Espaces vectoriels et applications linéaires en dimension finie 1

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Espaces vectoriels et applications linéaires
en dimension finie
premières notions
Ce document n’est pas un cours mais présente seulement quelques notions à connaı̂tre sur le sujet.
Soit (E, +, ·) un K espace vectoriel où K désigne un corps de caractéristique nulle.
1
Systèmes générateurs
1.1
Définition
Définition 1
On dit que la famille S = (~u1 , · · · , ~up ) de p vecteurs de E est génératrice dans E si et seulement si
p
X
p
∀~u ∈ E, ∃(x1 , · · · , xp ) ∈ K / ~u =
xk ~uk . On dit aussi que S est un système générateur de E
k=1
1.2
Propriétés
• P1 : S = (~u1 , · · · , ~up ) est une famille génératrice de E ssi E = vect < ~u1 , · · · ,
~up >.
p

 X α ~u = ~u
k k
• P2 : S = (~u1 , · · · , ~up ) est une famille génératrice de E ssi ∀~u ∈ E le système
k=1


(α1 , · · · , αp ) ∈ Kp
possède au moins une solution.
Kp
→ E
• P3 : S = (~u1 , · · · , ~up ) est une famille génératrice de E ssi
est surjec(α1 , · · · , αp ) 7→ α1 ~u1 + · · · + αp ~up
tive.
• P4 : Toute famille de vecteurs de E qui contient une famille génératrice de E est une famille génératrice de
E.
Si (~e1 , · · · , ~ep ) est une famille génératrice de E et (~u1 , · · · , ~un ) est une famille de E telle que
{~e1 , · · · , ~ep } ⊂ {~u1 , · · · , ~un } alors (~u1 , · · · , ~un ) est une famille génératrice de E.
2
Systèmes libres
2.1
Définition
Définition 2 On dit que la famille S = (~u1 , · · · , ~up ) de p vecteurs de E est libre dans E si et seulement si
p
X
∀(x1 , · · · , xp ) ∈ Kp ,
xk ~uk = ~0 =⇒ x1 = · · · , xp = 0. On dit aussi que S est un système libre de E.
k=1
Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est dite liée.
2.2
Propriétés
• P1 : S = (~u1 , · · · , ~up ) est libre si et seulement
p
p
X
X
αk ~uk =
βk ~uk =⇒ ∀k ∈ {1, · · · , p}, αk = βk
k=1
•
•
•
•
si
∀(α1 , · · · , αp ) ∈ Kp , ∀(β1 , · · · , βp ) ∈ Kp ,
k=1
 p

 X α ~u = ~u
k k
P2 : S = (~u1 , · · · , ~up ) est libre si et seulement si ∀~u ∈ E le système

 k=1
(α1 , · · · , αp ) ∈ Kp
admet au plus une solution.
Kp
→ E
P3 : S = (~u1 , · · · , ~up ) est libre si et seulement si
est injective.
(α1 , · · · , αp ) 7→ α1 ~u1 + · · · + αp ~up
P4 : Soit ~u1 ∈ E, S = (~u1 ) est libre si et seulement si ~u1 6= 0. (~0) est lié.
P5 : S = (~u1 , ~u2 ) est liée si et seulement si ∃λ ∈ K, ~u1 = λ · ~u2 ou ~u2 = λ · ~u1
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• P6 : S = (~u1 , · · · , ~up ) est liée si et seulement si il existe au moins un vecteur de S combinaison linéaire des
autres vecteurs de S
• P7 : Soit S = (~u1 , · · · , ~up ) une famille libre et ~u ∈ E.
(~u1 , · · · , ~up , ~u) est libre si et seulement si ~u ∈
/ vect < ~u1 , · · · , ~up >.
• P8 : Toute famille de vecteurs extraite d’une famille libre est libre
• P9 : Toute famille de vecteurs contenant une famille liée est liée.
• P10 : Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
3
Bases
3.1
Définition
Définition 3 On dit que la famille S = (~u1 , · · · , ~up ) de p vecteurs de E est une base de E si et seulement si S est
libre et génératrice dans E.
Exemple 1 (~ek )1≤k≤n où ~ek = (δi,k )1≤i≤n avec δi,k = 0 pour i 6= k et δk,k = 1, est une base de Kn , on l’appelle
la base canonique de Kn .
Théorème 1 Soit B = (~u1 , · · · , ~un ) une famille de n vecteurs de E.
B est une base de E si et seulement si tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de
(~u1 , · · · , ~un ).
∀~u ∈ E, ∃!(x1 , · · · , xn ) ∈ Kn / ~u = x1 · ~u1 + · · · + xn · ~un , (x1 , · · · , xn ) sont les coordonnées du vecteur ~u dans la
base B.
3.2
Propriétés
 n

