Espaces vectoriels et applications linéaires en dimension finie 1

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Espaces vectoriels et applications lin´eaires
en dimension finie
premi`eres notions
Ce document n’est pas un cours mais pr´esente seulement quelques notions `a connaˆıtre sur le sujet.
Soit (E, +,·) un Kespace vectoriel o`u Kd´esigne un corps de caract´eristique nulle.
1 Syst`emes g´en´erateurs
1.1 D´efinition
D´efinition 1
On dit que la famille S= (~u1,· · · , ~up)de pvecteurs de Eest g´en´eratrice dans Esi et seulement si
∀~u ∈E, ∃(x1,· · · , xp)∈Kp/ ~u =
p
X
k=1
xk~uk. On dit aussi que Sest un syst`eme g´en´erateur de E
1.2 Propri´et´es
•P1:S= (~u1,· · · , ~up) est une famille g´en´eratrice de Essi E=vect < ~u1,· · · , ~up>.
•P2:S= (~u1,· · · , ~up) est une famille g´en´eratrice de Essi ∀~u ∈Ele syst`eme 
p
X
k=1
αk~uk=~u
(α1,· · · , αp)∈Kp
poss`ede au moins une solution.
•P3:S= (~u1,· · · , ~up) est une famille g´en´eratrice de Essi Kp→E
(α1,· · · , αp)7→ α1~u1+· · · +αp~up
est surjec-
tive.
•P4: Toute famille de vecteurs de Equi contient une famille g´en´eratrice de Eest une famille g´en´eratrice de
E.
Si (~e1,· · · , ~ep) est une famille g´en´eratrice de Eet (~u1,· · · , ~un) est une famille de Etelle que
{~e1,· · · , ~ep} ⊂ {~u1,· · · , ~un}alors (~u1,· · · , ~un) est une famille g´en´eratrice de E.
2 Syst`emes libres
2.1 D´efinition
D´efinition 2 On dit que la famille S= (~u1,· · · , ~up)de pvecteurs de Eest libre dans Esi et seulement si
∀(x1,· · · , xp)∈Kp,
p
X
k=1
xk~uk=~ 0 =⇒x1=· · · , xp= 0. On dit aussi que Sest un syst`eme libre de E.
Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est dite li´ee.
2.2 Propri´et´es
•P1:S= (~u1,· · · , ~up) est libre si et seulement si ∀(α1,· · · , αp)∈Kp,∀(β1,· · · , βp)∈Kp,
p
X
k=1
αk~uk=
p
X
k=1
βk~uk=⇒ ∀k∈ {1,· · · , p}, αk=βk
•P2:S= (~u1,· · · , ~up) est libre si et seulement si ∀~u ∈Ele syst`eme 
p
X
k=1
αk~uk=~u
(α1,· · · , αp)∈Kp
admet au plus une solution.
•P3:S= (~u1,· · · , ~up) est libre si et seulement si Kp→E
(α1,· · · , αp)7→ α1~u1+· · · +αp~up
est injective.
•P4: Soit ~u1∈E,S= (~u1) est libre si et seulement si ~u16= 0. (~ 0) est li´e.
•P5:S= (~u1, ~u2) est li´ee si et seulement si ∃λ∈K,~u1=λ·~u2ou ~u2=λ·~u1
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•P6:S= (~u1,· · · , ~up) est li´ee si et seulement si il existe au moins un vecteur de Scombinaison lin´eaire des
autres vecteurs de S
•P7: Soit S= (~u1,· · · , ~up) une famille libre et ~u ∈E.
(~u1,· · · , ~up, ~u) est libre si et seulement si ~u /∈vect < ~u1,· · · , ~up>.
•P8: Toute famille de vecteurs extraite d’une famille libre est libre
•P9: Toute famille de vecteurs contenant une famille li´ee est li´ee.
•P10 : Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est li´ee.
