k 6= k 0 . Nous calculons alors:
I(φ)k2L2
2
1
= E[I(φ)2∞ ]
n
X
= E[(
I(ψk 1[tk ,tk [ )∞ )2 ]
0
n
X
= E[(
0
n
X
= E[
1
2
ψk (Btk − Btk ))2 ]
1
2
ψk2 (Btk − Btk )2 ]
2
0
1
X
+2E[
ψk ψj (Btk − Btk )(Btj − Btj )]
=
n
X
1
2
k<j
2
1
E[ψk2 ](tk2 − tk1 )
0
car, les intervalles [tk1 , tk2 [ et [tj1 , tj2 [ sont disjoints si k < j, donc E[ψk ψj (Btk − Btk )(Btj −
2
1
2
Btj )] = 0. Par ailleurs:
1
φk2H 2
2
Z
= E[
0
Z
= E[
∞
n
X
(
ψk 1[tk ,tk [ )2 dt]
0
n
∞ X
(
0
1
2
ψk2 1[tk ,tk [ )dt]
0
1
2
X
ψk2 (ω)(tk2 − tk1 )]
= E[
=
X
k
E(ψk2 )(tk2 − tk1 )
k
= kI(φ)k2L2 .
Nous concluons donc que kI(φ)kL2 = kφkH22 : I est bien une isométrie.
Corollary 1.13 Si {φn } ⊂ Esc converge vers φ ∈ H22 au sens de k.kH22 , alors la suite
{I(φn )} converge dans M 2 .
Si {φ0n } ⊂ Esc converge également φ, alors
lim I(φn ) = lim I(φ0n ).
n→∞
n→∞
Preuve: En effet, si {φn } converge, il s’agit d’une suite de Cauchy dans H22 donc, I étant
linéaire et isométrique:
kI(φn ) − I(φm )kL2 = kI(φn − φm )kL2 = kφn − φm kH22 → 0.
7
Ainsi {I(φn )} est une suite de Cauchy dans M 2 et, M 2 étant complet, la limite limn→∞ I(φn )
existe. Si {φ0n } est une autre suite convergent vers φ, nous pouvons en créer une troisième
{φ00n } qui prend alternativement ses éléments dans les suites {φn } et {φ0n }. Puisque {φ00n }
converge vers φ, la suite {I(φ00n )} est convergente et toutes les sous-suites de {I(φ00n )},–
{I(φn )} et {I(φ0n )} en particulier–, convergent donc vers une limite commune.
We are able to introduce now the Itô integral:
Definition 1.14 (Itô integral on H22 ) If φ ∈ H22 , there exists a sequence {φn } ⊂ Esc that
¯
converges to φ. We set I(φ)
:= limn→∞ φn . By using the previous corollary, the limit does
¯
not depend on the chosen sequence {φn }. I(φ)
is called the Itô integral of the process φ.
¯
Exercice 1.15 Montrez que I¯ est linéaire et isométrique et que si φ ∈ Esc: I(φ)
= I(φ).
Preuve: Soient φ et φ0 ∈ H22 , soient {φn } et {φ0n } ⊂ Esc telles que φn → φ et φ0n → φ0 .
Alors ∀α, β ∈ IR : (αφn + βφ0n ) → (αφ + βφ0 ) et donc
¯
I(αφ
+ βφ0 ) = L2 − lim I(αφn + βφ0 n )
= α lim I(φn ) + β lim I(φ0 n )
¯ + β I(φ
¯ 0)
= αI(φ)
d’où I¯ est linéaire. Montrons que I¯ est isométrique:
¯
kI(φ)k
L2 = lim kI(φn )kL2 = lim kφn kH22 = kφkH22 .
Enfin si φ ∈ Esc, la suite constante φn := φ est une suite dans Esc qui converge vers
¯
φ. Ainsi I(φ)
= lim I(φn ) = I(φ).
R·
R
¯
¯ s = s φt dBt and
Definition 1.16 From now on we will denote I(φ)
= 0 φt dBt , I(φ)
0
Rb
¯ b − I(φ)
¯ a.
φ
dB
=
I(φ)
t
t
a
¯
Remark 1.17 Remark that I(φ)
has been globally defined as a stochastic process. We
¯
don(t know apriori if I(φ)s depends or not on the behavior of the process φ after the time
s (property which is evident in the construction ”pathwise” of the integral)
The next exercise proves that actually the integral at time t depends only on the
trajectory of the integrand from zero to t.
Exercice 1.18 Si T est fixé, montrez que
¯ T = I(1
¯ [0,T [ φ)∞ .
∀φ ∈ H22 : I(φ)
Avec les notations intégrales, cela revient à dire:
Z T
Z ∞
φs dBs =
1[0,T [ (s)φs dBs
ou encore
R∞
T
0
0
1[0,T [ (s)φs dBs = 0.
8
Preuve: Définissons les applications J : H22 → L2 (FT ) et K : H22 → L2 (F∞ ) comme suit:
¯ T et K(φ) := I(1
¯ [0,T [ φ)∞ .
J(φ) := I(φ)
J et K sont clairement linéaires puique I¯ l’est. Montrons que ces applications sont
également continues. En effet:
¯ T kL2 ≤ kI(φ)k
¯
kJ(φ)kL2 = kI(φ)
L2 = kφkH22 .
De même
¯ [0,T [ )∞ kL2 = kI(φ1
¯ [0,T [ )kL2 = kφ1[0,T [ k 2 ,
kK(φ)kL2 = kI(φ1
H2
d’où
s
kK(φ)kL2 =
Z
E(
s
T
φ2
0
s ds) ≤
Z
E(
∞
0
φ2 s ds) = kφkH22 .
H22 |J(φ)
Posons à présent F := {φ ∈
= K(φ)}. Par continuité et linéarité de J et
K, F est un sous espace vectoriel fermé de H22 .
Remarquons que, si φ est de la forme φ = ψ1[t1 ,t2 [ , alors:
¯ T = ψ(BT ∧t − BT ∧t )
J(φ) = I(φ)
2
1
et, puisque [t1 , t2 [∩[0, T [= [T ∧ t1 , T ∧ t2 [, nous avons φ1[0,T [ = ψ1[T ∧t1 ,T ∧t2 [ . Ainsi
¯ [0,T [ )∞ = ψ(BT ∧t − BT ∧t ) = J(φ).
