Équations de Maxwell. Ondes électromagnétiques

Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Chapitre IX
Équations de Maxwell.
Ondes électromagnétiques
IX.a.
1.
Équations de Maxwell
Courant de déplacement
Le champ électromagnétique a été déterminé dans les chapitres précédents à partir des quatre équations
locales
ρ
~=
div E
,
(IX.1)
ε0
~
∂B
−→ ~
,
(IX.2)
rot E = −
∂t
~ = 0,
div B
(IX.3)
−→ ~
rot B = µ0 ~
(IX.4)
~ et B
~ à l’infini.
et des conditions sur E
D’après l’équation (IX.4),
div ~ = 0
(IX.5)
puisque la divergence d’un rotationnel est toujours nulle. Cette équation, correcte dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires, ne l’est plus dans le cas général. On doit alors avoir
∂ρ
=0
∂t
~ donc
ce qui impose de modifier l’équation (IX.4). Or ρ = ε0 div E,


~ 

∂E
 = 0.
div~ + ε0
∂t 
div ~ +
(IX.6)
(IX.7)
La solution la plus simple, confirmée par l’expérience, est donc de rajouter à ~ dans l’équation (IX.4) le terme,
appelé courant de déplacement,
~
∂E
ε0
.
∂t
On obtient ainsi la version définitive des équations de Maxwell :
ρ
~=
div E
,
(équation de Maxwell-Gauss)
(IX.8)
ε0
~
∂B
−→ ~
rot E = −
,
(équation de Maxwell-Faraday)
(IX.9)
∂t
※1
~ = 0,
div B
(IX.10)
~
∂E
−→ ~
rot B = µ0 ~ + ε0 µ0
.
∂t
1.
(équation de Maxwell-Ampère)
Parfois appelée « équation de Maxwell-flux » car elle est reliée au flux du champ magnétique.
80
(IX.11)
Michel Fioc
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~ et B,
~ les équations de Maxwell déterminent
Avec la force de Lorentz et les conditions aux limites sur E
~ et B
~ obéissent au principe
complètement le mouvement de particules chargées. Elles sont linéaires, donc E
~ et B
~ à partir des équations de Maxwell est néanmoins délicate en
de superposition. La détermination de E
régime non stationnaire car les champs électrique et magnétique sont alors couplés. Il est en fait plus simple
de passer par les potentiels.
2.
Potentiels
Remarquons d’abord que la constante
c= √
1
ε0 µ0
≈ 3 × 108 m · s−1
(IX.12)
a la dimension d’une vitesse. Nous verrons qu’il s’agit de la vitesse de la lumière dans le vide.
D’après les équations (IX.9) et (IX.10),
~
−−→
∂A
~ = −−
E
grad V −
,
∂t
→~
~=−
B
rot A,
(IX.13)
(IX.14)
~ sont respectivement les potentiels scalaire et vectoriel. Introduisons-les dans les équations (IX.8)
où V et A
et (IX.11). On obtient
−∆V −
~
ρ
∂(div A)
=
,
ε0
∂t
(IX.15)
!
~
−−−→
−−→ ∂V
∂2 A
~ − ∆A
~ = µ0 ~ − ε0 µ0 −
grad(div A)
− ε0 µ 0
.
grad
2
∂t
∂t
(IX.16)
On peut réécrire ces équations de la manière suivante :
!
ρ
∂
~ + 1 ∂V ,
−
div A
ε0
∂t
c2 ∂t
!
−−−→
1 ∂V
~
~
A = −µ0 ~ + grad div A + 2
,
c ∂t
V = −
(IX.17)
(IX.18)
où est l’opérateur d’alembertien défini par
=∆−
1
∂2
c2 ∂t2
=
∂2
∂x2
+
∂2
+
∂y2
∂2
∂z2
−
1
∂2
c2 ∂t2
.
(IX.19)
Le même terme
~ + 1 ∂V
div A
c2 ∂t
~ ne déterminent pas les
~ et B
~ en fonction de V et A
apparaît dans les deux équations. Or les expressions de E
potentiels de manière unique. En effet, pour toute fonction f , si
−−→
~0 = A
~+−
A
grad f,
(IX.20)
alors
→ ~ −→ ~0
~=−
B
rot A
= rot A ,
puisque le rotationnel d’un gradient est nul. De même, comme

−−−→
~
~0
 ∂A
∂ grad f
−
−
−
→
−
−
−
→
∂
A
~ = − grad V −
E
= − grad V − 
−
∂t
∂t
∂t
on a
avec
(IX.21)