3 Bases
3.1 D´efinition
D´efinition 3 On dit que la famille S= (~u1,· · · , ~up)de pvecteurs de Eest une base de Esi et seulement si Sest
libre et g´en´eratrice dans E.
Exemple 1 (~ek)1≤k≤no`u ~ek= (δi,k)1≤i≤navec δi,k = 0 pour i6=ket δk,k = 1, est une base de Kn, on l’appelle
la base canonique de Kn.
Th´eor`eme 1 Soit B= (~u1,· · · , ~un)une famille de nvecteurs de E.
Best une base de Esi et seulement si tout vecteur de Es’´ecrit de mani`ere unique comme combinaison lin´eaire de
(~u1,· · · , ~un).
∀~u ∈E, ∃!(x1,· · · , xn)∈Kn/ ~u =x1·~u1+· · · +xn·~un,(x1,· · · , xn)sont les coordonn´ees du vecteur ~u dans la
base B.
3.2 Propri´et´es
•P1:S:= (~u1,· · · , ~un) est une base de Esi et seulement si ∀~u ∈Ele syst`eme 
n
X
k=1
αk~uk=~u
(α1,· · · , αn)∈Kn
admet
exactement une solution.
•P2:S:= (~u1,· · · , ~un) est une base de Esi et seulement si Kn→E
(α1,· · · , αn)7→ α1~u1+· · · +αn~un
est un
isomorphisme d’espace vectoriel.
•P3: Si B:= (~u1,· · · , ~un) est une base de Ealors toute famille extraite de Best libre et toute famille de
vecteurs contenant les vecteurs de Best g´en´eratrice.
4 Espaces vectoriels de dimension finie
4.1 Dimension finie
D´efinition 4 On dit qu’un espace vectoriel Eest de dimension finie sur Ksi et seulement si Eadmet une famille
g´en´eratrice finie.
Eest de dimension finie si et seulement si ∃(~u1,· · · , ~up)∈Eptel que E=vect < ~u1,· · · , ~up>
Exemple 2 (Kn,+,·)est de dimension finie.
Th´eor`eme 2 Tout espace vectoriel E6={~ 0}et de dimension finie admet au moins une base.
par convention : {~ 0}est de dimension finie et admet pour base ø
Th´eor`eme 3 (th´eor`eme de la dimension) Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases
poss`edent le mˆeme nombre d’´el´ements. Ce nombre est la dimension de E.
Par convention {~ 0}a pour dimension 0. On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension 1 et plan
vectoriel tout espace vectoriel de dimension 2.
Th´eor`eme 4 E est de dimension n si et seulement si il existe un isomorphisme de Knsur E.
Proposition 1
Si (E1,+,·)et (E2,+,·)sont deux Kespaces vectoriels de dimension finie
Alors E1×E2est de dimension finie et dim E1×E2= dim E1+ dim E2
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4.2 Familles libres et g´en´eratrices en dimension n
Th´eor`eme 5 Si S= (~u1,· · · , ~up)est un syst`eme g´en´erateur de Ealors Scontient une base de E.
Cons´equence : p≥no`u n= dim Eet si p=nalors Sest une base de E
Th´eor`eme 6 (th´eor`eme de la base incompl`ete) Si S= (~u1,· · · , ~up)est un syst`eme libre de Ealors il existe
une base de Equi contient S.
Cons´equence : p≤no`u n= dim Eet si p=nalors Sest une base de E
Th´eor`eme 7 Si S= (~u1,· · · , ~up)est une famille de pvecteurs de Eon a l’´equivalence entre les trois proppi´et´es
suivantes :
1. S est une base de E
2. S est g´en´erateur de E et p=n
3. S est libre dans E et p=n
4.3 Sous espaces vectoriels
Proposition 2 Soit F un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie E. On a :
1. F est de dimension finie et dim F≤dim E
2. E=F si et seulement si dim E= dim F
5 Sous-espaces suppl´ementaires
Th´eor`eme 8
Hypoth`eses
•Soit Eun Kespace vectoriel de dimension finie n∈N
•Soit E1et E2deux sous-espaces vectoriels de E
•Soit B1= (~e1, . . . , ~ep)une base de E1
•Soit B2= (~ep+1, . . . , ~ep+r)une base de E2
•On note B= (~e1, . . . , ~ep, . . . ,~ep+r).