K(φ) = I(φ1
2
1
Ainsi, l’espace vectoriel F contient tous les φ de la forme φ = ψ1[t1 ,t2 [ . F contient
donc Esc qui est l’espace vectoriel engendré par ces φ. F étant fermé, et Esc étant dense
dans H22 , nous avons établi que H22 ⊂ F: ce que nous voulions montrer.
Exercice 1.19 Montrez que si φ ∈ H22 , si A ∈ Ft alors:
1. ψs (ω) = 1A (ω)1[t,∞[ (s)φs (ω) ∈ H22 .
R·
R.
2. 0 ψs dBs = 1A 0 1[t,∞[ φs dBs .
Nous montrons en fait ici que si Z ∈ L∞ (Ft ) alors
Z ∞
Z
Zφs dBs = Z ·
t
t
∞
φs dBs
Preuve:
1) Montrons que ψ est progressivement mesurable. Soit T fixé:
Si T < t alors la resrtiction de ψ à Ω×[0, T ] est identiquement nulle donc FT ⊗B[0,T ] mesurable.
Si T ≥ t alors 1A est Ft -mesurable donc FT -mesurable et 1[t,∞[ est B[0,T ] mesurable
d’où 1A 1[t,∞[ est Ft ⊗ B[0,T ] -mesurable et, puisque φ ∈ H22 , ψ(ω) = 1A (ω)1[t,∞[ (s)φs (ω) est
Ft ⊗ B[0,T [ -mesurable.
9
Calculons à présent kψkH22 :
Z ∞
Z
2
2
kψkH 2 = E[
ψs ds] = E[1A
2
0
∞
φ2s ds]
t
Z
≤ E[
∞
0
φ2s ds] = kφk2H 2 < ∞.
2
Ainsi: ψ ∈ H22 .
2) Pour montrer la deuxième assertion, posons
¯ A 1[t,∞[ φ) et K(φ) := 1A · I(1
¯ [t,∞[ φ).
J(φ) := I(1
Il est facile de voir que si φ est de la forme 1[t1 ,t2 [ ψ, alors J(φ) = K(φ). On montre aisément
que J et K sont des applications linéaires continues de H22 dans M 2 . Nous pouvons donc
appliquer la preuve de l’exercice précédent.
Exercice 1.20 Si τ est un temps d’arrêt ne prenant qu’un nombre fini de valeurs: τ (Ω) =
¯ τ =I(1
¯ [0,τ [ φ)∞ . En d’autres
{t1 , . . . , tn } où t1 < . . . < tn , si φ ∈ H22 , montrez que I(φ)
termes:
Z τ
Z ∞
φs dBs =
1[0,τ [ (s)φs dBs .
0
0
Montrez ensuite que cette relation est vérifiée pour tout temps d’arrêt τ .
Preuve: Considérons un temps d’arrêt τ discret. Alors, puisque {τ = ti } est Fti -mesurable,
nous obtenons avec les deux exercices précédents:
¯ [0,τ [ φ)∞ = I(φ)
¯ ∞ − I(1
¯ [τ,∞[ φ)∞
I(1
n
X
¯ ∞ − I(
¯
= I(φ)
1{τ =ti } 1[ti ,∞[ φ)∞
i=1
¯ ∞−
= I(φ)
n
X
¯ [t ,∞[ φ)∞
1{τ =ti } I(1
i
i=1
=
n
X
¯ ∞ − I(1
¯ [t ,∞[ φ)∞ )
1{τ =ti } (I(φ)
i
i=1
=
n
X
¯ [0,t [ φ)∞
1{τ =ti } I(1
i
i=1
=
n
X
¯ t
1{τ =ti } I(φ)
i
i=1
¯ τ.
= I(φ)
Si τ est un temps d’arrêt général, il existe une suite {τn } de temps d’arrêt discrets
telle que τn & τ (voir la démonstration du théorème d’arrêt , Ch. 3). Par continuité des
¯
trajectoires de I(φ),
nous avons:
¯ τ = lim I(φ)
¯ τn = lim I(1
¯ [0,τ [ φ)∞
I(φ)
n
n→∞
n→∞
10
Pour terminer la démonstration, il nous suffit donc de montrer que les processus 1[0,τn [ φ converge dans H22 vers 1[0,τ [ φ. Mais ceci suit le théorème de convergence dominée de Lebesgue
appliqué à la mesure P ⊗ λ sur Ω × [0, ∞[: d’une part 1[0,τn [ φ converge ponctuellement vers
1[0,τ [ φ et d’autre part, ∀n : |1[0,τn [ φ| ≤ |φ|.
Exercice 1.21 Si τ est un temps d’arrêt, et X un processus, nous rappelons que la notation
X τ désigne le processus t → Xtτ := Xτ ∧t . Améliorez les démonstrations antérieures pour
prouver que
¯ τ = I(1
¯ [0,τ [ φ).
I(φ)
Exercice 1.22 Il suit de l’exercice précédent que si σ ≤ τ sont deux temps d’arrêt, alors
¯ [0,σ[ φ) et I(1
¯ [0,τ [ φ) concident jusqu’au temps σ: I(1
¯ [0,σ[ φ) = I(1
¯ [0,τ [ φ)σ .
les processus I(1
Nous mettons à profits cette remarque dans la suite pour étendre la définition de l’intégrale
d’Itô I¯ à une classe plus vaste de processus.
Definition 1.23 (Local martingale) A process X is a {Ft }-local martingale if it is continuous and adapted to the filtration {Ft } and there exists an increasing sequence τn of stopping
times such that τn % ∞ P -a.s. for every n: X τn ∈ M2 . We denote by Mloc the set of local
modif
martingales and by M loc the quotient of Mloc for the equivalence relation ≡ .
Exercice 1.24 Montrez que toute martingale continue est une martingale locale.
Remark 1.25 In general a local martingales is not a martingale. The next exercise provides an example in this sense.
Exercice 1.26 Soit V une variable aléatoire finie positive telle que E[V ] = ∞. Soit par
ailleurs B un mouvement Brownien indépendant de V . Posons Ft := σ(V, Bs , s ∈ [0, t]) et
Xt := V · Bt .
1) Montrez que Xt n’est pas dans L1 si t > 0. X ne peut donc pas être une martingale.
2) Montrez que B est un {Ft }-mouvement brownien.
3) Soit τn := 1{V ≤n} n. Montrez que τn est un {Ft }-temps d’arrêt et que τn % ∞.