!
~0

∂f
−−→
∂A
 = − −
grad
V
−
−
,

∂t
∂t
~0
−−→
∂A
~ = −−
E
grad V 0 −
∂t
V0 = V −
∂f
.
∂t
(IX.22)
(IX.23)
(IX.24)
~ de telle sorte que
Il est toujours possible de trouver une fonction f et de redéfinir V et A
~+
div A
1 ∂V
c2
81
∂t
= 0.
(IX.25)
Michel Fioc
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Cette condition est appelée jauge de Lorenz (sans « t » : ce n’est pas le même physicien que celui de la force de
~ = 0) dans le cas de sources et de champs non stationnaires.
Lorentz). Elle généralise la jauge de Coulomb (div A
En jauge de Lorenz, les équations (IX.17) et (IX.18) deviennent
ρ
V = −
,
(IX.26)
ε0
~ = −µ0 ~.
A
(IX.27)
~
Les solutions de ces équations, avec les conditions supplémentaires V(∞) = 0 et A(∞)
= ~0, valables pour une
distribution de sources localisée ou dont la densité décroît suffisamment rapidement avec la distance, sont
les suivantes :
$
ρ(P, t − PM/c)
d̄τ,
(IX.28)
V(M, t) =
4 π ε0 PM
P
$
µ0 ~(P, t − PM/c)
~
d̄τ.
(IX.29)
A(M,
t) =
4 π PM
P
Ces solutions sont appelées potentiels retardés car les valeurs des potentiels en un point M à un instant t
dépendent de celles des sources en tous les points P à l’instant antérieur t − PM/c. La quantité PM/c correspond
au temps de propagation de P à M à la vitesse c des effets d’une variation des sources.
On peut rajouter une autre solution, celle des potentiels avancés, où « t − PM/c » est remplacé par « t +
PM/c ». Cette solution n’est pas physique car les potentiels (et les champs) dépendraient des valeurs des
sources à un instant ultérieur : elle violerait donc le principe de causalité selon lequel la cause précède l’effet.
Lorsque les sources sont stationnaires, les potentiels retardés se réduisent aux expressions obtenues en
électrostatique et en magnétostatique :
$
ρ(P)
d̄τ,
(IX.30)
V(M) =
4
π
ε0 PM
P
$
µ0 ~(P)
~
d̄τ.
(IX.31)
A(M) =
4
π PM
P
Les champs sont alors donnés par les lois de Coulomb et de Biot et Savart :
−−→
$
ρ(P) PM
~
E(M) =
d̄τ,
3
P 4 π ε0 PM
−−→
$
µ0 ~(P) × PM
~
B(M) =
d̄τ.
4 π PM3
P
(IX.32)
(IX.33)
~
~
Il ne faut pas en conclure que, pour des sources non stationnaires, les expressions de E(M,
t) et B(M,
t) peuvent
être obtenues à partir des lois de Coulomb et de Biot et Savart en remplaçant ρ(P) et ~(P) par ρ(P, t − PM/c)
et ~(P, t − PM/c). Les expressions correctes, dues à Jefimenko, sont
−−→
$
ρ(P, t − PM/c) PM
1
~
E(M, t) =
4 π ε0
PM3
P
!
−−→
(∂ρ/∂t)(P, t − PM/c) PM
(∂~/∂t)(P, t − PM/c)
+
−
d̄τ,
(IX.34)
c PM2
c2 PM
!
$
~(P, t − PM/c)
µ0
(∂~/∂t)(P, t − PM/c)
−−→
~
B(M,
t) =
+
× PM d̄τ.
(IX.35)
3
2
4π
PM
c PM
P
Aux termes usuels en électrostatique et en magnétostatique, qui dépendent des valeurs de ρ et de ~ (mais
au temps retardé) et qui décroissent en 1/r2 , s’ajoutent, dans le cas non stationnaire, des termes dépendant
des dérivées de ρ et de ~ par rapport au temps et qui décroissent en 1/r. Ces derniers dominent donc à
grande distance des sources si celles-ci ne sont pas stationnaires et ce sont eux qui sont à l’origine des ondes
électromagnétiques.
En régime quasi stationnaire, le temps de propagation PM/c est négligeable devant le temps d’évolution
du système (ce qui revient à négliger le courant de déplacement). Près des sources, les potentiels V(M, t) et
~
A(M,
t) sont alors donnés par (IX.30) et (IX.31) avec ρ(P, t) et ~(P, t) au lieu de ρ(P) et ~(P).
$
ρ(P, t)
V(M, t) ≈
d̄τ,
(IX.36)
4
π
ε0 PM
P
$
µ0 ~(P, t)
~
A(M, t) ≈
d̄τ.
(IX.37)
P 4 π PM
82
Michel Fioc
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~
~
De même pour B(M,
t) à partir de (IX.33). En revanche, à cause du terme « ∂A/∂t
» dans (IX.13), il ne suffit
~
pas de remplacer ρ(P) par ρ(P, t) dans (IX.32) pour obtenir E(M, t).
3.
Théorème de Poynting
Une particule de charge q se déplaçant à une vitesse ~
v par rapport à un référentiel galiléen reçoit du champ
électromagnétique une puissance
~+~
~ ·~
~·~
P q = q (E
v × B)
v = qE
v.
(IX.38)
Un volume d̄τ contenant différents types de porteurs de charge reçoit une puissance
X
~·~
~ d̄τ.
dP =
νk d̄τ qk E
vk = ~ · E
(IX.39)
k
La puissance reçue par les charges dans un volume V fixe est donc
$
~ d̄τ.
~ · E
PV =
V
(IX.40)
Réécrivons ce terme en utilisant (IX.11).