Conclusions
•E1∩E2={~ 0}si et seulement si Best libre dans E.
•E=E1+E2si et seulement si Best un syst`eme g´en´erateur de E.
•E=E1⊕E2si et seulement si Best une base de E.
Th´eor`eme 9 Soit Fet Gdeux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel Ede dimension finie.
Fet Gsont suppl´ementaires si et seulement si
1. F∩G={~ 0}
2. dim E= dim F+ dim G
Th´eor`eme 10 Soit Fet Gdeux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel Ede dimension finie.
Fet Gsont suppl´ementaires si et seulement si 1. E=F+G
2. dim E= dim F+ dim G
Th´eor`eme 11
Si E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E alors F admet au moins un
suppl´ementaire dans E.
Remarque 1 Si dim E≥2et 0<dim F < dim EAlors Fposs`ede une infinit´e de suppl´ementaires.
D´efinition 5 Soit Eun Kespace vectoriel de dimension finie et Fun sous-espace vectoriel de E, on appelle
codimension de Fla dimension d’un suppl´ementaire de F, on la note codimFet on a :
codimF= dim E−dim F.
Th´eor`eme 12 Soit F et G deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de dimension finie, on a :
dim(F+G) = dim F+ dim G−dim F∩G
Th´eor`eme 13 Soit F et G deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie E.
F∩G={~ 0}si et seulement si dim(F+G) = dim F+ dim G
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6 Applications lin´eaires
6.1 Combinaisons lin´eaires
Proposition 3 Soit Eet Fdeux Kespaces vectoriels, f∈ L(E, F ),~u1, . . . , ~upp vecteurs de E, on a :
l’image d’une combinaison lin´eaire des vecteurs ~u1, . . . , ~upest une combinaison lin´eaire des vecteurs
f(~u1), . . . , f(~up). Plus pr´ecis´ement : ∀(x1, . . . , xp)∈Kp, f (x1~u1+. . . +xp~up) = x1f(~u1) + . . . +xpf(~up).
Proposition 4 Soit Eet Fdeux Kespaces vectoriels, f∈ L(E, F ), on suppose que (~u1, . . . , ~up)est un syst`eme
g´en´erateur de E, on a :
Imf= Vect < f(~u1), . . . , f(~up)>
Th´eor`eme 14
Si
•Eest un Kespace vectoriel de dimension n∈N∗
•Fest un Kespace vectoriel
• B = (~e1, . . . , ~en)est une base de E
• S = (~u1, . . . , ~un)est un syst`eme de nvecteurs de F
Alors
•Il existe une unique application lin´eaire f∈ L(E, F )telle que ∀k∈[[1, n]], f(~ek) = ~uk
de plus :
1. fest un isomorphisme, f∈ GL(E, F )si et seulement si Sest une base de F
2. fest injective si et seulement si Sest un syst`eme libre de F
3. fest surjective si et seulement si Sest un syst`eme g´en´erateur de F
Th´eor`eme 15 Soit Eet Fdeux Kespaces vectoriels de dimension finie et f∈ L(E, F )
•Si fest un isomorphisme Alors dim E= dim F
•Si fest injective Alors dim E≤dim F
•Si fest surjective Alors dim E≥dim F
Ces deux th´eor`emes s’appliquent en particulier pour E=Knrapport´e `a sa base canonique. On a alors :
f:Kn→F
~x = (x1, . . . , xn)7→ f(~x) = x1~u1+· · · +xn~un
Th´eor`eme 16
Si Eet Fsont deux Kespaces vectoriels de dimension finie avec dim E= dim Fet f∈ L(E, F )
Alors les trois propositions suivantes sont ´equivalentes :
1. fest injective 2. fest surjective 3. fest bijective
en particulier pour E=Fsoit :
Th´eor`eme 17
Si Eest un Kespace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E)
Alors les trois propositions suivantes sont ´equivalentes :
1. fest injective 2. fest surjective 3. fest bijective
6.2 Rang
6.2.1 Rang d’un syst`eme de vecteurs
D´efinition 6 Soit Eun Kespace vectoriel et S= (~u1, . . . , up)un syst`eme de pvecteurs de E.
