Dériver une composition et une réciproque

Dériver une composition et une réciproque
Une approche math niveau 1.
Au lieu d’énoncer les hypothèses des théorèmes en question, puis de démontrer leur validité, nous
allons travailler à l’envers : chercher d’une manière aussi directe que possible le résultat, puis
énoncer les hypothèses qui ont permis de l’obtenir.
Soit deux fonction f et g. Supposons que
gfo
soit bien définie au voisinage d’un point a.
(g!f)(a+h)!(g!f)(a)
h
=
def
parg(f(a+h)) !(g(f(a))
h
=
RH1
parg(f(a+h)) !g(f(a))
f(a+h)!f(a)
"f(a+h)) !f(a)
h
Si h tend vers 0 alors pour que le membre de droite soit bien défini il faut que f soit dérivable en a.
Posons
() :fa b=
et
() ()fa h b rh+=+
où r est une fonction de h qui ‘mesure’ l’écart
()fa h b+−
.
Comme f est dérivable en a alors f es continue en a (cf. thm 0), d’où
0
lim ( ) 0
h
rh
→
=
.
Le quotient précédent peut donc s’écrire :
(( )) (()) ( ()) ()
()() ()
gfa h gfa gb rh gb
fa h fa rh
+−+−
=
+−
, qui sous la
condition que g soit dérivable en b tend h tend vers
() ( ())gb g fa
′′
=
. D’où le résultat:
Théorème 1. Si f est dérivable en a et que g est dérivable en f(a) alors
(g!f!
) (a)=! g(f(a))"f(a)
ATTENTION : la ‘preuve’ ci-dessus n’est pas rigoureuse, car le dénominateur pourrait
s’annuler! Pour contrecarrer ce défaut on peut imposer à f d’être injective au voisinage de a.
Exemple d’utilisation.
( )
33223
Si ( ) et ( ) sin( ) alors sin( ) cos( ) 3 3 cos( )fx x y gy y x y x x x
′
== = = ⋅=⋅
Supposons à présent que f soit une fonction bijective de I dans J (intervalles ouverts) de fonction
réciproque
rf
Posons comme précédemment
aI∈
,
():fa b J=∈
et déterminons
par
def
() () 1
() ()
() ()
rr
fy fb x a
fx fa
yb fx fa
xa
−−
==
−
−−
−
Si l’on veut que ce dernier quotient soit bien défini (lorsque x tend vers a) alors
f′
doit exister en
a et de surcroît
() 0fa
′≠
. Remarquons que,
lim ( )
r
yb fy a →
=
est équivalent à
rf
est continue en b.
Or, un résultat classique (non démontré) d’analyse garantit que si une fonction f est continue et
bijective sur tout un intervalle I alors sa réciproque
rf
est aussi continue. Dans ce cas alors « y
tend vers b » est équivalent à « x tend vers a » (le passage délicat). D’où le théorème :
Théorème 2. Si f est bijective sur un intervalle ouvert I dans J et dérivable en
aI∈
avec
() 0fa
′≠
alors la fonction réciproque est aussi dérivable en
:()bfa=
et
1
() ()
rfb fa
′=′
.
Exemples d’utilisation.
1) Si f(x)=xn=y, n!!* alors rf(y)=y1/n. D'où y1/n
( )
"=1
xn
( )
"=1
n#xn$1=1
n#y
1
n
%
&
'(
)
*
n$1=1
n#y
n$1
n
=1
n#y
1
n$1
( )
( )
22
111
2) Si ( ) tan( ) alors ( ) arctan( ). D'où arctan( ) 1 tan( ) 1
tan( )
r
fx x y fy y y xy
x
′
== = = = =
++
′
.

Une approche math niveau 2.1
Commençons par donner trois définitions équivalentes de « f est dérivable en a » :
1) (Cauchy, 1821) : Si
() ()
lim
xa
fx fa
xa
→
−
−
existe (
!!
) que l’on baptise alors
()fa
′
.
Posons alors
() ()
(): ()
fx fa
rx f a
xa
−′
=−
−
pour
xa≠
et
() 0ra =
. On voit que la condition 1) est
équivalente à
lim ( ) 0
xa
rx
→
=
c’est-à-dire que r est continue en a et s’annule en a. Si l’on multiplie les
deux membres de l’égalité par x–a et que l’on réarrange les termes l’on obtient :
2) (Weierstrass, 1861) f est dérivable en a et de dérivée
()fa
′
s’il existe une fonction continue
r
en a avec
() 0ra =
telle que
() () ()( ) ()( )fx fa f ax a rxx a
′
=+ −+−
.
Mettons (x–a) en évidence dans le 2e terme et posons
(): () ()xfarx ϕ
′
=−
d’où
3) (Carathéodory, 1950) f est dérivable en a et de dérivée
()fa
′
s’il existe une fonction
()x ϕ
continue en a tel que
() () ()( )fx fa xx a ϕ =+ −
pour laquelle
() : ()afa ϕ
′
=
.
Théorème 1’. Si f est dérivable en a et que g est dérivable en f(a) alors
(g!f!
) (a)=! g(f(a))"f(a)
Preuve. si f est dérivable en a et que g est dérivable en b =f(a) alors il existe
ϕ
comme ci-dessus
et un
φ
continu en b tel que
() () ()( )gy gb y y b φ =+ −
avec
() : ()bgb φ
′
=
. Comme
()yfx=
alors
par
def 3
(()) (()) ()(() ()) (()) (())()( )gfx gfa y fx fa gfa fx x x a φφϕ =+ −= + −
. La fonction
( ! !f)" #
est
continue en a et de plus
(
! !f)(a)" # (a)= ! (f(a))" # (a)=$ g(f(a))"$ f(a)
.
Théorème 2’. Si f est bijective sur un intervalle ouvert I dans J et dérivable en
aI∈
avec
() 0fa
′≠
alors la fonction réciproque rf est aussi dérivable en
:()bfa=
et
1
() ()
rfb fa
′=′
.
Preuve. On a que
() () ()( )fx fa xx a ϕ =+ −
avec
() () 0afa ϕ
′
=≠
. Posons
()fx y=
et b =f(a).
D’où
(())(() ())
rr r
yb fy fy fb ϕ −=−
que l’on écrit
1
() () ( )
(())
rr
r
fy fb y b
fy ϕ
=+ −
. Par le résultat
classique, « Si f bijective continue de I vers J alors rf est aussi bijective continue de J vers I » on
voit que
1
! !rf
est continue en b et de plus
1
! !rf(b)
=1
! (a)
=1
"
f(a)
est bien défini, puisque
() 0fa
′≠
par hypothèse.
1 Extrait de Analyse au fil de l’histoire, Hairer & Wanner, pages 235-236!