$  −→
~ 
~
 rot B
∂
E
 ~

PV =
 µ − ε0 ∂t  · E d̄τ.
0
V
(IX.41)
−→
−→
div(~a × ~b) = rot ~a · ~b − ~a · rot ~b,
(IX.42)
Or
donc


$  
~
~
~ 
~×B
~ 
  E
∂B
B
∂
E

 d̄τ


~·
·
+ ε0 E
PV = −
+
div
µ0  µ0 ∂t
∂t 
V

!
$

2
2
~×B
~ 
 E
ε
E
B
∂
0
 ~

+
d̄τ,
=−
 µ  · d̄S −
2
2 µ0
0
V ∂t
S
(IX.43)
(IX.44)
où l’on a appliqué le théorème d’Ostrogradski à la surface S de V. Le volume étant fixe, on peut réécrire
cette expression sous la forme

!
$

~×B
~ 
ε0 E2
 E
d
B2
~
 · d̄S

−
+
d̄τ = PV +
(IX.45)
µ0
2
2 µ0
dt
V
S
(théorème de Poynting). La quantité
uEM =
ε0 E2
2
+
B2
2 µ0
(IX.46)
peut s’interpréter comme la densité d’énergie électromagnétique associée au champ ; son intégrale est l’énergie
électromagnétique E contenue dans V. La quantité
~ ~
~ = E×B
Π
µ0
(IX.47)
est le vecteur de Poynting ※2 et son intégrale sur S est le flux d’énergie électromagnétique à travers S (positif
s’il y a un flux net vers l’extérieur).
Le théorème de Poynting traduit la conservation de l’énergie : la variation de l’énergie électromagnétique dans un volume est due au travail des forces électromagnétiques sur les charges dans ce volume ou
(inclusivement) à un échange d’énergie avec l’extérieur par la surface de ce volume.
On peut de même associer une densité (volumique) de quantité de mouvement
~
g=
~
Π
c2
(IX.48)
au champ électromagnétique.
2.
La preuve du théorème de Poynting utilise le théorème d’Ostrogradski, valable pour une surface fermée, et ne fait intervenir que la
→
~ +−
divergence du vecteur de Poynting. La divergence d’un rotationnel étant nulle, Π
rot ~f satisferait aussi le théorème pour n’importe
quelle fonction ~f .
Le flux d’énergie électromagnétique à travers une surface ouverte dépend en revanche de la fonction ~f . Nous admettrons que
la densité de flux d’énergie électromagnétique est bien donnée par l’expression (IX.47).
83
Michel Fioc
IX.b.
1.
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Ondes électromagnétiques dans le vide
Équation des ondes électromagnétiques dans le vide
On s’intéresse ici aux équations de Maxwell dans le vide, c.-à-d. dans une région où ρ = 0 et ~ = 0. Prenons
le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday. On a
−−−→
−→ −→
rot(rot ~a) = grad(div ~a) − ∆~a,
(IX.49)
donc, dans le vide,
−→ ~
~
~
∂(ε0 µ0 ∂E/∂t)
∂(rot B)
−→ −→ ~
→ ∂B
~ = −−
rot(rot E) = −∆E
rot
=−
=−
,
∂t
∂t
∂t
(IX.50)
~ = ~0.
E
(IX.51)