On appelle rang du syst`eme de vecteur Sla dimension de Vect < ~u1, . . . , up>, on note :
rg(S) = dim Vect < ~u1, . . . , up>ou rang(S) = dim Vect < ~u1, . . . , up>
.
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Proposition 5 Soit Eun Kespace vectoriel et S= (~u1, . . . , up)un syst`eme de pvecteurs de E. Le rang du
syst`eme Sest le nombre maximal de vecteurs extraits de Squi forme un syst`eme libre.
Proposition 6 Soit Eet Fdeux Kespace vectoriel, on suppose qu’il existe un isomorphisme fd’espace vectoriel
de Esur F,f∈ GL(E, F ),Sest un syst`eme de pvecteurs de E
On a rang f(S) = rang S
6.2.2 Rang d’une application lin´eaire
D´efinition 7 Soit Eet Fdeux Kespaces vectoriels de dimension finie, f∈ L(E, F ).
On appelle rang de fla dimension de Imf, on note rgf= dim Imfou rangf= dim Imf
Remarque 2 Pour d´efinir le rang d’une application lin´eaire il suffit que Esoit de dimension finie.
Proposition 7 Soit Eet Fdeux Kespaces vectoriels de dimension finie, f∈ L(E, F )et B= (~e1, . . . , ~en)une
base de E, on a : rgf= rg(f(~e1), . . . , f(~en))
Remarque 3 Si G= (~u1, . . . , ~up)est un syst`eme g´en´erateur de E, on a aussi rgf= rg(f(~u1), . . . , f(~up))
Proposition 8 Soit Eet Fdeux Kespaces vectoriels de dimension finie, f∈ L(E, F ).
fest surjective si et seulement si rgf= dim F
Proposition 9 Soit Eun Kespace vectoriel de dimension finie, f∈ L(E).
fest un automorphisme si et seulement si rgf= dim E
Proposition 10 Soit E,Fet Gtrois Kespaces vectoriels de dimension finie, f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G)on a :
•Si gest un isomorphisme d’espace vectoriel, g∈ GL(F, G)Alors rg g◦f= rg f
•Si fest un isomorphisme d’espace vectoriel, f∈ GL(E, F )Alors rg g◦f= rg g
6.3 Th´eor`eme du rang
Th´eor`eme 18
Si
•Eet Fsont deux Kespaces vectoriels avec Ede dimension finie
•f∈ L(E, F )
•E1est un suppl´ementaire de ker f, E = ker f⊕E1
Alors
f:
E1→Imf
~x 7→ f(~x) = f(~x)est un isomorphisme d’espace vectoriel.
Th´eor`eme 19 (th´eor`eme du rang)
Si
•Eet Fsont deux Kespaces vectoriels de dimension finie
•f∈ L(E, F )
Alors
•dim E= dim Imf+ dim ker f
6.3.1 Formes lin´eaires
D´efinition 8 Soit Eun Kespace vectoriel. Une forme lin´eaire sur Eest une application lin´eaire de Edans K,
on note E∗=L(E, K)
Proposition 11 Soit Eun Kespace vectoriel de dimension n∈N∗et B= (~e1, . . . , ~en)une base de E,
l’application :
Kn→E∗
(a1, . . . , an)7→ ϕ:
E→K
~x =x1~e1+. . . +xn~en7→ a1x1+. . . +anxn
est un isomorphisme d’espace vectoriel.
Cons´equence :
LGT Baimbridge 5 C.Susset