4) Montrez que Xsτn = 1V ≤n (V ∧ n) · Bs∧n . Concluez que X τn ∈ M 2 .
Exercice 1.27 Montrez que si X ∈ M loc , si τ est un temps d’arrêt tel que X τ soit un
processus borné, alors X τ est une martingale.
Preuve: Voila une idée pour le cas X ∈ M 2 . Montrer d’abord que X adapté est
une martingale si et seulement si pout tout temps d’arrêt borné T , on a
E(XT ) = E(X0 ).
(une direction est claire, pour l’autre utiliser le temps d’arrêt particulier T = t1A s + 1Ac t
si A ∈ Fs et s < t
T pour tout S temps d’arrêt borné.
Utiliser ensuite cela pour conclure que XST = XO
En général on ne peut pas remplacer borné par U.I. dans l’énoncé précédent.
11
Definition 1.28 (The space H2loc ) H2loc is the set of processes a which are progressively
measurable and for every T ∈ [0, ∞[:
Z
T
0
a2t dt < ∞ P -P.P.
For a such process, we put τna the stopping time(!)
Z
τna
:= inf {t|
0
t
a2s ds ≥ n}.
The process 1[0,τna [ a is then in H22 . In addition, if a ∈ M loc , τna is an increasing sequence of
stopping times who converges to ∞ almost surely.
R·
Remark 1.29 We aim now to define J(φ) := 0 φs dBs for a process φ in H2loc . It is natural
R τφ
¯
φ)
to ask that ∀n: J(φ)τ φ coincides with 0 n φs dBs interpreted as the integral I(1
[0,τnφ [ ∞
n
¯
previously defined. We will actually ask that J(φ) and I(1[0,τ φ [ φ) coincide until the time
n
τnφ . The next theorem indicates that a such process J(φ) exists.
Theorem 1.30 If {Ft } is a complete filtration then ∀φ ∈ H2loc ,there exists a process J(φ)
φ
¯
unique in M loc such that ∀n : J(φ)τn = I(φ1
).
[0,τ φ [
n
¯
Preuve: I(φ1
) est un élément de M 2 soit une classe d’équivalence pour la relation
[0,τ φ [
n
modif
¯
≡ . Choisissons un représentant Yn de cette classe. Si n < m, l’identité I(φ1
) =
[0,τ φ [
n
τnφ de la remarque 1.22 se traduit en terme de Y et Y par Y modif
τnφ
¯
I(φ1
φ )
n
m
n ≡ Ym . L’exercice
[0,τm
[
1.40, Ch. 3 nous apprend que Yn et Ym sont indistinguables. Ainsi P (An,m ) = 1, où
φ
τn
An,m := {ω|∀t ≥ 0 : Yn,t (ω) = Ym,t
(ω)}. Soit A := ∩n<m An,m . Nous avons également
P (A) = 1.
Soit B := {ω : limn→∞ τnφ (ω) = ∞}. Nous avons alors P (B) = 1, et donc P (A0 ) = 1,
où A0 := A ∩ B. Si ω appartient à A0 , définissons Yt (ω) comme suit: il existe n tel que
t ≤ τnφ (ω). Posons Yt (ω) := Yn,t (ω). Remarquons que cette définition ne dépend pas
φ
du n choisi tel que t ≤ τnφ (ω). En effet, si t ≤ τm
(ω), et par exemple n < m, alors
φ
τn
Yn,t (ω) = Ym,t
(ω) = Ym,t∧τ φ (ω) = Ym,t (ω).
n
Le processus Y est donc bien défini sur A0 . Définissons alors Yt (ω) := 0 si ω ∈
/ A0 . Le
processus Y obtenu est donc continu, et si ω ∈ A0 nous avons Yn,t (ω) = Yt (ω) si t ≤ τnφ (ω) et
φ
si t > τnφ (ω), Yn,t (ω) = Yn,τ φ (ω) (ω) = Yτ φ (ω) (ω). Nous venons de montrer que Ytτn = Yn,t 1A0 .
n
n
Aussi ∀ω: Yt (ω) = limn→∞ 1A0 Yn,t (ω). Puisque la filtration {Ft } est complète et
qur P (A0 ) = 1, 1A0 Yn,t est Ft -mesurable et en passant à la limité, Yt l’est aussi: Y est
12
φ
φ
adapté à {Ft }. De plus, la relation Ytτn = Yn,t 1A0 implique que Yn,t = Ytτn P -ps. Ainsi
modif
φ
Yn ≡ Y τn . Puisque Yn ∈ M2 , cette relation indique que Y ∈ Mloc . Nous définissons enfin
modif
J(φ) comme la classe d’équivalence sur Mloc pour ≡ qui contient Y . Nous avons alors
φ
¯
∀n : J(φ)τn = I(φ1
).
[0,τ φ [
n
modif
φ
Il nous reste à montrer l’unicité de J(φ): soit Z ∈ Mloc tel que ∀n : Yn ≡ Z τn ,
φ modif
modif
modif
φ
alors ∀n : Y τn ≡ Yn ≡ Z τn . Puisque τnφ % ∞, cela implique clairement que Y ≡ Z.
Show that the application J : H2loc → M loc : φ → J(φ) is linear.
¯
Remark 1.31 Show that if φ ∈ H22 , then J(φ) = I(φ).
Definition 1.32 J(φ) will be theR Itô integral of the Rprocess φ ∈ H2loc . We adopt the folt
·
lowing integral notation: J(φ)t = 0 φs dBs et J(φ) = 0 φs dBs .
Exercice 1.33 Nous avons défini l’application J : H2loc → M loc comme l’intégrale par
rapport à un mouvement brownien donné B quelconque. Si B 1 et B 2 sont deux mouvements
browniens indépendants, nous savons que B 3 := √12 (B 1 + B 2 ) est encore un mouvement
brownien. A chacun de ces mouvements browniens correspond donc une application J :
H2loc → M loc différente que nous noterons respectivement J1 , J2 et J3 . Montrez que J3 (φ) =
√1 (J1 (φ) + J2 (φ)). En notation intégrale, cela revient à montrer que
2
Z
0
1.3
·
φt dBt3
Z ·
Z ·
1
1
= √ ( φt dBt +
φt dBt2 ).