−→ ~
~
~ 

∂
E
−→ −→ ~
−
→
 = 1 ∂(rot E) = 1 ∂(−∂B/∂t) ,
~ = rotε0 µ0
rot(rot B) = −∆B


2
2
∂t
∂t
∂t
c
c
(IX.52)
~ = ~0.
B
(IX.53)
d’où
De même,
d’où
~ et B
~ sont découplés dans les équations (IX.51) et (IX.53).
Remarquer que E
En jauge de Lorenz, les équations (IX.26) et (IX.27) donnent également
V = 0,
(IX.54)
~ = ~0
A
(IX.55)
dans le vide.
On obtient dans tous les cas l’équation de d’Alembert décrivant la propagation tridimensionnelle à la
vitesse c d’une onde ψ(~r, t) non atténuée :
!
1 ∂2
∆−
ψ = 0 dans le vide,
(IX.56)
c2 ∂t2
~ ※3 .
~ B
~ et A
~ B,
~ V, A}.
~ Cette équation est également valable pour les composantes cartésiennes de E,
où ψ ∈ {E,
√
La vitesse c = 1/ ε0 µ0 des ondes électromagnétiques étant égale à la vitesse de la lumière visible, on peut
légitimement supposer que la lumière est une onde électromagnétique. Cette hypothèse a été confirmée par
de nombreuses expériences d’interaction de la lumière avec des particules chargées.
2.
Ondes planes
L’équation de d’Alembert admet notamment comme solution des ondes planes. Considérons par exemple
des ondes ψ(x, t) ne dépendant spatialement que de la coordonnée x (les plans d’onde sont donc perpendi~x ). Posons
culaires à u
u = x − c t,
(IX.57)
v = x + ct
(IX.58)
et exprimons les dérivées de ψ par rapport à x et t en fonction de celles par rapport à u et v ※4 . On a ∂u/∂x =
∂v/∂x = 1, donc
!
∂ψ
∂ψ ∂u
∂ψ ∂v
∂ψ
∂ψ
∂u ∂
∂v ∂
=
+
=
+
ψ=
+
,
(IX.59)
∂x
∂u ∂x
∂v ∂x
∂x ∂u
∂x ∂v
∂u
∂v
d’où
∂2 ψ
∂u ∂
∂v ∂
=
+
2
∂x ∂u
∂x ∂v
∂x
!
!
∂ψ
∂ψ
∂2 ψ
∂2 ψ
∂2 ψ
+
=
+
2
+
.
∂u
∂v
∂u ∂v
∂u2
∂v2
(IX.60)
De même, ∂u/∂t = −c et ∂v/∂t = c, donc
∂ψ
∂ψ ∂u
∂ψ ∂v
∂ψ
∂ψ
=
+
= −c
+c
,
∂t
∂u ∂t
∂v ∂t
∂u
∂v
3.
4.
(IX.61)
~ρ + ∆ fφ u
~ φ + ∆ fz u
~z . Idem pour les composantes
Attention, ce n’est pas vrai pour les composantes cylindriques car ∆ ~f , ∆ fρ u
sphériques.
Plus rigoureusement, il faudrait distinguer la fonction (x, t) 7→ ψ(x, t) de la fonction (u, v) 7→ ψ(x[u, v],t[u, v]).
84
Michel Fioc
d’où
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
∂2 ψ
∂v ∂
∂u ∂
+
=
∂t ∂u
∂t ∂v
∂t2
!
UPMC, 2016/2017
!
2
2
∂ψ
∂ψ
∂2 ψ
2 ∂ ψ
2 ∂ ψ
−c
+c
= c2
+
c
−
2
c
.
∂u
∂v
∂u ∂v
∂u2
∂v2
(IX.62)
On obtient donc
∂2 ψ
∂2 ψ
1 ∂2 ψ
−
=
4
= 0.
∂u ∂v
∂x2
c2 ∂t2
En intégrant ∂2 ψ/(∂u ∂v) par rapport à u, on obtient que ∂ψ/∂v ne dépend pas de u, soit
ψ =
∂ψ
= g(v).
∂v
En intégrant ∂ψ/∂v par rapport à v, on obtient que
ψ(x, t) = F(u) + G(v) = F(x − c t) + G(x + c t),
Rv
(IX.63)
(IX.64)
(IX.65)
où G(v) =
g(v ) dv .
Les solutions F(u) et G(v) correspondent à des ondes planes progressives : F(u) = F(x − c t), à une onde
progressant à la vitesse c vers les x croissants ; G(v) = G(x + c t), à une onde progressant à la même vitesse (en
valeur absolue) vers les x décroissants.
Plus généralement, pour une onde plane se propageant dans la direction indiquée par le vecteur unitaire
~n,
ψ(~r, t) = F(~n · ~r − c t) + G(~n · ~r + c t),
(IX.66)
0
0
où F correspond à une onde progressive se propageant selon +~n et G à une onde progressive se propageant
selon −~n.
a.
Ondes planes progressives (OPP)
~ = 0.
Intéressons-nous au cas où ψ est le champ électrique ou le champ magnétique. On a toujours div B
~ = 0 puisqu’on est dans le vide. Pour une onde plane progressive vers les x croissants,
Par ailleurs, div E
~
~
~
c.-à-d. E = E(x, t) = E(u),
∂E y
∂Ez
∂Ex
~ = ∂Ex +
+
=
= 0.
(IX.67)
div E
∂x
