ℓ α - Euler

A
B
A
B
ANGLES ORIENTÉS ET FONCTIONS CIRCULAIRES
I. LE RADIAN
Un angle peut se mesurer en degrés mais également en radians, ainsi la mesure d'un angle droit  AOB est égale à 90 en degrés
et à
2
π
ππ
π
en radians. On note  AOB = 90 ° =
2
π
ππ
πrad
. De manière générale si l'on a  AOB = x ° = y rad alors x
180 =
y
π
ππ
π
.
Propriété 1 Soient A et B deux points d'un cercle c de centre O et de rayon r.
Si  AOB = α rad alors la longueur de l'arc  AB est égale à ℓ = r α
αα
α
et l'aire du secteur angulaire hachuré est égale à α
αα
α r
2
2
.
II. MESURES D’UN ANGLE ORIENTÉ
1) Orientation du plan
Sur un cercle il existe deux sens de parcours. Orienter un cercle c’est qualifier un des sens convention usuelle
de parcours de positif ou direct , l’autre sens étant alors dit négatif ou indirect .
Orienter le plan c’est choisir sur tous les cercles du plan la même orientation. sens positif
Définition 1 On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 orienté selon la convention usuelle.
2) Angle orienté de deux vecteurs non nuls
Définition 2 On appelle angle orienté des vecteurs non nuls u et  v le couple de vecteurs (  u ,  v ).
Si  v = k  u , avec k > 0, l’angle est dit nul et si  v = k  u , avec k < 0, l’angle est dit plat . Dans les deux cas on a (  u ,  v ) = (  v ,  u ).
Dans les autres cas les angles (  u ,  v ) et (  v ,  u ) sont différents. Ils sont dits opposés .
représentation On commence par prendre deux représentants de même origine des vecteurs u et  v.
Posons u =  OA et  v =  OB , on a alors (  u ,  v ) = (  OA ,  OB ) .
On trace une flèche « courbe » allant de [OA) vers [OB). O
On utilise de préférence la « petite flèche ».
3) Mesures d’un angle orienté de vecteurs non nuls
Définition 3 Une unité d’angles est choisie (radians ou degrés).
La mesure principale de l’angle orienté (  u ,  v ) = (  OA ,  OB ) est égale à la mesure de l’angle géométrique  AOB lorsque
la « petite flèche » tourne dans le sens positif, et à – AOB quand la « petite flèche » tourne dans le sens négatif.
On convient que la mesure principale d’un angle plat est π en radians et 180 en degrés.
La valeur absolue de la mesure principale est égale à la mesure de l’angle géométrique associé.
Définition 4 Soit α la mesure principale en radians de l’angle orienté (  u ,  v ).
Les mesure en radians de l’angle orienté (  u ,  v ) sont tous les réels α + 2 k π , avec k entier relatif.
méthode Pour savoir si les réels a et b sont deux mesures en radians d’un même angle orienté on regarde si a – b (ou b – a) est
un multiple de 2π, autrement dit, on regarde s’il existe un entier relatif k tel que : a – b = 2kπ (a – b = 360 k en degrés).
Propriété 2 La mesure principale en radians d’un angle orienté est l’unique mesure qui appartient à l’intervalle ] – π ; π ].
1/5
ℓ
α
αα
α
O
A
B

A
B
A'
B'
C
CC
C
A
B
A'
B'
u
→
v
→
u
→
v
→
-
-
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
v
→
u
→
-
u
→
v
→
u
→
• Notations Par abus on confond un angle orienté et une de ses mesures, qu’elle soit en radians ou en degrés.
Ainsi en radians, pour un angle droit indirect (  u ,  v ) on notera : (  u ,  v ) = – π
2 + 2kπ , k ∈ Z ou ( 
u ,  v ) = 3 π
2 + 2kπ , k ∈ Z
On peut également noter : (  u ,  v ) = – π
2 [2π] ou ( 
u ,  v ) = 3 π
2 [2π]
On lit : « l’angle orienté u, v a pour mesure – π sur 2 modulo 2π » ou « u, v est égal à – π sur 2 modulo 2π ».
On comprend alors que – π/2 est une mesure en radians de l’angle orienté (  u ,  v ) et que toutes les autres mesures s’obtiennent
en ajoutant 2kπ, avec k ∈ Z .