 X α ~u = ~u
k k
admet
• P1 : S := (~u1 , · · · , ~un ) est une base de E si et seulement si ∀~u ∈ E le système
k=1


n
(α1 , · · · , αn ) ∈ K
exactement une solution.
Kn
→ E
• P2 : S := (~u1 , · · · , ~un ) est une base de E si et seulement si
est un
(α1 , · · · , αn ) 7→ α1 ~u1 + · · · + αn ~un
isomorphisme d’espace vectoriel.
• P3 : Si B := (~u1 , · · · , ~un ) est une base de E alors toute famille extraite de B est libre et toute famille de
vecteurs contenant les vecteurs de B est génératrice.
4
4.1
Espaces vectoriels de dimension finie
Dimension finie
Définition 4 On dit qu’un espace vectoriel E est de dimension finie sur K si et seulement si E admet une famille
génératrice finie.
E est de dimension finie si et seulement si ∃(~u1 , · · · , ~up ) ∈ E p tel que E = vect < ~u1 , · · · , ~up >
Exemple 2 (Kn , +, ·) est de dimension finie.
Théorème 2 Tout espace vectoriel E 6= {~0} et de dimension finie admet au moins une base.
par convention : {~0} est de dimension finie et admet pour base ø
Théorème 3 (théorème de la dimension) Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases
possèdent le même nombre d’éléments. Ce nombre est la dimension de E.
Par convention {~0} a pour dimension 0. On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension 1 et plan
vectoriel tout espace vectoriel de dimension 2.
Théorème 4 E est de dimension n si et seulement si il existe un isomorphisme de Kn sur E.
Proposition 1
Si (E1 , +, ·) et (E2 , +, ·) sont deux K espaces vectoriels de dimension finie
Alors E1 × E2 est de dimension finie et dim E1 × E2 = dim E1 + dim E2
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4.2
Familles libres et génératrices en dimension n
Théorème 5 Si S = (~u1 , · · · , ~up ) est un système générateur de E alors S contient une base de E.
Conséquence : p ≥ n où n = dim E et si p = n alors S est une base de E
Théorème 6 (théorème de la base incomplète) Si S = (~u1 , · · · , ~up ) est un système libre de E alors il existe
une base de E qui contient S.
Conséquence : p ≤ n où n = dim E et si p = n alors S est une base de E
Théorème 7 Si S = (~u1 , · · · , ~up ) est une famille de p vecteurs de E on a l’équivalence entre les trois proppiétés
suivantes :
1. S est une base de E
2. S est générateur de E et p = n
3. S est libre dans E et p = n
4.3
Sous espaces vectoriels
Proposition 2 Soit F un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie E. On a :
1. F est de dimension finie et dim F ≤ dim E
2. E=F si et seulement si dim E = dim F
5
Sous-espaces supplémentaires
Théorème 8
Hypothèses
• Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n ∈ N
• Soit E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E
• Soit B1 = (~e1 , . . . , ~ep ) une base de E1
• Soit B2 = (~ep+1 , . . . , ~ep+r ) une base de E2
• On note B = (~e1 , . . . , ~ep , . . . , ~ep+r ).
Conclusions
• E1 ∩ E2 = {~0} si et seulement si B est libre dans E.
• E = E1 + E2 si et seulement si B est un système générateur de E.
• E = E1 ⊕ E2 si et seulement si B est une base de E.
Théorème 9 Soit F et G deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de dimension finie.
F et G sont supplémentaires si et seulement si
1. F ∩ G = {~0}
2. dim E = dim F + dim G
Théorème 10 Soit F et G deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de dimension finie.
F et G sont supplémentaires si et seulement si
1. E = F + G
2. dim E = dim F + dim G
Théorème 11
Si E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E alors F admet au moins un
supplémentaire dans E.
Remarque 1 Si dim E ≥ 2 et 0 < dim F < dim E Alors F possède une infinité de supplémentaires.
Définition 5 Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E, on appelle