∂y
∂z
∂x
Ex ne dépend donc pas de x, ni non plus de t puisque Ex est fonction de u = x − c t seulement. Dans ce qui
~ et B
~ l’éventuel terme constant par rapport à t et ne conservons que le terme non
suit, nous retranchons à E
stationnaire. On a donc Ex = 0. On obtient le même résultat pour une onde progressant vers les x décroissants,
~ dans les deux sens.
ainsi que pour le champ B
Pour une onde plane progressive vers les x croissants,
~
∂E y
∂B y
∂Ez
∂B
∂Bz
−→ ~
~y +
~z = −
~y −
~z
rot E = −
u
u
=−
u
u
∂x
∂x
∂t
∂t
∂t
d’après l’équation de Maxwell-Faraday. Or ∂/∂x = ∂/∂u et ∂/∂t = −c ∂/∂u, donc
∂B y
∂Ez
= −c
∂u
∂u
et
∂E y
∂u
=c
∂Bz
.
∂u
(IX.68)
(IX.69)
(IX.70)
~ et B,
~ on obtient
En intégrant, puisqu’un éventuel constant a déjà été retranché à E
et
soit
et
Ez = −c B y
(IX.71)
E y = c Bz ,
(IX.72)
~ = −c u
~
~x × B
E
(IX.73)
~= 1 u
~
~x × E.
B
c
(IX.74)
~ et B
~ d’une onde plane progressive n’ont donc pas de composante (variable) dans la direction
Les champs E
~ et B
~ sont normaux
de propagation ~n : les ondes électromagnétiques sont transverses, c.-à-d. que les champs E
à ~n.
85
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Pour une onde plane progressive selon +~n, ils obéissent aux relations
et
~ = −c ~n × B
~
E
(IX.75)
~ = 1 ~n × E.
~
B
c
(IX.76)
~ et B
~ forment donc un trièdre direct et
Les vecteurs ~n, E
~ = c kBk.
~
kEk
(IX.77)
L’intensité lumineuse d’une onde est définie comme la moyenne temporelle de la densité de flux d’énergie
électromagnétique —c.-à-d. du vecteur de Poynting— projetée sur la direction de propagation :
Ilum = hΠi.
(IX.78)
2
~ ~
~ = E × B = E ~n,
Π
µ0
µ0 c
(IX.79)
Pour une onde plane progressive selon +~n,
donc
Ilum =
hE2 i
= ε0 c hE2 i.
µ0 c
(IX.80)
La densité d’énergie du champ associé à l’onde est
uEM =
B2
B2
ε0 E2
+
= ε0 E2 =
.
2
2 µ0
µ0
(IX.81)
~ qui vaut
On vérifie que, pendant une durée dt, l’énergie de l’onde traversant une surface d̄S,
~ dt,
~ · d̄S
Π
est égale à l’énergie présente dans le volume
~ · c dt ~n,
d̄τ = d̄S
(IX.82)
c.-à-d.
uEM d̄τ.
~ pendant
Cela signifie que cette énergie se propage bien à la vitesse c ~n de l’onde et a traversé la surface d̄S
dt.
b.
Ondes planes progressives monochromatiques (OPPM)
Parmi les solutions de l’équation de d’Alembert en ondes planes progressives selon ±~
ux , les ondes monochromatiques présentent un intérêt particulier. La forme d’une OPPM est
ψ(x, t) = A cos(ω t − k x + φ),
(IX.83)
où
ω > 0 est la pulsation (en rad · s−1 ) ;
|k| est le nombre d’onde (en rad · m−1 ) : k = +|k| si l’onde se propage selon +~
ux et k = −|k| si c’est selon
−~
ux ;
I A est l’amplitude ;
I ω t − k x + φ est la phase de l’onde et φ est la phase à l’origine ※5 .
~ soit le potentiel V.
~ B
~ ou A,
La fonction ψ est ici scalaire et représente soit une composante cartésienne de E,
Injectons cette solution dans l’équation de d’Alembert. On obtient
!
∂2 ψ
ω2
1 ∂2 ψ
2
−
=
A
cos(ω
t
−
k
x
+
φ)
−k
+
= 0.
(IX.84)
∂x2
c2 ∂t2
c2
I
I
Cette relation devant être vérifiée pour tout x et tout t, on doit avoir la relation de dispersion
ω
|k| =
.
(IX.85)
c
ψ peut être réécrit en fonction de la longueur d’onde λ (c.-à-d. la période spatiale) et de la fréquence ν ou
5.
φ est parfois appelée le déphasage, voire la « phase » tout court, mais il vaut mieux réserver cette dénomination pour ω t − k x + φ.
86
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