2 0
0
The semi-martingales and their brackets:
Definition 1.34 We define H1loc as the set of progressively measurable processes φ such
that for every T < ∞
Z T
|φs |ds < ∞ P -ps.
0
H1loc
is the quotient of
Lebesgue measure on [0, ∞[.
H1loc
with respect to the relation: P ⊗ λ-pp, where λ is the
Definition 1.35 A process X adapted to the filtration Ft is a semi-martingale if ∃X0 ∈
L1 (F0 ), a ∈ H2loc and b ∈ H1loc with:
Z ·
Z ·
X = X0 +
as dBs +
bs ds.
(2)
0
0
More generally, if B 1 , · · · , B n are s {Ft }in dependent Brownian motion and if X0 ∈ L1 (F0 ),
a1 , · · · , an ∈ H2loc and b ∈ H1loc , then we will also consider that the below process X is a
13
semi-martingale
X = X0 +
n Z
X
i=1
·
0
Z
ais dBsi
·
+
0
bs ds
(3)
Remark 1.36 We define in general a semi-martingale as a sum M +A of a local martingale
M and an adapted process A with finite variation on any interval. Our definition is more
restrictive.
Theorem 1.37 If the process X is a semi-martingale, then the decomposition (2) is unique.
Preuve: Par linéarité des intégrales, montrer l’unicité de la représentation (2), revient à
montrer que, si α ∈ H2loc et β ∈ H1loc vérifient
Z ·
Z ·
αs dBs =
βs ds,
0
0
alors α = β = 0.
R·
Posons M := 0 αs dBs , et définissons:
Z
τn = inf {t : |Mt | ≥ n ou
t
0
βs |ds ≥ n}.
Montrons d’abord que le processus que M τn est identiquement nulle: soit t1 , . . . , tn tels que
0 = t1 < t2 < ... < tn = t. Alors, puisque par l’exercice 1.27, M τn est une martingale, nous
avons:
X
n
)2 − (Mtτin )2 ]
E[(Mtτn )2 ] =
E[(Mtτi+1
i
=
X
n
− Mtτin )2 ]
E[(Mtτi+1
i
n
− Mtτjn | ·
≤ E[max |Mtτj+1
j
≤
≤
n
|Mtτi+1
− Mtτin |]
i
n
= E[max |Mtτj+1
j
X
X Z
τn
− Mtj | ·
|
i
ti+1
ti
βs 1s≤τn ds|]
Z t
τn
τn
E[max |Mtj+1 − Mtj | ·
|βs |ds]
j
0
n
n · E[max |Mtτj+1
− Mtτjn |].
j
Puisque M τn est continue, ses trajectoires sont uniformément continues sur [0, t]
n
n
et donc maxj |Mtτj+1
− Mtτjn | → 0 P -pp lorsque maxj |tj+1 − tj | → 0. Puisque |Mtτj+1
| ≤
n, par définition de τn , il suit du théorème de la convergence dominée de Lebesgue que
n
E[maxj |Mtτj+1
− Mtτjn |] → 0
14
Ainsi, ∀t nous avons obtenu
E[(Mtτn )2 ] = 0
n→∞
et donc M τn est donc identiquement nulle. Puisque τn % ∞ P -pp, 0 = Mtτn −→ Mt . P -ps.
Ceci implique que M est identiquement nul, et donc α et β sont nuls.
The next lemma is a consequence of the above proof. It is interesting by itself and
it deserves to be retained.
Proposition 1.38 If M est is a local martingale with bounded variation, then Mt ≡ 0 for
every t.
The result that follows will generalize the quadratic variation of the Brownian motion
(Chapter 2). Let ∆ = {t1 , . . . , tn } with 0 = t0 < t2 < ... < tn = T , a partition of the interval
[0, T ]. If X is a process, we define
∆
T (X) :=
n−1
X
(Xti+1 − Xti )2 .
i=0
We first treat the case of the space H22 .
Theorem 1.39 If a ∈ H22 and
Z
.
X=
0
then
as dBs ,
Z
∆
T (X) →
0
T
a2s ds
in L1 when |∆| → 0
Preuve:
Observons d’abord que si le processus a est dans Esc, le résultat est une
conséquence de la propriété de variation quadratique du mouvement brownien. En effet,
pour tout intervalle de type ]a, b] ou u prend la valeur constante c, on a une contribution
du type
X
c2
(Btj+1 − Btj )2
a≤tj−1 ≤tj ≤b
qui converge vers c2 (b − a).
Considérons maintenant a ∈ H22 .
existe une suite ak de Esc telle que
Z T
lim E
k→∞
0
Par le théorème de densité de Esc dans H22 , il
¯
¯2
¯
k¯
¯at − at ¯ dt = 0.
15
On peut supposer que le processus ak est constant sur [tj , tj+1 ), sinon il suffit d’inclure les
points de la partition associés à ak dans les tj .
Rt
On aura, en posant Xtk = 0 aks dBs
¯¶
µ¯
Z t
¯ ∆
¯
2 ¯
¯
E ¯T (X) −
as ds¯
≤ E(|T ∆ (X) − T ∆ (X k )|)
0
¯¶
µ¯
Z t
¯ ∆ k
¯
k 2 ¯
¯
+E ¯T (X ) −
(as ) ds¯
0
¯¶
µ¯Z t
Z t
¯
¯
k
2
2
+E ¯¯ (as ) ds −
(as ) ds¯¯ .
0
0
On peut borner le premier terme en utilisant l’inégalité de Schwartz et l’isométrie de
l’intégrale stochastique

ÃZ
! ÃZ
!
n
tj
tj
X
E(|T ∆ (X) − T ∆ (X k )|) = E 
(as + aks )dBs
(as − aks )dBs 
j=1
tj−1
tj−1
³
´1 ³
´1
2
2
E(T ∆ (X + X k )
E(T ∆ (X − X k )
" µZ
¶ 21 µZ t
¶ 21 #
t
= E
(as + aks )2 ds
E
(as − aks )2 ds
≤
0
0
Observons que la borne obtenue ne dépend pas de n et converge quand k → ∞. Donc, pour
ε > 0 fixé,
¯¶
¯¶
µ¯
µ¯
Z t
Z t
¯ ∆
¯
¯ ∆ k
¯
2 ¯
k 2 ¯
¯
¯
E ¯T (X) −
as ds¯ ≤ ε + E ¯T (X ) −
(as ) ds¯ .
