Dériver une composition et une réciproque

Dériver une composition et une réciproque
Une approche math niveau 1.
Au lieu d’énoncer les hypothèses des théorèmes en question, puis de démontrer leur validité, nous
allons travailler à l’envers : chercher d’une manière aussi directe que possible le résultat, puis
énoncer les hypothèses qui ont permis de l’obtenir.
Soit deux fonction f et g. Supposons que g o f soit bien définie au voisinage d’un point a.
(g ! f )(a + h) ! (g ! f )(a) par g( f (a + h)) ! (g( f (a)) par g( f (a + h)) ! g( f (a)) f (a + h)) ! f (a)
=
=
"
def
RH1
h
h
f (a + h) ! f (a)
h
Si h tend vers 0 alors pour que le membre de droite soit bien défini il faut que f soit dérivable en a.
Posons f (a) =: b et f (a + h) = b + r (h) où r est une fonction de h qui ‘mesure’ l’écart f (a + h) − b .
Comme f est dérivable en a alors f es continue en a (cf. thm 0), d’où lim r (h) = 0 .
h →0
g ( f (a + h)) − g ( f (a )) g (b + r (h)) − g (b)
, qui sous la
=
f (a + h) − f (a )
r (h)
condition que g soit dérivable en b tend h tend vers g ′(b) = g ′( f (a)) . D’où le résultat:
Le quotient précédent peut donc s’écrire :
Théorème 1. Si f est dérivable en a et que g est dérivable en f(a) alors (g ! f )!(a) = g !( f (a)) " f (a)
ATTENTION : la ‘preuve’ ci-dessus n’est pas rigoureuse, car le dénominateur pourrait
s’annuler! Pour contrecarrer ce défaut on peut imposer à f d’être injective au voisinage de a.
Exemple d’utilisation.
Si f ( x) = x3 = y et g ( y ) = sin( y ) alors (sin( x3 ) )′ = cos( y) ⋅ 3 x 2 = 3 x 2 ⋅ cos( x 3 )
Supposons à présent que f soit une fonction bijective de I dans J (intervalles ouverts) de fonction
réciproque r f Posons comme précédemment a ∈ I , f (a) := b ∈ J et déterminons
r
f ( y ) − r f (b) par
x−a
1
=
=
def
f
(
x
)
−
f (a)
y −b
f ( x) − f (a)
x−a
Si l’on veut que ce dernier quotient soit bien défini (lorsque x tend vers a) alors f ′ doit exister en
a et de surcroît f ′(a) ≠ 0 . Remarquons que, lim r f ( y) = a est équivalent à r f est continue en b.
y →b
Or, un résultat classique (non démontré) d’analyse garantit que si une fonction f est continue et
bijective sur tout un intervalle I alors sa réciproque r f est aussi continue. Dans ce cas alors « y
tend vers b » est équivalent à « x tend vers a » (le passage délicat). D’où le théorème :
Théorème 2. Si f est bijective sur un intervalle ouvert I dans J et dérivable en a ∈ I avec
f ′(a) ≠ 0 alors la fonction réciproque est aussi dérivable en b := f (a) et r f ′(b) =
1
.
f ′( a )
Exemples d’utilisation.
( )
1) Si f (x) = x n = y, n !! * alors r f ( y) = y1/n . D'où y1/n
"
=
1
( x )"
n
=
1
=
n # x n$1
2) Si f ( x) = tan( x) = y alors r f ( y ) = arctan( y ). D'où ( arctan( y ) )′ =
1
% 1(
n#' yn *
& )
1
( tan( x) )′
=
n$1
=
1
n# y
n$1
n
=
1 1n $1
#y
n
1
1
=
2
1 + tan( x) 1 + y 2
.
Une approche math niveau 2.1
Commençons par donner trois définitions équivalentes de « f est dérivable en a » :
f ( x) − f (a )
existe ( !! ) que l’on baptise alors f ′(a ) .
x−a
f ( x) − f (a)
Posons alors r ( x) :=
− f ′(a ) pour x ≠ a et r (a) = 0 . On voit que la condition 1) est
x−a
équivalente à lim r ( x) = 0 c’est-à-dire que r est continue en a et s’annule en a. Si l’on multiplie les
1) (Cauchy, 1821) : Si lim
x→a
x →a
deux membres de l’égalité par x–a et que l’on réarrange les termes l’on obtient :
2) (Weierstrass, 1861) f est dérivable en a et de dérivée f ′(a ) s’il existe une fonction continue r
en a avec r (a) = 0 telle que f ( x) = f (a) + f ′(a)( x − a) + r ( x)( x − a) .
Mettons (x–a) en évidence dans le 2e terme et posons ϕ ( x) := f ′(a) − r ( x) d’où
3) (Carathéodory, 1950) f est dérivable en a et de dérivée f ′(a ) s’il existe une fonction ϕ ( x)
continue en a tel que f ( x) = f (a) + ϕ ( x)( x − a) pour laquelle ϕ (a) =: f ′(a) .
Théorème 1’. Si f est dérivable en a et que g est dérivable en f(a) alors (g ! f )!(a) = g !( f (a)) " f (a)
Preuve. si f est dérivable en a et que g est dérivable en b =f(a) alors il existe ϕ comme ci-dessus
et un φ continu en b tel que g ( y) = g (b) + φ ( y)( y − b) avec φ (b) =: g ′(b) . Comme y = f ( x) alors
par
g ( f ( x)) = g ( f (a)) + φ ( y)( f ( x) − f (a)) = g ( f (a)) + φ ( f ( x))ϕ ( x)( x − a) . La fonction (! ! f ) " #
def 3
est
continue en a et de plus (! ! f )(a) "# (a) = ! ( f (a)) "# (a) = g $( f (a)) " f $(a) .
Théorème 2’. Si f est bijective sur un intervalle ouvert I dans J et dérivable en a ∈ I avec
r
f ′(a) ≠ 0 alors la fonction réciproque f est aussi dérivable en b := f (a) et r f ′(b) =
1
.
′
f (a)
Preuve. On a que f ( x) = f (a) + ϕ ( x)( x − a) avec ϕ (a) = f ′(a) ≠ 0 . Posons f ( x) = y et b =f(a).
D’où y − b = ϕ ( r f ( y))( r f ( y) − r f (b)) que l’on écrit
r
f ( y ) = r f (b) +
1
( y − b) . Par le résultat
ϕ ( f ( y ))
r
classique, « Si f bijective continue de I vers J alors rf est aussi bijective continue de J vers I » on
voit que
1
!!r f
est continue en b et de plus
1
1
1
=
=
est bien défini, puisque
! ! f (b) ! (a) f "(a)
r
f ′(a) ≠ 0 par hypothèse.
1
Extrait de Analyse au fil de l’histoire, Hairer & Wanner, pages 235-236