de la période (temporelle) T = 1/ν. On a
|k| =
2π
λ
※6
et ω = 2 π ν =
2π
.
T
(IX.86)
En raison de la linéarité de l’équation de d’Alembert, toute onde plane progressive selon +~
ux peut s’écrire
comme une superposition d’ondes planes monochromatiques :
Z ∞
A(ω) cos(ω [t − x/c] + φ[ω]) dω.
(IX.87)
ψ(x, t) =
ω=0
Pour une onde périodique de période T = 2 π/ω, cette transformée de Fourier se réduit à une série de Fourier :
ψ(x, t) =
∞
X
An cos(n ω (t − x/c) + φn ).
(IX.88)
n=0
Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant dans la direction et le sens indiqués
par un vecteur unitaire ~n,
ψ(~r, t) = A cos(ω t − ~k · ~r + φ),
(IX.89)
où
~k = ω ~n
c
(IX.90)
est le vecteur d’onde et k~kk = 2 π/λ. On appelle vitesse de phase la vitesse vφ à laquelle la phase ω t − ~k · ~r + φ
se propage. On a
ω
.
(IX.91)
vφ (ω) =
k~k(ω)k
Dans le vide, vφ est indépendante de ω et vaut c.
La vitesse de groupe est quant à elle définie par
vg (ω) =
dω
.
d k~k[ω]k
(IX.92)
Dans le vide, elle vaut également c, mais hors de celui-ci, on a généralement vφ , vg .
c.
Notation complexe
Pour étudier les ondes monochromatiques, il est commode d’utiliser la notation complexe, déjà vue en
électrocinétique pour décrire l’aspect temporel. Posons ※7
~
ψ(~r, t) = A ei (ω t−k·~r+φ) .
(IX.93)
L’onde ψ se propageant selon ~n = ~k/k~kk est reliée à ψ par
ψ = Re ψ.
(IX.94)
On peut réécrire ψ sous la forme ※8
~
ψ(~r, t) = A ei (ω t−k·~r) ,
(IX.95)
A = A ei φ .
(IX.96)
avec
La dérivée première de ψ par rapport à t est
∂ψ
∂t
et la dérivée seconde vaut
∂2 ψ
∂t2
6.
7.
8.
= iωψ
(IX.97)
= −ω2 ψ
(IX.98)
Attention, on définit parfois le nombre d’onde(s) comme 1/λ.
~
On peut tout aussi bien poser ψ(~r, t) = A ei (k·~r−ω t+φ) . Les facteurs i ω et i ~k ci-dessous doivent alors être remplacés par leur opposé.
~ en remplaçant A par un vecteur de composantes cartésiennes
~ B
~ et A
Cette expression est également applicable aux vecteurs E,
(Ax ei φx , A y ei φ y , Az ei φz ).
87
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
De même, la dérivée par rapport à x est
∂ψ
∂(~k · ~r )
(IX.99)
ψ = −i kx ψ.
∂x
∂x
Plus généralement, si ψ est une onde scalaire ou l’une des composantes cartésiennes d’une onde vectorielle,
= −i
−−−→
grad ψ = −i ~k ψ.
(IX.100)
~ = −i ~k · ψ
~
div ψ
(IX.101)
−→ ~
~
rot ψ = −i ~k × ψ.
(IX.102)
~
Pour une onde vectorielle ψ,
et
Que la fonction soit scalaire ou vectorielle, son laplacien est donné par
∆ψ = −k2 ψ.
(IX.103)
Un des intérêts de la notation complexe est que, lorsqu’on se restreint à des combinaisons linéaires de dérivées
~
de ψ, le facteur ei (ω t−k·~r) apparaît dans tous les termes et peut donc être simplifié.
La superposition de plusieurs ondes de même pulsation et même vecteur d’onde,
ψi (~r, t) = Ai cos(ω t − ~k · ~r + φi ),
est une onde ψ dont la représentation complexe est donnée par (IX.95) avec
X
Ai .
A=
(IX.104)
(IX.105)
i
L’intensité lumineuse de cette superposition est facile à calculer en notation complexe. En effet,
Z T
A A∗
|A|2
1
2
2
hψ i =
ψ (~r, t) dt =
=
.
2
2
T t=0
(IX.106)
Si A est l’amplitude complexe du champ électrique,
ε0 c |A|2
Ilum = ε0 c hE2 i =
.
(IX.107)
2
P
Si φi a la même valeur pour toutes les ondes, Ilum = i Ilum, i . Sinon, des termes d’interférence apparaissent.
d.
Polarisation d’une OPPM
Considérons une OPPM se propageant selon +~
ux . On a alors