0
0
Il suffit maintenant de prendre la limite lorsque la norme de la division tend vers 0.
We also present a more general situation with a slightly different proof.
R.
RT
Theorem 1.40 If a ∈ H2loc and X = 0 as dBs , then T ∆ (X) → 0 a2s ds in probability when
|∆| → 0
R.
Preuve: Soit a ∈ H2loc et X = 0 as dBs . Posons
Z
τn := inf{t : |Xt | ≥ n ou
R.
0
t
a2s ds ≥ n},
R.
an := 1[0,τn [ a et Xn := 0 an,s dBs . Il suit de la définition de 0 as dBs que Xn = X τn ,
R T ∧τ
RT
et nous avons aussi 0 a2n,s ds = 0 n a2s ds, de sorte que sur {τn ≥ T }, pour tout ∆,
RT
RT
T ∆ (Xn ) = T ∆ (X) et 0 a2n,s ds = 0 a2s ds. Il nous suffit donc d’établir le résultat pour les
16
R∞
processus a ∈ H22 tels que |X| et 0 a2s ds soient bornés: le résultat sera vrai pour an et
RT
donc, ∀δ > 0, P (|T ∆ (X) − 0 a2s ds| > δ) est borné par
Z T
∆
P (τn < T ) + P ({τn ≥ T } ∩ {|T (X) −
a2s ds| > δ}).
0
P (τn < T ) est aussi petit que l’on désire en prenant n suffisemment grand et P ({τn ≥
RT
T } ∩ {|T ∆ (X) − 0 a2s ds| > δ}) est égal à
Z T
∆
P ({τn ≥ T } ∩ {|T (Xn ) −
a2n,s ds| > δ}).
0
Ce dernier terme est aussi petit que l’on désire en prenant
R ∞ |∆| suffisemment petit.
Supposons donc que a ∈ H22 est tel que |X| et 0 a2s ds soient bornés par M . Notons
∆Xi := Xti+1 − Xti et calculons E[(∆Xi )2 |Fti ]: Si A ∈ Fti , il suit de l’exercice 1.19 que
Z ∞
Z ∞
1A ∆Xi = 1A
1[ti ,ti+1 [ (s)as dBs =
1A 1[ti ,ti+1 [ (s)as dBs .
0
0
Aussi:
E[1A (∆Xi )2 ] = E[(1A ∆Xi )2 ] = I(1A 1[ti ,ti+1 [ a)k2L2
Z ti+1
2
a2s ds]
= k1A 1[ti ,ti+1 [ akH 2 = E[1A
Z
= E[1A E[
2
ti+1
ti
ti
a2s ds|Fti ]]
Ceci étant vrai pour tout A ∈ Fti , nous avons montré que
Z ti+1
2
E[(∆Xi ) |Fti ] = E[
a2s ds|Fti ].
ti
Ainsi, si l’on pose V0 := 0 et Vi+1 := Vi +(∆Xi )2 −
RT
martingale et Vn = T ∆ (X) − 0 a2s ds. Dès lors:
Z
E[(T ∆ (X) −
0
T
a2s ds)2 ] = E[Vn2 ] =
n−1
X
R ti+1
ti
a2s ds, V est une {Fti }i=0,...,n -
E[(Vi+1 − Vi )2 ]
i=0
=
n−1
X
2
2
2
E[((∆Xi ) − E[(∆Xi ) |Fti ]) ] ≤
i=0
n−1
X
E[(∆Xi )4 ], (4)
i=0
car, en posant S := (∆Xi )2 , on a:
E[S 2 ] = E[(S − E[S|Fti ])2 ] + E[(E[S|Fti ])2 ] ≥ E[(S − E[S|Fti ])2 ].
17
Remarquons ensuite que
n−1
X
(∆Xi )4 ] ≤ E[∆X∗2 · T ∆ (X)] ≤
E[
p
E[∆X∗4 ] ·
q
E[(T ∆ (X))2 ],
i=0
où ∆X∗ := maxi (∆Xi ). Puisque X est un processus continu, ∆X∗ tend P -pp vers 0 lorsque
|∆|
p → 0, et par ailleurs ∆X∗ est borné par 2M , puisque X est borné par M . Partant
E[∆X∗4 ] tend vers 0.
Nous allons montrer maitenant que E[(T ∆ (X))2 ] est borné. Nous aurons ainsi
RT
démontré la convergence L2 de T ∆ (X) vers 0 a2s ds, et donc la convergence en probabilité.
R∞
En utilisant l’inégalité (4), le fait que X est une martingale bornée par M et que 0 a2s ds ≤
M , on trouve
Z
∆
kT (X)kL2
∆
T
Z
a2s dskL2
≤ kT (X) −
+k
0
v
u n−1
u X
≤ tE[ (∆Xi )4 ] + M
0
T
a2s dskL2
i=0
v
u
n−1
u
X
≤ t(2M )2 E[ (∆Xi )2 ] + M
i=0
q
=
(2M )2 E[XT2 ] + M
= 2M 2 + M.
Definition 1.41 A continuous stochastic process A such that for every T : T ∆ (X) converges in probability to AT when the mesh |∆| of the partition of [0, T ] tends to 0 is called
the bracket of X and it is denoted by hX, Xi := A.
Remark 1.42 The previous theorem shows that, if X =
Rt 2
0 as ds.
R.
0
as dBs où a ∈ H2loc , thenhX, Xit =
Definition 1.43 (joint bracket) If X and Y are two processes, we denote by
T ∆ (X, Y ) :=
n−1
X
(Xti+1 − Xti ) · (Yti+1 − Yti ).
i=1
The process A which is the limit in ptobability of T ∆ (X, Y )is called the joint bracket of X
and Y and it is denoted by hX, Y i.
18
L’exercice qui suit donnera le crochet d’une semimartingale ainsi que le crochet
croisé d’une martingale est d’un processus à variation bornée (absolument continu)
R.
Exercice 1.44 1) RMontrez que si Y = 0 bs ds où b ∈ H1loc , alors hY, Y i = 0.
.
2) Si X = 0 as dBs où a ∈ H2loc , montrez que T ∆ (X, Y ) → 0 en probabilité. (i.e.
hX, Y i = 0).
R.
R.
3) Si X = X0 + 0 at dBt + 0 bt dt est une semi-martingale, montrez que hX, Xit =
Rt 2
0 as ds.