codimension de F la dimension d’un supplémentaire de F , on la note codimF et on a :
codimF = dim E − dim F .
Théorème 12 Soit F et G deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de dimension finie, on a :
dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G
Théorème 13 Soit F et G deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie E.
F ∩ G = {~0} si et seulement si dim(F + G) = dim F + dim G
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6
Applications linéaires
6.1
Combinaisons linéaires
Proposition 3 Soit E et F deux K espaces vectoriels, f ∈ L(E, F ), ~u1 , . . . , ~up p vecteurs de E, on a :
l’image d’une combinaison linéaire des vecteurs ~u1 , . . . , ~up est une combinaison linéaire des vecteurs
f (~u1 ), . . . , f (~up ). Plus précisément : ∀(x1 , . . . , xp ) ∈ Kp , f (x1 ~u1 + . . . + xp ~up ) = x1 f (~u1 ) + . . . + xp f (~up ).
Proposition 4 Soit E et F deux K espaces vectoriels, f ∈ L(E, F ), on suppose que (~u1 , . . . , ~up ) est un système
générateur de E, on a :
Imf = Vect < f (~u1 ), . . . , f (~up ) >
Théorème 14
Si
• E est un K espace vectoriel de dimension n ∈ N∗
• F est un K espace vectoriel
• B = (~e1 , . . . , ~en ) est une base de E
• S = (~u1 , . . . , ~un ) est un système de n vecteurs de F
Alors
• Il existe une unique application linéaire f ∈ L(E, F ) telle que ∀k ∈ [[1, n]], f (~ek ) = ~uk
de plus :
1. f est un isomorphisme, f ∈ GL(E, F ) si et seulement si S est une base de F
2. f est injective si et seulement si S est un système libre de F
3. f est surjective si et seulement si S est un système générateur de F
Théorème 15 Soit E et F deux K espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F )
• Si f est un isomorphisme Alors dim E = dim F
• Si f est injective Alors dim E ≤ dim F
• Si f est surjective Alors dim E ≥ dim F
Ces deux théorèmes s’appliquent en particulier pour E = Kn rapporté à sa base canonique. On a alors :
f:
Kn
→
F
~x = (x1 , . . . , xn ) 7→ f (~x) = x1 ~u1 + · · · + xn ~un
Théorème 16
Si E et F sont deux K espaces vectoriels de dimension finie avec dim E = dim F et f ∈ L(E, F )
Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1. f est injective
2. f est surjective
3. f est bijective
en particulier pour E = F soit :
Théorème 17
Si E est un K espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E)
Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1. f est injective
6.2
6.2.1
2. f est surjective
3. f est bijective
Rang
Rang d’un système de vecteurs
Définition 6 Soit E un K espace vectoriel et S = (~u1 , . . . , up ) un système de p vecteurs de E.
On appelle rang du système de vecteur S la dimension de Vect < ~u1 , . . . , up >, on note :
rg(S) = dim Vect < ~u1 , . . . , up > ou rang(S) = dim Vect < ~u1 , . . . , up >
.
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Proposition 5 Soit E un K espace vectoriel et S = (~u1 , . . . , up ) un système de p vecteurs de E. Le rang du
système S est le nombre maximal de vecteurs extraits de S qui forme un système libre.
Proposition 6 Soit E et F deux K espace vectoriel, on suppose qu’il existe un isomorphisme f d’espace vectoriel
de E sur F , f ∈ GL(E, F ), S est un système de p vecteurs de E
On a rang f (S) = rang S
6.2.2
Rang d’une application linéaire
Définition 7 Soit E et F deux K espaces vectoriels de dimension finie, f ∈ L(E, F ).
On appelle rang de f la dimension de Imf , on note rgf = dim Imf ou rangf = dim Imf
Remarque 2 Pour définir le rang d’une application linéaire il suffit que E soit de dimension finie.
Proposition 7 Soit E et F deux K espaces vectoriels de dimension finie, f ∈ L(E, F ) et B = (~e1 , . . . , ~en ) une
