Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric

Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric Bachard
Exercice 1
Une onde électromagnétique se propage dans le vide. Son champ magnétique est donné en fonction
du temps t et de la position dans une repère cartésien ( O, x, y z) par la formule:
B=E0
ccos t−
3
2k⋅x−1 2k⋅y
uz
Dans cette expression,
E0
,
et q sont des constantes, et c représente la vitesse de la lumière.
Déterminer la direction, le sens de propagation de l'onde, ainsi que le vecteur d'onde correspondant.
Cette onde est-elle plane ? Que vaut k ?
Déterminer le type de polarisation ?
Déterminer le champ électrique associé à cette onde ainsi que le vecteur de Poynting.
Exercice 2
On rappelle les 4 équations de Maxwell (on utilise les notations du cours)
(1)
div E=
0
Équation de Maxwell Gauss
(2)
div B=0
B
est à flux conservatif
(3)
rot E=− ∂
B
∂t
(4)
rot B=0 j0
∂ E
∂t
Partie 1
Étude d'une onde plane harmonique parfaite :
On considère une onde électromagnétique plane dans le vide pour laquelle le champ
électromagnétique s'écrit dans un repère cartésien orthonormé classique :
E= E0x cost−y
c
ux E0y cost−y
c
uy E0z cost−y
c
uz
B= B0x cost−y
c
ux B0y cost−y
c
uy B0z cost−y
c
uz
Expressions dans lesquelles
, c
E0x
,
E0y
,
E0z
,
B0x
,
B0y
,
B0z
sont des constantes.
1) Que deviennent les équations de Maxwell dans le vide (donc en l'absence de courants et de
charges) ?
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(1)
div E=0
Équation de Maxwell Gauss
(2)
div B=0
B
est à flux conservatif
(3)
rot E=− ∂
B
∂t
(4)
rot B=00
∂ E
∂t
2) Quelle est la direction et le sens de propagation de cette onde ?
On sait que
k⋅ OM =y
c= x
uxy uyz uz⋅kx uxky uykz uz=y
c
Et
k= kx
2ky 2kz 2
=>
kx=0;kz=0 et ky=
c
Il y a donc propagation selon Oy seulement car les composantes du vecteur d'ondes selon Ox et Oz
sont nulles
3) En utilisant l'équation (1) dans le vide, montrer que
E0y=0
E=Ex uxEy uyEz uz
D'après la définition:
div E= ∇⋅ E= ∂
∂x
ux∂
∂y
uy∂
∂z
uz⋅ E=0
soit
∂Ex
∂x∂Ey ∂y∂Ez ∂z=0
Et comme
∂Ex
∂x=∂Ez ∂z=0
, il reste
∂Ey
∂y=E0y csin t−y c=0
cette dernière expression est
vraie à tout instant t, en particulier pour
sin t−y
c≠0
, ce qui entraine
E0y=0
.
4) En utilisant l'équation (2) dans le vide, montrer que
B0y=0
On procède de même avec
div B=0
:
div B= ∇⋅ 0⇔div B=∂Bx
∂x∂By ∂y∂Bz ∂z=0
Cette fois-ci, ce sont
∂Bx
∂x et ∂Bz ∂zqui sont nuls
et on a aussi une expression similaire à la question
précédente pour la 3ème composante, à savoir :
∂By
∂y=B0y csin t−y c=0
Cette dernière expression est vraie à tout instant t, en particulier pour
sin t−y
c≠0
, ce qui
entraine comme prévu
B0y=0
5) Quelle propriété fondamentale de l'onde plane les deux questions précédentes retrouvent-elles ?
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B et E
sont perpendiculaires à la direction de propagation => l'onde est bien transversale
6) On suppose de plus (pour simplifier) que
E0x=0
. Montrer en utilisant l'équation de Maxwell (3)
que
B0z=0
et
B0x=E0z
c
. Quelle(s) propriété(s) fondamentale(s) de l'onde plane retrouve-t-on ?
Comme
E0x=0
, cela entraîne :
E=
0
0
E0z cos t−y
c
et
B=
B0x cost−y
c
0
B0z cos t−y
c
.
Si maintenant on calcule
rot E=− ∂
B
∂t
, on constate que
rot E=
∣
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∧
∣
0
0
Ez
=
∣
∂Ez
∂y
−∂Ez
∂x
0
=
∣
∂Ez
∂y
0
0
n'aura qu'une seule composante non nulle ( car
Ez
ne dépend pas a x), alors que
−∂
B
∂t
en aura 2.
En effet,
−∂
B
∂t=
∣
c⋅B0x sin t−y c
0
c⋅B0z sin t−y c
=
∣
∂Ez
∂y
0
0
Cela signifie que
B0z=0
et .
B0x=E0z
c
Conclusion : on retrouve bien
E⊥ B
et
∥ B∥=∥
E∥
c
.
7) Quel est le type de polarisation de l'onde ?
La direction de
E
est constante dans le temps, de même que la direction de propagation. Donc c'est
la même chose pour le plan de polarisation.
Conclusion: l'onde est polarisée rectilignement
8) Déterminer le vecteur de Poynting de l'onde ainsi décrite
On applique la définition :
=
E∧ B
0
=E0z
2
0ccos2t−y c
uy
Fin du corrigé
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