4) Montrez que hX, Y i = 41 (hX + Y, X + Y iR+ hX − Y, RX − Y i) et calculezRle crochet
.
.
.
hX, Y i de deux semi-martingales X = X0 + 0 at dBt + 0 bt dt et Y = Y0 + 0 a0t dBt +
Rcroisé
. 0
0 bt dt.
5) Supposons que B1 et B2 soient deux {Ft }-mouvements browniens indépendants.
Calculez hB1 + B2 , B1 + B2 i, hB1 − B2 , B1 − B2 i et finalement montrez que hB1 , B2 i = 0.
Exercice 1.45 L’objet de cet exercice est de montrer
que si B 1 et B 2 sont des mouvements
R
·
browniens indépendents, si a1 , a2 ∈ H2loc et X i := 0 ait dBti , alors hX 1 , X 2 i = 0.
1) Montrez que pour
cette affirmation, il suffit de la prouver pour des
R · démontrer
i
i
i
2
processus a tels que X et 0 (as ) ds soient bornés par une constante M . Nous supposerons
donc que ces hypothèses sont vérifiées dans la suite de l’exercice.
2) Soit S > T et A ∈ FT , et considérons l’application
Z
F : H22 × H22 → IR, (u, v) → F (u, v) := E[1A
S
T
Z
ut dBt1 ·
S
T
vt dBt2 ].
Montrer que F est bilinéaire et continue:
|F (u, v)| ≤ kukH22 · kvkH22 .
3) Montrez que si u = φ1[t1 ,t2 [ , v = ψ1[s1 ,s2 [ , avec t1 < t2 , φ ∈ L2 (Ft1 ), s1 < s2 et
ψ ∈ L2 (Fs1 ), alors F (u, v) = 0.
Concluez que ∀u, v ∈ H22 : F (u, v) = 0.
4) Montrez que le processus Zt = Xt1 · Xt2 est une martingale.
5) Soit ∆ une partition de [0, T ]. Nous reprenons les notations de l’exercice précédent
et du théorème 1.40. Montrez que
2(∆Zi )2 ≤ (∆Xi1 )4 + (∆Xi2 )4
P
2
6) Montrez que E[(T ∆ (X 1 , X 2 ))2 ] = E[ n−1
i=1 (∆Zi ) ]. En utilisant la fin de la
∆
1
2
preuve du théorème 1.40, montrez que T (X , X ) → 0 dans L2 lorsque |∆| tend vers 0.
7) En utilisant les résultats de cet exercice et du précédent, calculez le crochet hX, Xi
de la semi-martingale générale définie à la définition 1.35 formule (3).
19
1.4
Change of variable formula (Itô formula)
The stochastic integral with respect to a semi-martingale is defined as follows:
Definition 1.46 If (vt )t≥0 is a progressively measurable process we will write by convention
Z ·
Z ·
Z ·
vt dXt :=
vt · at dBt +
vt · bt dt.
0
0
0
Here is a first step to the obtention of the Itô formula.
R.
R.
Exercice 1.47 If X = X0 + 0 at dBt + 0 bt dt is a semi-martingale then for every t:
Z t
Z t
P -pp
Xt2 = X02 +
2Xs dXs +
dhX, Xis
0
0
In particular the processes in both sides above are indistinguishables.
Preuve: Comme pour la démonstration précédente, par arrêt àRdes temps τRn appropriés, il
∞
∞
suffit de démontrer le corollaire pour des processus tels que X, 0 a2s ds et 0 |bs |ds soient
bornés.
Fixons T et remarquons que si ∆ est une partition de [0, T ], alors:
XT2
=
X02
+
n−1
X
(Xt2i+1
i=0
n−1
X
= X02 + 2
=
X02
+2
i=0
n−1
X
i=0
−
Xt2i )
X02
=
+
n−1
X
((Xti + ∆Xi )2 − Xt2i )
i=0
Xti ∆Xi +
Z
Xt i
n−1
X
(∆Xi )2
i=0
ti+1
ti
as dBs + 2
n−1
X
Z
Xt i
i=0
ti+1
ti
bs ds + T ∆ (X)
Utilisant le fait que X est borné et continu, il est aisé de remarquer que le processus
φs :=
n−1
X
Xti 1[ti ti+1 [ (s)as
i=0
converge vers Xs as dans H22 lorsque |∆| → 0. La première somme convergera donc dans L2
RT
vers 2 0 Xs as dBs et donc aussi en probabilité. Par un raisonnement analogue la deuxième
RT
somme convergera vers 2 0 Xs bs ds en probabilité. Enfin T ∆ (X) converge en probabilité
vers hX, Xi par définition du crochet de X. La première assertion est donc démontrée.
Les processus d’une part et de l’autre part de l’égalité sont continus. Nous venons
de démontrer qu’ils sont des modifications l’un de l’autre. Ils sont donc indistinguables,
comme il ressort de l’exercice 1.40, Ch. 3.
20
Exercice 1.48 If X and Y are semi-martingales, show that
Z t
Z t
Z
Xt Yt = X0 Y0 +
Xs dYs +
Ys dXs +
0
0
t
0
dhX, Y is .
Preuve: On sait que Xt Yt = 41 [(Xt + Yt )2 − (Xt − Yt )2 ]. Il suffit d’appliquer le résultat
précédent aux martingales X + Y et X − Y .
The last exercise proves that the product of two semi-martingale is still a semimartingale. The following result shows that if we apply a smooth enough function to a
semi-martingale, the result is still a semi-martingale.
Theorem 1.49 (Itô formula) If X is a semi-martingale of the form (2) and f : R → R is
a function of class C 2 , then
Z
Z t
Z t
1 t 00
0
0
f (Xs )a2s ds
(5)
f (Xt ) = f (X0 ) +
f (Xs )as dBs +
f (Xs )bs ds +
2 0
0
0
or, in other words,
Z
f (Xt ) = f (X0 ) +
t
0
1
f (Xs )dXs +
2
Z
0
t
0
f 00 (Xs )dhX, Xis .
Preuve: Nous allons donner les idées de la démonstration dans le cas particulier b = 0.
Par un argument de localisation, on peut supposer que f, f 0 , f 00 sont bornées. En
effet, pour tout n ≥ 1, on pose
Z t
Z t
Tn = inf{t ≥ 0; |X0 | + |
as dBs | + |
a2s ds| ≥ n} ∧ n.