En degrés on écrirait : (  u ,  v ) = – 90 + 360 k, k ∈ Z ou (  u ,  v ) = – 90 [360] ou (  u ,  v ) = 270 [360]
• Lien avec le cercle trigonométrique
Soit l’angle orienté (  u ,  v ) = (  OA ,  OB ) .
Le cercle trigonométrique c coupe la demi-droite [OA) en A’ et la demi-droite [OB) en B’.
La valeur absolue d’une mesure en radians de l’angle orienté est égale à la longueur
d’un déplacement sur c pour aller de A’ à B’.
La mesure est positive lorsque le déplacement s’effectue dans le sens positif et négative
lorsqu’il s’effectue dans le sens négatif.
O
La mesure principale correspond au trajet le plus court (π pour l’angle plat par convention).
III. PROPRIÉTES DES ANGLES ORIENTÉS
Propriété 3 (Relation de Chasles) (  u ,  w ) = (  u ,  v ) + (  v ,  w ) + 2kπ ( k ∈ Z) .
Égalité d’angles ou de mesures
Sur la figure on a : (  u ,  w ) = 3π
4 + π 2 [2π] , soit ( 
u ,  w ) = 5π
4 [2π] ( 5π 4 – 2π = – 3π 4 )
Propriété 4 (Angles opposés) (  v ,  u ) = – (  u ,  v ) + 2kπ ( k ∈ Z) . Si ( 
u ,  v ) = π
6 [2π] alors ( 
v ,  u ) = – π
6 [2π]
Propriété 5 (Égalités remarquables) Soient α et β deux réels non nuls.
Si
α
et
β
sont de même signe, alors
(α  u , β v ) = ( u , v ) + 2kπ ( k ∈ Z) .
(–  u , – v ) = ( u , v ) [2π]
( BA , CA ) = (  AB ,  AC )
Si
α
et
β
sont de signes contraires, alors
(α  u , β v ) = ( u , v ) + π + 2kπ ( k ∈ Z) .
(– u , v ) = ( u , v ) + π [2π] ( u , – v ) = ( u , v ) + π [2π]
( BA , AC ) = ( AB , AC ) + π [2π] ( AB , CA ) = ( AB , AC ) + π [2π]
ici ( u , v ) = π
4 [2π]
et (– u , v ) =
π
4 + π [2π]
ou (– u , v ) =
– 3 π
4 [2π]
Propriété 6 (alignement) Trois points distincts A, B et C sont alignés si, et seulement si,
(  AB ,  AC ) = 0 [2π] ou (  AB ,  AC ) = π [2π] ,
soit (  AB ,  AC ) = 0 [π]
Propriété 7 (parallélisme) (AB) // (CD) ⇔ (  AB ,  CD ) = 0 [2π] ou (  AB ,  CD ) = π [2π]
soit (AB) // (CD) ⇔ (  AB ,  CD ) = π [π]
Propriété 8 (orthogonalité) (AB) ⊥ (CD) ⇔ (  AB ,  CD ) = [2π] ou (  AB ,  CD ) = [2π]
(AB) ⊥ (CD) ⇔ (  AB ,  CD ) = [2π]
2/5
u
→
v
→
w
→
u
→
v
→
w
→

IO
B
A
MI O
B
A
M
M
I
J
T
0 1
1
x
y
M
I
J
T
c
Propriété 9 (Effet des transformations) Les rotations et les translations
conservent les angles orientés, par contre une réflexion d’axe d
transforme un angle orienté en son opposé..
Propriété 10 (triangles)
En radians, la somme des mesures des angles orientés d’un triangle est égale à π modulo 2π.
Pour un triangle ABC direct on a : (  AB ,  AC ) + (  BC,  BA ) + (  CA ,  CB ) = π [2π]
Propriété 11 (bissectrice) Soit (OI) la bissectrice de l’angle géométrique  AOB .
Pour tout point M (M ≠ O) on a : M ∈ (OI) ⇔ (  OA ,  OM ) = (  OM ,  OB ) [2π]
⇔ (  OA ,  OB ) = 2 (  OA ,  OM ) [2π]
⇔ (  OA ,  OB ) = 2 (  OM ,  OB ) [2π]
⇔ (  OM ,  OB ) = 1
2 ( 
OA ,  OB ) [π
ππ
π]
π/6
Rappel : La bissectrice (OI) de l’angle géométrique  AOB est l’axe de la réflexion S qui transforme [OA) en [OB).
