Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric

Ondes Électromagnétiques
Auteur du document : Eric Bachard
Exercice 1
Une onde électromagnétique se propage dans le vide. Son champ magnétique est donné en fonction
du temps t et de la position dans une repère cartésien ( O, x, y z) par la formule:

B=
E0
1
3
cos t− k⋅x− k⋅y 
uz
c
2
2
Dans cette expression, E 0 ,  et q sont des constantes, et c représente la vitesse de la lumière.
Déterminer la direction, le sens de propagation de l'onde, ainsi que le vecteur d'onde correspondant.
Cette onde est-elle plane ? Que vaut k ?
Déterminer le type de polarisation ?
Déterminer le champ électrique associé à cette onde ainsi que le vecteur de Poynting.
Exercice 2
On rappelle les 4 équations de Maxwell (on utilise les notations du cours)

0

(2) div B=0
∂
B
(3) rot 
E=−
∂t
E=
(1) div 
(4) rot 
B= 0  j 0
Équation de Maxwell Gauss

B est à flux conservatif
∂
E

∂t
Partie 1
Étude d'une onde plane harmonique parfaite :
On considère une onde électromagnétique plane dans le vide pour laquelle le champ
électromagnétique s'écrit dans un repère cartésien orthonormé classique :
y
y
y

E=
E 0x cost −  ux
E 0y cost − 
u y 
E 0z cos t −  
uz
c
c
c
y
y
y

B=
B0x cost− 
u x 
B 0y cost − 
u y 
B 0z cos t − 
uz
c
c
c
Expressions dans lesquelles  , c E 0x , E 0y , E 0z , B0x , B0y , B0z sont des constantes.
1) Que deviennent les équations de Maxwell dans le vide (donc en l'absence de courants et de
charges) ?
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(1)
div 
E=0
Équation de Maxwell Gauss
(2)
div 
B=0

B est à flux conservatif
(3)
rot 
E=−
(4)
∂
B
∂t
∂
E
rot 
B= 0 0
∂t
2) Quelle est la direction et le sens de propagation de cette onde ?
y
y
On sait que k⋅
OM =
= x 
ux y 
u y z 
u z ⋅k x 
u xk y 
u yk z 
u z =
c
c

Et k = k 2x k 2y k 2z => k x =0 ; k z =0 et k y=
c
Il y a donc propagation selon Oy seulement car les composantes du vecteur d'ondes selon Ox et Oz
sont nulles
3) En utilisant l'équation (1) dans le vide, montrer que E 0y=0

E= E x ux E y 
u y E z 
uz
∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez
∂
∂
∂
E= 
∇⋅
E =
x 
u
u y 

u z ⋅ 
E =0 soit


=0
D'après la définition: div 
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂ Ex ∂ Ez
∂ Ey

y
=
=0 , il reste
=E 0y sin t − =0 cette dernière expression est
Et comme
∂x
∂z
∂y
c
c
y
vraie à tout instant t, en particulier pour sin t − ≠0 , ce qui entraine E 0y=0 .
c
4) En utilisant l'équation (2) dans le vide, montrer que B0y=0
∂ Bx ∂ By ∂ Bz
On procède de même avec div 
B =
∇⋅0 ⇔ div 
B=


=0
B=0 : div 
∂x
∂y
∂z
∂ Bx
∂ Bz
et
qui sont nuls et on a aussi une expression similaire à la question
Cette fois-ci, ce sont
∂x
∂z
∂ By

y
= B0y sin t− =0
précédente pour la 3ème composante, à savoir :
∂y
c
c
y
Cette dernière expression est vraie à tout instant t, en particulier pour sin t − ≠0 , ce qui
c
entraine comme prévu B0y =0
5) Quelle propriété fondamentale de l'onde plane les deux questions précédentes retrouvent-elles ?
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
B et 
E sont perpendiculaires à la direction de propagation => l'onde est bien transversale
6) On suppose de plus (pour simplifier) que E 0x =0 . Montrer en utilisant l'équation de Maxwell (3)
E
que B0z=0 et B0x = 0z . Quelle(s) propriété(s) fondamentale(s) de l'onde plane retrouve-t-on ?
c
y
B0x cos t − 
0
c
0
B=
Comme E 0x =0 , cela entraîne : 
et 
.
E=
0
y
E 0z cos t− 
y
B0z cos t− 
c
c




∣ ∣∣ ∣
∂ Ez
∂
∂Ez
0
∂y
∂x
∂y
∂
B
E= ∂ ∧ 0 = − ∂ E z = 0
Si maintenant on calcule rot 
E=−
, on constate que rot 
∂y
∂t
∂x
∂
Ez
0
∂z
0
∂
B
n'aura qu'une seule composante non nulle ( car E z ne dépend pas a x), alors que −
en aura 2.
∂t

y
∂Ez
⋅B0x sin t − 
c
c
∂y
E
∂
B
En effet, −
Cela signifie que B0z=0 et . B0x = 0z
=
= 0
0
c
∂t

y
⋅B sin t− 
0
c 0z
c
∥
E∥
B∥=
E⊥
B et ∥
Conclusion : on retrouve bien 
.
c
∣
∣
7) Quel est le type de polarisation de l'onde ?
La direction de 
E est constante dans le temps, de même que la direction de propagation. Donc c'est
la même chose pour le plan de polarisation.
Conclusion: l'onde est polarisée rectilignement
8) Déterminer le vecteur de Poynting de l'onde ainsi décrite
On applique la définition :
2

E ∧
B E 0z
y
2

=
=
cos t − 
uy
0
0 c
c
Fin du corrigé
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