base de E, on a : rgf = rg(f (~e1 ), . . . , f (~en ))
Remarque 3 Si G = (~u1 , . . . , ~up ) est un système générateur de E, on a aussi rgf = rg(f (~u1 ), . . . , f (~up ))
Proposition 8 Soit E et F deux K espaces vectoriels de dimension finie, f ∈ L(E, F ).
f est surjective si et seulement si rgf = dim F
Proposition 9 Soit E un K espace vectoriel de dimension finie, f ∈ L(E).
f est un automorphisme si et seulement si rgf = dim E
Proposition 10 Soit E, F et G trois K espaces vectoriels de dimension finie, f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G) on a :
• Si g est un isomorphisme d’espace vectoriel, g ∈ GL(F, G) Alors rg g ◦ f = rg f
• Si f est un isomorphisme d’espace vectoriel, f ∈ GL(E, F ) Alors rg g ◦ f = rg g
6.3
Théorème du rang
Théorème 18
Si
• E et F sont deux K espaces vectoriels avec E de dimension finie
• f ∈ L(E, F )
• E1 est un supplémentaire de ker f, E = ker f ⊕ E1
Alors
E1 → Imf
f : ~x
7→ f (~x) = f (~x) est un isomorphisme d’espace vectoriel.
Théorème 19 (théorème du rang)
Si
• E et F sont deux K espaces vectoriels de dimension finie
• f ∈ L(E, F )
Alors
• dim E = dim Imf + dim ker f
6.3.1
Formes linéaires
Définition 8 Soit E un K espace vectoriel. Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E dans K,
on note E ∗ = L(E, K)
Proposition 11 Soit E un K espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et B = (~e1 , . . . , ~en ) une base de E,
l’application :
Kn
→ E∗
E
(a1 , . . . , an ) 7→ ϕ : ~x = x1~e1 + . . . + xn~en
→ K
7→ a1 x1 + . . . + an xn
est un isomorphisme d’espace vectoriel.
Conséquence :
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Proposition 12
Si E est un K espace vectoriel de dimension finie n Alors E ∗ est de dimension finie et dim E ∗ = dim E.
Proposition 13
Soit E un K espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et B = (~e1 , . . . , ~en ) une base de E, on note pour k ∈ [[1, n]], ϕk
n
P
xi~ei , ϕk (~u) = xk , ϕk est la k-ième forme linéaire coordonnée
la forme linéaire définie par ∀~u ∈ E, ~u =
i=1
relativement à la base B. On a :
(ϕ1 , . . . , ϕn ) est une base de E ∗ .
7
Espace vectoriel produit
7.1
Définition
Proposition 14
Soit (E1 , +, ·) et (E2 , +, ·) deux K espaces vectoriels, on considère E = E1 × E2 muni des deux lois :
• ∀(~x1 , ~x2 ) ∈ E1 × E2 , ∀(~y1 , ~y2 ) ∈ E1 × E2 on pose (~x1 , ~x2 ) + (~y1 , ~y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 )
• ∀λ ∈ K, ∀(~x1 , ~x2 ) ∈ E1 × E2 on pose λ · (~x1 , ~x2 ) + (~y1 , ~y2 ) = (λ · x1 , λ · x2 )
(E1 × E2 , +, ·) est un K espace vectoriel appelé espace vectoriel produit.
Remarque 4 Si E1 , . . . , Ep sont p K espaces vectoriels on définit aussi l’espace vectoriel produit : E1 × · · · × Ep
avec les deux lois :
∀λ ∈ K, ∀(~u1 , . . . , ~up ) ∈ E1 × · · · × Ep , ∀(~v1 , . . . , ~vp ) ∈ E1 × · · · × Ep
(~u1 , . . . , ~up ) + (~v1 , . . . , ~vp ) = (~u1 + ~v1 , . . . , ~up + ~vp )
λ(~u1 , . . . , ~up ) = (λ~u1 , . . . , λ~up )
7.2
Dimension finie
Proposition 15
Si (E1 , +, ·) et (E2 , +, ·) sont deux K espaces vectoriels de dimension finie
Alors (E1 × E2 , +, ·) est un K espace vectoriel de dimension finie et dim E1 × E2 = dim E1 + dim E2 .
Remarque 5
Si E1 , . . . , Ep sont p K espaces vectoriels de dimension finie Alors E1 × · · · × Ep est un K espace vectoriel de
dimension finie et dim E1 × · · · × Ep = dim E1 + · · · + dim Ep
8
Matrices d’une application linéaire
8.1
Matrice des coordonnées d’un vecteur
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et B = (~e1 , . . . , ~en ) une base de E.
~u = x1~e1 + . . . + xn~en avec (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , 
on appelle vecteur
 colonne
 des
x1
x1




