Connecteurs logiques « et » et « ou »

2014-2015
Logique
Connecteurs logiques « et » et « ou » - Négation
Une proposition est une affirmation qui peut être soit vraie, soit fausse.
Exemples
• « Le triangle ABC est un triangle rectangle. » est une proposition qui peut être vraie ou
fausse.
• « 2 < 3 » est une proposition vraie.
• « 2 est le carré d’un nombre entier » est une proposition fausse.
Soient P et Q deux propositions.
• P et Q signifie « l’un et l’autre à la fois ».
• P ou Q signifie « au moins l’un des deux ».
Exemple
La proposition « 4 6 5 » qui signifie « 4<5 ou 4=5 » est VRAIE.
Négation
Soit une proposition P.
La négation de P est la proposition notée « non P » qui est fausse si P est
vraie, qui est vraie si P est fausse.
Soit P et Q deux propositions.
• La négation de la proposition « P et Q » est la proposition « non P ou non Q ».
• La négation de la proposition « P ou Q » est la proposition « non P et non Q ».
Exemples
Soit x un nombre réel.
• La négation de la proposition « x > 5 » est la proposition « x 6 5 ».
• La négation de la proposition « 2 < x < 3 » (qui signifie « x > 2 et x < 3 ») est la proposition
« x 6 2 ou x > 3 ».
Ensembles : intersection - réunion - complémentaire
Intersection
Soient A et B deux ensembles.
L’intersection des ensembles A et B, notée A∩B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent
à A et à B.
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2014-2015
Logique
A
B
A∩B
Réunion
La réunion des ensembles A et B, notée A ∪ B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent
à A ou à B.
A
B
A∪B
Complémentaire
Soit un ensemble E et A un sous-ensemble de E.
←
−
Le complémentaire de A dans E, noté A , est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent
pas à A.
Soit x un élement de E.
La négation de « x ∈ A » est « x ∈ A ».
Lois de Morgan
Soit un ensemble E contenant deux sous-ensembles A et B, soit x un élément de E.
• La négation de « x ∈ A ou x ∈ B » est « x ∈ A et x ∈ B.
Ceci s’écrit : A ∪ B = A ∩ B.
• La négation de « x ∈ A et x ∈ B » est « x ∈ A ou x ∈ B.
Ceci s’écrit : A ∩ B = A ∪ B.
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