0
0
Il est clair que Tn est un temps d’arrêt tel que Tn % ∞. Considérons la semimartingale
Xt∧Tn . Alors
|Xt∧Tn | ≤ n
pour tout n ≥ 1 et tout t ≥ 0. Il suffit de prouver (5) pour Xt∧Tn à la place de Xt (car
après on prend la limite quand n → ∞). De cette façon, tout se réduit à prouver (5) pour
X tel que
Z
t
|
0
as dBs | + |Xt | ≤ c
¯ c) qui interviennent.
et dans ce cas il y a que les valeurs de f, f 0 , f 00 sur le compact [0, t]× B(0,
Donc f, f 0 , f 00 peuvent être supposées continues à support compact, donc bornées.
D’une autre part, en approximant a par une suite de processus bornés de Esc telle
que
µZ
P
0
t
¶
(as − ans )2 ds > ε →n→∞ 0
21
pour tout ε > 0, il suffit de prouver (5) pour un processus a escalier borné.
Considérons tj = tj
n . On peut supposer par un argument standard que le processus
a est constant sur [tj , tj+1 ), sinon il suffit d’inclure les points de la partition associés à a
dans les tj .
La formule de Taylor d’ordre 2 nous donne
f (Xt ) = f (X0 ) +
n
X
¡
¢
f (Xtj ) − f (Xtj−1 )
j=1
= f (X0 ) +
n
X
j=1
n
1 X 00
f (X̄j )(∆Xj )2
f (Xtj−1 )∆Xj +
2
0
(6)
j=1
où ∆Xj = Xtj − Xtj−1 et X̄j est un point situé entre Xtj−1 et Xtj .
Rt
La première somme à droite de (6) converge dans L2 vers 0 f 0 (Xs )as dBs . En effet

2
Z t
n
X
E
f 0 (Xtj−1 )∆Xj −
f 0 (Xs )as dBs 
0
j=1

= E
n Z
X
j=1
Ã
≤ K 2 tE

tj
tj−1
(f 0 (Xtj−1 ) − f 0 (Xs ))2 a2s ds
sup
!
(f 0 (Xr ) − f 0 (Xs ))2
|s−r|≤t/n
en assumant que a est majoré par la constante K. Cela converge vers zero car f (Xt ) est
continu est borné.
La deuxième somme à droite de (6) converge dans L2 vers
Z
1 t 00
f (Xs )a2s ds
2 0
car
≤
¯
¯
¯ n
¯
Z t
¯X 00
¯
2
00
2 ¯
¯
f
(
X̄
)(∆X
)
−
f
(X
)a
ds
j
j
s
s
¯
¯
0
¯ j=1
¯
¯2 ¯
¯
Ã
!¯
¯
¯X
Z tj
¯
¯
¯
¯ n 00
¯
2
¯ (f (X̄j ) − f 00 (Xt ))(∆Xj )2 ¯ + ¯¯f 00 (Xt ) (∆Xj )2 −
a
ds
¯
s
j−1
j−1
¯
¯
¯
¯
tj−1
¯
¯ j=1
¯
¯
¯X
¯
Z tj
¯ n
¡ 00
¢ 2 ¯
00
¯
+¯
f (Xtj−1 ) − f (Xs ) as ds¯¯
¯ j=1 tj−1
¯
:= a1 + a2 + a3 .
22
Les termes a1 et a3 se traitent par les majorations
a1 ≤
sup
(f 0 (Xr ) − f 0 (Xs ))2
|r−s|≤t/n
n
X
(∆Xj )2
j=1
et
Z
a3 ≤
sup
(f 0 (Xr ) − f 0 (Xs ))2
|r−s|≤t/n
0
t
a2s ds
donc ils convergent vers zero.
Voyons le terme a2 . Notons φj la valeur du processus escalier a sur [tj−1 , tj [. Comme
∆Xj = φj ∆Bj et en posant
dj := φj f 00 (Xtj−1 )
on obtient en utilisant l’indépendance des acroissements du brown ien et en notant ∆tj =
tj − tj−1
2 

n
X
¢
¡
E(a22 ) ≤ E 
dj (∆Bj )2 − ∆tj  
j=1
=
=
=
n
X
j=1
n
X
j=1
n
X
³ ¡
¢2 ´
E d2j (∆Bj )2 − ∆tj
¢2
¡
Ed2j E (∆Bj )2 − ∆tj
¡
¢
Ed2j E (∆Bj )4 − 2(∆Bj )2 ∆tj + (∆tj )2
j=1
n
X
= 2
n
Ed2j (∆tj )2 ≤
j=1
2t X 2
Edj (∆tj ) →n→∞ 0.
n
j=1
Remark 1.50 Sometimes we use the differential notation
1
df (Xt ) = f 0 (Xt )dXt + f 00 (Xt )dhX, Xit
2
Exercice 1.51 Comparer la formule d’Itô pour f (x) = x2 avec celle donne par l’exercice
1.47.
23
Theorem 1.52 (Itô formula for functions depending on time) let f = f (t, x) be a function
of class C 1,2 and let Yt = f (t, Xt ) where X is a semi-martingale of the form (2). Then
Z t
Z t
∂f
∂f
f (t, Yt ) = f (0, X0 ) +
(s, Xs )ds +
(s, Xs )as dBs
0 ∂t
0 ∂x
Z t
Z
1 t ∂2f
∂f
(s, Xs )bs ds +
(s, Xs )a2s ds.
2
∂x
2
∂x
0
0
We present below the multidimensional version of the Itô formula.
Theorem 1.53 If f : IRd → IR is C 2 , if
X j = X0j +
XZ
k
.
0
Z
k
ak,j
s dBs +
0
.
bjs ds
are semi-martingales and if X := (X 1 , · · · , X d ), then:
Z tX
d
∂f
f (Xt ) = f (X0 ) +
(Xs )dXsj
0 j=1 ∂xj
Z
1 t X ∂2f
0
+
(Xs )dhX j , X j is .
2 0
∂xj ∂xj 0
0
(7)
j,j
Preuve: Par la technique d’arrêt des démonstrations précédentes, il suffit de démontrer le
résultat pour les semi-martingales X à valeurs dans un ensemble compact K de IRd . Soit
V la classe des fonctions f : K → IR vérifiant le théorème.
Les fonctions constantes ainsi que les fonctons
g j : x = (x1 , · · · , xd ) → g j (x) := xj
sont dans V.