coordonnées de ~u dans la base B le tableau à n lignes et une colonne : X =  ... , et on écrit : ~u  ...  dans
Définition 9 Pour ~u ∈ E,
xn
xn
la base B.
On note Mn1 (K) l’ensemble des tableaux à n lignes et une colonne d’éléments de K.
Un élément de Mn1 (K) est une matrice à n lignes et une colonne à cœfficients dans K.
8.2
Matrice d’une forme linéaire
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et B = (~e1 , . . . , ~en ) une base de E.
Définition 10 Soit ϕ ∈ E ∗ on appelle matrice de ϕ dans la base B le tableau à une ligne et n colonnes
A = (ϕ(~e1 ), . . . , ϕ(~en ))
et on note M1n (K) l’ensemble des tableaux d’éléments de K à 1 ligne et n colonnes. Un élément de M1n (K) est
une matrice à cœfficients dans K à 1 ligne et n colonnes.
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Un élément de M1n (K) peut s’identifier à un élément de Kn .
Pour n ∈ N∗ , (M1n (K), +, ·) est un K espace vectoriel de dimension n
Proposition 16 L’application :
M1n (K)
→ E∗
(a1 , . . . , an ) 7→ ϕ avec ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , ϕ(x1 e~1 + . . . + xn~en ) = a1 x1 + . . . + an xn
est un isomorphisme d’espace vectoriel
8.3
Matrice d’une application linéaire
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et B1 = (~e1 , . . . , ~en ) une base de E.
Soit F un K espace vectoriel de dimension finie m ∈ N∗ et B2 = (~u1 , . . . , ~um ) une base de F .
On note Mm n (K) l’ensemble des tableaux d’éléments de K à m lignes et n colonnes. On dit qu’un élément de
Mm n (K) est une matrice à m lignes, n colonnes à cœfficients dans K. 