Propriété 12 (Angle inscrit) Pour tout angle  AMB inscrit dans le cercle c
de centre O on a (  OA ,  OB ) = 2 (  MA ,  MB ) [2π].
IV. COSINUS, SINUS ET TANGENTE D’UN NOMBRE RÉEL
Définition 5 Soit (O ;  OI ,  OJ ) un repère orthonormal direct et c un cercle trigonométrique de centre O.
Soit α un réel, et M l’unique point de c tel que (  OI ,  OM ) = α (2π) .
• L’abscisse du point M est le cosinus du réel α, noté cos α .
C’est également le cosinus de l’angle orienté (  OI ,  OM ).
• L’ordonnée du point M est le sinus du réel α, noté sin α .
C’est également le sinus de l’angle orienté (  OI ,  OM ).
• Si α ≠ π
2 + kπ , avec k ∈  (cos α ≠ 0) , tan α =
α
α
cos
sin
.
tan α est l’ordonnée du point T , le point d’intersection de (OM) et
de la parallèle à (OJ) passant par I.
cos α
αα
α
α
αα
α
sin α
αα
α
tan α
αα
α
OM = cos α
αα
α  i + sin α
αα
α  j
x
M
= cos α
αα
α et y
M
= sin α
αα
α
y
T
= tan α
αα
α
Attention : Ne pas confondre le réel x et l’abscisse de M : x
M
= cos x .
Propriété 13 Pour tout réel x : 1 – 1 £ cos x £ 1 ; 2 – 1 £ sin x £ 1 ; 3 cos
2
x + sin
2
x = 1 cos
2
x = (cos x)
2
• valeurs remarquables Soit a la mesure principale en radians d’un angle orienté et b sa mesure en degrés dans [0 ; 360].
b 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330
a 0 π
6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π – 5π 6 – 3π 4 – 3π 4 – π 2 – π 3 – π 4 – π 6
cos a 1 3
2 2 2 0,5 0 – 0,5
– 2
2
– 3
2
– 1 – 3
2 – 2 2
– 0,5 0 0,5 2
2 3 2
sin a 0 0,5 2
2 3 2 1 3 2 2 2 0,5 0 – 0,5 – 2 2
– 3
2
– 1 – 3
2
– 2
2
– 0,5
3/5
D
D D
D
A B
C
A'B'
C'
A B
C
A B
C
O
A
M
B
O
A
M
B
I

Oi
→
M
Oi
→
M
Propriété 14 (Formules trigonométriques usuelles)
 cos (x + 2kπ) = cos x et sin (x + 2kπ) = sin x , où k ∈ Z.
Les fonctions cos et sin sont périodiques, de période 2π.
 cos (– x) = cos x et sin (– x) = sin x
La fonction cos est paire. La fonction sin est impaire.
 cos (π – x) = – cos x et sin (π – x) = sin x
 cos
=
−
πx
2 sin x et sin =
−
πx
2 cos x
cos (x + π) = – cos x et sin (x + π) = – sin x
cos =
π
+2 x – sin x et sin =
π
+2 x cos x
Propriété 15 (Formules d’addition ) Pour tous réels a et b, on a :
1 sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a ; 2 cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
3 sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a ; 4 cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
Propriété 16 (Formules de duplication) Pour tout réel a, on a :
1 sin 2a = 2 sin a cos a 2 cos 2a = cos ² a – sin ² a = 2 cos ² a – 1 = 1 – 2 sin ² a
V. REPÉRAGE POLAIRE D’UN POINT DU PLAN
définition 6 Soit M un point du plan distinct de O et i un vecteur unitaire .
On appelle coordonnées polaires de M dans le repère polaire (O ; i )
tout couple de réels (r ; θ) tel que r = OM et (  i ,  OM ) = θ
θθ
θ ( 2π)
2π)2π)
2π)
rayon polaire
de M r
θ
θθ
θ angle polaire de M
pole axe polaire
On note M ( r ; θ ) ou M ( r
M
; θ
M
), où r
M
(positif) est le rayon polaire du point M et θ
M
un de ses angle polaires en radians.