Par linéarité en f de la formule (7), si f et g sont dans V et α, β ∈ IR alors clairement
αf + βg ∈ V.
Montrons que si f et g sont dans V alors h := f · g l’est également. Soit Ft := f (Xt ),
Gt := g(Xt ), Ht := g(Xt ), Par d’exercice 1.48, nous avons:
dHt = Ft dGt + Gt dFt + dhF, Git
Puisque f et g sont dans V, on trouve:
P
P
0
dFt = j ∂j f (Xt ) · dXtj + 21 j,j 0 ∂j,j 0 f (Xt ) · dhX j , X j it
P
P
0
dGt = j ∂j g(Xt ) · dXtj + 12 j,j 0 ∂j,j 0 g(Xt ) · dhX j , X j it
24
0
Puisque les termes en dhX j , X j it sont à 1-variation bornée, ils n’interviennent pas dans le
calcul de dhF, Git . On trouve alors:
X
0
dhF, Git =
∂j f (Xt ) · ∂j 0 g(Xt ) · dhX j , X j it .
j,j 0
Aussi
dHt =
P
j (Gt ∂j f (Xt ) + Ft ∂j g(Xt ))
0
0
1P
+ 2 j,j 0 Lj,j
· dhX j , X j it
t
· dXtj
0
où Lj,j
= (Gt ∂j,j 0 f (Xt )+Ft ∂j,j 0 g(Xt )+2∂j f (Xt )·∂j 0 g(Xt )). Puisque ∂j h(Xt ) = Gt ∂j f (Xt )+
t
0
Ft ∂j g(Xt ) et ∂j,j 0 h(Xt ) = Lj,j
t , on en conclut donc que dHt vérifie bien la formule (7) et
partant h ∈ V.
De ce qui précède, on conclut que V contient tous les polynômes. Soit ² > 0. Toute
fonction f ∈ C2 peut être approximée sur K par un polynôme g tel que kf − gk∞,K ≤ ², ∀j:
k∂j f − ∂j gk∞,K ≤ ² et ∀j, j 0 : k∂j,j 0 f − ∂j,j 0 gk∞,K ≤ ². Puisque la formule (7) est vérifiée
par g, elle sera vérifiée par f par passage à la limite, et le théorème est donc démontré.
1.5
Applications of the Itô formula
Les exercices qui suivent constituent quelques applications immédiates de la formule d’Itô.
Exercice 1.54 Montrer que, si B est le mouvement brownien, alors
Z t
Z
n(n − 1) t n−2
n
n−1
Bt = n
Bs dBs +
Bs ds.
2
0
0
Exercice 1.55 En utilisant la formule d’Itô, montrez que, si B est un mouvement brown2
ien, alors Mt = exp(αBt − α2 t) est une martingale locale.
Rt
Rt
2
Preuve: Soit f (x) := exp(x) et Xt := αBt − α2 t. Puisque Xt = 0 αdBs + 0 (−α2 /2)ds, on
Rt
a hX, Xit = 0 α2 ds = α2 t. La formule d’Itô nous donne donc, avec f (x) = f 0 (x) = f 00 (x):
Mt = f (Mt )
Z
Z
1 t 00
f (Xs )dXs +
= f (X0 ) +
f (Xs )dhX, Xis
2 0
0
Z
Z t
Z t
1 t
α2
Ms α2 ds
= f (0) +
Ms αdBs −
Ms ds +
2
2
0
0
0
Z t
= 1+
Ms αdBs
t
0
0
Puisque les trajectoires de B et donc de M sont continues, la variable MT∗ :=
RT
sup{Ms : 0 ≤ s ≤ T } est, pour tout T < ∞, une variable P -pp finie. Puisque 0 Ms2 α2 ds ≤
25
MT∗2 · α2 · T , le processus Mt α appartient à H2loc . Son intégrale
martingale locale et il en est alors de même pour M .
R·
0
Ms αdBs est donc une
Definition 1.56 Si X et Y sont deux semimartingales, on définit l’intégrale de Stratonovich
de X par rapport à Y par
Z t
Z t
1
Xs d ◦ Ys =
Xs dYs + hX, Y it .
2
0
0
Exercice 1.57 En déduire de l’exercice 1.48 que
Z t
Z t
Xt Yt = X0 Y0 +
Xs d ◦ Ys +
Ys d ◦ Xs
0
0
Exercice 1.58 Montrer que
n−1
X
i=0
converge en probabilité vers
Rt
0
1
(Xti+1 + Xti )(Yti+1 − Yti )
2
Xs d ◦ Ys si 0 = t0 < . . . tn = t est une partition de [0, t].
Exercice
1.59 Soit B 1 , B 2 , B 3 trois mouvements browniens indépéndants. Soit f (x1 , x2 , x3 ) :=
P3
1
2
3
( i=1 (1 + xi )2 )−1/2 et Z
Pt 3:= f (Bt , Bt , Bt ).
1) Montrez que i=1 ∂i,i f (x1 , , x2 , x3 ) = 0, pour tout (x1 , x2 , x3 ) 6= (−1, −1, −1).
2) Soit τn := inf{t : Zt ≥ n}. En utilisant la formule d’Itô, montrez que Z τn est
une martingale positive bornée par n.
√
3) Montrez que E[Zτn ] = 1/ 3. Déduire de cela que
√
P (τn < ∞) ≤ 1/(n 3)
et que τn % ∞ P -ps. Z est donc une martingale locale.
4) Soit σm := inf{t : Zt ≤ 1/m}. En utilisant le corollaire 2.15, montrez que
σm < ∞ P -ps. Montrez ensuite que σm % ∞ P -ps.
P -pp
Montrez que Zτn ∧σm ∈ {1/m, n} P -ps. et que Zτn ∧σm −→ Zτn lorsque m → ∞.
Déduizez-en que Zτn = n · 1{τn <∞} P -ps.
P -pp
5) Montrez que Zτn −→ 0 lorsque n tend vers l’infini.
6) En utilisant la densité normale, montrez qu’il existe une constante C < ∞ telle
que ∀t E[Zt2 ] ≤ C.
7) Si Z était une martingale, nous aurions Z ∈ M2 . Montrez qu’en vertu du
corollaire 4.22, Z ne peut donc être une martingale.
Z est donc une martingale locale bornée en norme L2 (donc U.I.) qui n’est pas une
martingale.
26