f1 (~x)


..
Pour f ∈ L(E, F ) et ~x ∈ E, f (~x) = f1 (~x)~u1 + . . . + fm (~x)~um , avec 
 ∈ Mm1 (K) le vecteur colonne
.
fm (~x)
des coordonnées de f (~x) dans la base B2 . ∀i ∈ [[1, m]], fi ∈ E ∗ , (f1 , . . . , fm ) sont les formes linéaires composantes
de l’application linéaire f .
Proposition 17
L(E, F ) →
(E ∗ )m
• L’application :
f
7→ (f1 , . . . , fm ) est un isomorphisme d’espace vectoriel.
• L(E, F ) est un K espace vectoriel de dimension finie et dim L(E, F ) = dim E × dim F .
Définition 11 Soit f ∈ L(E, F ), on appelle matrice de f dans les bases B1 et B2 la matrice M = (aij ) 1≤i≤m de
1≤j≤n
m
P
Mm n (K) avec ∀j ∈ [[1, n]], f (~ej ) =
aij ~ui
i=1
On note pour j ∈ [[1, n]], Cj la j ième colonne de la matrice M et pour i ∈ [[1, m]], Li la iième ligne de la matrice
M.


a1j


Cj =  ...  ,
amj


L1


Li = (ai1 , . . . , ain ) on notera aussi M = (C1 , . . . , Cn ) ou M =  ... 
Lm
Remarque 6
• Pour j ∈ [[1, n]], Cj est le vecteur colonne des coordonnées de f (~ej ) dans la base B2 de F
• Pour i ∈ [[1, m]], Li est la matrice de la forme linéaire composante fi dans la base B1 de E
8.4
Ensemble des matrices
Soit (n, m) ∈ N∗ × N∗ , on considère l’ensemble Mmn (K) l’ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à
cœfficients dans K.
Opérations sur les matrices
Somme
∀(A, B) ∈ Mmn (K)2 , A = (aij ) 1≤i≤m , B = (bij ) 1≤i≤m A + B = C avec C = (cij ) 1≤i≤m , cij = aij + bij
1≤j≤n
1≤j≤n
1≤j≤n
Multiplication externe
∀(λ, A) ∈ K × Mmn (K), λ · A = C avec ∀(i, j) ∈ [[1, m]] × [[1, n]], cij = λ · aij
Produit de matrices
Si A ∈ Mpq (K) et B ∈ Mqr (K) on définit le produit A × B = P par P = (pij ) 1≤i≤p avec
1≤j≤r
q
P
∀(i, j) ∈ [[1, p]] × [[1, r]], pij =
aik bkj
k=1
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MP


L1


Remarque 7 Si A =  ...  et B = (C1 , . . . , Cr ) alors ∀(i, j) ∈ [[1, p]] × [[1, r]], pij = Li Cj
Lp
Proposition 18
(Mmn (K), +, ·) est un K espace vectoriel de dimension mn
Si pour (i, j) ∈ [[1, m]] × [[1, n]] on note Eij = (ekl ) 1≤k≤m la matrice de Mmn (K) définie par ekl = 0 si (k, l) 6= (i, j)
1≤l≤n
et eij = 1, (Eij )(i,j)∈[[1,m]]×[[1,n]] est une base, appelée la base canonique de Mmn (K).
Proposition 19
Soit E, F, G trois K espaces vectoriels de dimension finie, dim E = p, dim F = q, dim G = r, E rapporté à une
base B1 , F à une base B2 et G à une base B3 . Soit f ∈ L(E, F ) de matrice A dans les bases B1 et B2 et g ∈ L(F, G)
dans les bases B2 et B3 .
On a :
g ◦ f ∈ L(E, G) et g ◦ f a pour matrice B × A dans les bases B1 et B3 .
Proposition 20
Pour n ∈ N∗ , (Mn (K), +, ×, ·) est une K algèbre (non commutative pour n ≥ 2)
8.5
Trace d’une application linéaire
Définition 12 (Trace d’une matrice)
Soit n ∈ N∗ , on considère l’espace vectoriel Mn (K), pour A ∈ Mn (K), A = (aij ) 1≤i≤n on définit la trace de A
1≤j≤n
n
P
par trA =
aii
i=1
∗
Proposition 21 tr est une forme linéaire sur Mn (K),
tr ∈ (Mn (K))
Proposition 22 ∀(A, B) ∈ (Mn (K)) , tr(AB) = tr(BA)
Proposition 23 Deux matrices semblables ont même trace
conséquence :
On peut définir la trace d’un endomorphisme
Définition 13
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E), on appelle trace de f la trace d’une matrice de f
dans une base de E
D’après la proposition précédente cette définition ne dépend pas de la base de E choisie.
Proposition 24 La trace d’un projecteur est égale à son rang.
C’est à dire que si E est un K espace vectoriel de dimension finie et p ∈ L(E) est un projecteur alors tr(p) = rangp
9
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