Tous les couples ( r ; θ + 2kπ ), avec k ∈ , sont des coordonnées polaires de M.
Pour l’origine O du repère polaire on convient que r
O
= 0 et que θ
O
est quelconque.
propriété 17 (formules de conversion) Dans un repère orthonormé direct (O ; i , j ) ( ( i , j ) = π/2 (2π) ) , un point M
distinct de O a pour coordonnées cartésiennes (x ; y) et pour coordonnées polaires (r ; θ) dans le repère (O ; i ).
On a alors : r =
= =
= x
2
22
2
+
++
+ y
2
22
2
; x =
==
= r cos θ
θθ
θ ; y = r sin θ
θθ
θ.
On peut écrire OM = x i + y j = r cos θ i + r sin θ j .
4/5
I
J
x

VI. ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Soit a un réel donné. On cherche à résoudre les équations (1) cos t = a et (2) sin t = a.
• 1
er
cas : a ∉
∉∉
∉ [– 1 ; 1] Les équations (1) et (2) n’ont pas de solution.
• 2
e
cas : a = – 1 cos t = – 1 ⇔ t = π [2π] sin t = – 1 ⇔ t = – π
2 [2π]
• 3
e
cas : a = 1 cos t = 1 ⇔ t = 0 [2π] sin t = 1 ⇔ t = π
2 [2π]
• 4
e
cas : – 1 < a < 1
Soit α une solution de l’équation, trouvée à l’aide des valeurs remarquables des
fonctions cos et sin, ou dont on détermine une valeur approchée à l’aide des
touches cos
– 1
et sin
– 1
de la calculatrice. La valeur ainsi trouvée, en radians,
appartiennent à l’intervalle [0 ; π] pour cos
– 1
a et à [– π/2 ; π/2] pour sin
– 1
a .
cos t = a ⇔ cos t = cos α ⇔ t = α [2π]
ou
t = – α [2π]
sin t = b ⇔ sin t = sin α ⇔ t = α [2π]
ou
t = π – α [2π]
En associant à chaque solution t le point M de c tel que (  i ;  OM ) = t (2π) on peut représenter graphiquement les
solutions sur le cercle trigonométrique c.
VII. DÉRIVATION DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
propriété 18 Les fonctions cos et sin sont dérivables sur  et cos’ = – sin et sin’ = cos .
On peut en déduire les limites suivantes :
• lim
x → 0 sin x – sin 0
x = lim
x → 0 sin x
x = sin’ (0) = cos 0 = 1.
• lim
x → 0 cos x – cos 0
x = lim
x → 0 cos x – 1
x = cos’ (0) = – sin 0 = 0.
• variations sur [0 ; π ] des fonctions cos et sin
Pour déterminer les variations des fonctions cos et sin sur [0 ;
π
] on peut
étudier le signe de la dérivée ou utiliser le cercle trigonométrique.
Soit M le point du cercle trigonométrique c associé au réel x.
Quand x varie de 0 à π le point M se déplace sur le cercle c en allant
du point I au point K, en passant par le point J.
Il suffit alors d’observer l’évolution respectivement de l’abscisse et de
l’ordonnée du point M.
x 0
π
2 π
cos x 1 0 – 1
x 0
π
2 π
sin x 1
0 0
• représentation graphique
Pour tout réel x et tout entier k, cos (x + 2kπ) = cos x et sin (x + 2kπ) = sin x .
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π
ππ
π, ou encore 2π
ππ
π-périodiques.
Les courbes ont périodiquement la même allure.
À partir du tracé de la courbe sur [0 ; π] on trouve, en utilisant la parité ou l’imparité des fonctions, le tracé sur [– π ; 0].
On obtient ainsi le tracé de la courbe sur [– π ; π] , un intervalle dont l’amplitude est égale à la période 2π.
Il suffit alors de reproduire périodiquement ce tracé pour obtenir le reste de la courbe.
Ces courbes s’appellent des sinusoïdes.
propriété 19 La fonction tan est dérivable sur les intervalles ] – π
2 + 2kπ ; π
2 + 2kπ [ et tan’ (x) = 1
cos ² x = 1 + tan ² x .
5/5
α
J
I
O
a
b