Ex = 0,




E

y = A y cos(ω t − k x + φ y ),



 Ez = Az cos(ω t − k x + φz ).
En posant
φ0 = φ y − φz ,
(IX.108)
(IX.109)
on obtient
Ez
= cos(ω t − k x + φ y − φ0 ) = cos(ω t − k x + φ y ) cos φ0 + sin(ω t − k x + φ y ) sin φ0 ,
Az
d’où
Par ailleurs,
Ey
Ez
−
cos φ0 = sin(ω t − k x + φ y ) sin φ0 .
Az
Ay
Ey
Ay
sin φ0 = cos(ω t − k x + φ y ) sin φ0 .
En faisant la somme des carrés des deux dernières équations, on obtient
!
E y 2 Ez 2
E y Ez
+
−2
cos φ0 = sin2 φ0 .
Ay
Az
A y Az
88
(IX.110)
(IX.111)
(IX.112)
(IX.113)
Michel Fioc
i.
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Polarisation rectiligne
Si φ0 ∈ {0, π} (modulo 2 π), alors sin φ0 = 0 et cos φ0 = ±1 C s, donc
!
!2
E y 2 Ez 2
E y Ez
Ey
Ez
+
− 2s
=
−s
= 0,
Ay
Az
A y Az
Ay
Az
soit la relation linéaire
Ez =
s Az
Ey .
Ay
(IX.114)
(IX.115)
~ oscille donc dans le plan (~
~0 ), où u
~0 fait un angle (orienté par rapport à u
~x )
Le vecteur E
ux , u
θ = arctan
s Az
Ay
(IX.116)
~ ※9 est rectiligne selon u
~ y . On dit que la polarisation de E
~0 .
avec u
ii.
Polarisation elliptique
Si φ0 < {0, π} (modulo 2 π), on reconnaît (?) dans (IX.113) l’équation d’une ellipse. En effet, l’équation
~Y et u
~Z est
d’une ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b 6 a selon des vecteurs orthogonaux u
Z2
Y2
+
= 1.
(IX.117)
a2
b2
~Y et u
~Z sont les images de u
~ y et u
~z par une rotation d’axe u
~x et d’angle θ ∈ ]−π/2, π/2]
Si les vecteurs unitaires u
~
~Z ) (c.-à-d. Y u
~Y + Z u
~Z = E y u
~ y + Ez u
~z ),
et que Y et Z sont les composantes de E dans (~
uY , u
" # "
#t " # "
#
Y
cos θ −sin θ E y
cos θ E y + sin θ Ez
=
=
,
(IX.118)
Z
sin θ cos θ
Ez
−sin θ E y + cos θ Ez
où « t » désigne la transposée de la matrice. On obtient donc
!
!
2
2
sin2 θ
cos2 θ
1
1
2 cos θ
2 sin θ
Ey
+
+
E
+
−
2
E
E
sin
θ
cos
θ
−
= 1.
y
z
z
a2
b2
a2
b2
b2
a2
(IX.119)
En identifiant les termes dans (IX.113) et (IX.119), on obtient
sin2 θ
1
cos2 θ
+
= 2
,
2
2
a
b
A y sin2 φ0
(IX.120)
sin2 θ
cos2 θ
1
+
= 2
,
2
2
a
b
Az sin2 φ0
cos φ0
1
1
.
sin θ cos θ 2 − 2 =
b
a
A y Az sin2 φ0
(IX.121)
(IX.122)
La polarisation est dite elliptique. Le cas de la polarisation rectiligne correspond à une ellipse dégénérée :
~y.
le demi-petit axe est nul et l’ellipse se réduit à un segment de longueur 2 a faisant un angle θ avec u
Cherchons les caractéristiques de cette ellipse. En ajoutant (IX.120) et (IX.121), on a


 1

1
1
1
1
+ 2 =  2 + 2 
B α.
(IX.123)
2
a
b
Ay
Az sin2 φ0
La différence (IX.121) − (IX.120) donne
1
1
cos(2 θ) 2 − 2
b
a

 1
1
=  2 − 2
Az
Ay




1
sin2 φ0
B β.
(IX.124)
L’équation (IX.122) peut être réécrite
sin(2 θ)
1
1
− 2
b2
a
=
2 cos φ0
A y Az sin2 φ0
B γ.
(IX.125)
La combinaison (IX.124)2 + (IX.125)2 donne
1
1
− 2 =
2
b
a
9.
q
β2 + γ2
~ fait un angle (orienté par rapport à u
~
~x ) de π/2 avec E.
Rappelons que B
89
(IX.126)
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
(la solution négative est exclue car b 6 a), d’où, en faisant la somme et la différence de (IX.123) et (IX.126),
s
2
a=
,
(IX.127)
p
α − β2 + γ2
s
2
b=
.
(IX.128)
p
α + β2 + γ2
L’ellipse est un cercle si β = γ = 0, c.-à-d. si A y = Az et φ0 = ±π/2 (modulo π) ; la polarisation est alors
qualifiée plus spécifiquement de circulaire.
Les équations (IX.124) et (IX.125) permettent de déterminer θ. On peut écrire que
θ=
γ
1
arctan
2
β
(modulo π/2)
(IX.129)
et ne retenir que la solution dans ]−π/2, π/2] qui soit du signe de γ (les signes de sin(2 θ) et γ sont identiques
d’après (IX.125)). On peut aussi écrire directement que ※10
γ
.
(IX.130)
θ = arctan
p
β + β2 + γ2
~
Sens de rotation de E
iii.
~ décrit au cours du temps une ellipse
La polarisation est dite gauche si, en un point donné, l’extrémité de E
~ tourne dans le sens
dans le sens trigonométrique quand on regarde l’onde de face. Elle est dite droite si E
~ × dE/dt.
~
horaire. Pour déterminer le sens de la polarisation, on peut calculer le vecteur E
Si celui-ci est selon
+~
ux , la polarisation est gauche. S’il est selon −~
ux , elle est droite.

 

0
0

 

~
d
E




~×
E
= A y cos(ω t − k x + φ y ) × −ω A y sin(ω t − k x + φ y )

 

dt
Az cos(ω t − k x + φz )
−ω Az sin(ω t − k x + φz )
= −ω A y Az (cos[ω t − k x + φ y ] sin[ω t − k x + φz ]
~x
− sin[ω t − k x + φ y ] cos[ω t − k x + φz ]) u
~x = ω A y Az sin φ0 u
~x .
= −ω A y Az sin(φz − φ y ) u
(IX.131)
La polarisation est donc elliptique droite si φ0 ∈ ]−π, 0[ et gauche si φ0 ∈ ]0, π[.
3.
Ondes sphériques
Une autre solution intéressante de l’équation de d’Alembert est constituée par les ondes sphériques.
Celles-ci correspondent notamment à l’émission isotrope par une source ponctuelle. Le champ électromagnétique ne dépend alors plus que de la distance r à la position O de la source. En coordonnées sphériques,
∆ψ(r, t) =
1 ∂(r2 ∂ψ/∂r)
∂r
r2
(IX.132)
en raison de l’isotropie. On a donc
Or
donc
10.
1 ∂(r2 ∂ψ/∂r)
1 ∂2 ψ
−
= 0.
∂r
r2
c2 ∂t2
(IX.133)
∂2 ψ
1 ∂(r2 ∂ψ/∂r)
2 ∂ψ
1 ∂2 (r ψ)
=
+
=
,
2
2
r ∂r
r
∂r
r
∂r
∂r2
(IX.134)
∂2 (r ψ)
1 ∂2 (r ψ)
−
= 0.
∂r2
c2
∂t2
(IX.135)
De manière générale, si ρ cos φ = A et ρ sin φ = B, avec ρ > 0 et φ ∈ ]−π, π], alors ρ =
√
ρ + ρ cos φ = 2 ρ cos2 (φ/2) = A + A2 + B2 .
√
A2 + B2 et
Par ailleurs, B = 2 ρ cos(φ/2) sin(φ/2), donc, si (A, B) , (0, 0), on a
φ
B
= arctan
.
√
2
A + A 2 + B2
La solution modulo π n’est pas à considérer car φ/2 est nécessairement dans l’intervalle ]−π/2, π/2] = arctan(R ∪ {+∞}). On applique
ici cette méthode avec A = β, B = γ et φ = 2 θ.
90
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
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La fonction r ψ(~r, t) obéit à la même équation qu’une onde plane, donc
1
(F[r − c t] + G[r + c t]).
(IX.136)
r
Le premier terme est une onde divergente émise par la source située en O. Le deuxième terme est une onde
convergeant vers O. Il est généralement nul, sauf si la source est entourée par un miroir sphérique qui renvoie
vers elle la lumière qu’elle a émise.
À grande distance de la source, l’onde sphérique peut être assimilée à une onde plane.
ψ(~r, t) =
91