Probabilités et Statistique

Probabilités et Statistique
Y. Velenik
— Version du 24 mai 2012 —
Dernière version téléchargeable à l’adresse
http://www.unige.ch/math/folks/velenik/cours.html
2011-2012

2

Table des matières
Table des matières 3
1 Introduction 7
1.1 Modélisation des phénomènes aléatoires .................... 8
1.1.1 Univers. .................................. 9
1.1.2 Événements ................................ 9
1.1.3 Mesure de probabilité .......................... 13
1.2 Résumé du chapitre ............................... 14
2 Probabilité, indépendance 15
2.1 Axiomatique de la théorie des probabilités ................... 15
2.2 Construction d’espaces probabilisés ....................... 18
2.2.1 Univers fini ................................ 18
2.2.2 Univers dénombrable ........................... 23
2.2.3 Univers non-dénombrable ........................ 24
2.3 Probabilité conditionnelle, formule de Bayes .................. 27
2.4 Indépendance ................................... 33
2.5 Expériences répétées, espace produit ...................... 35
2.6 Résumé du chapitre ............................... 37
3 Variables aléatoires 39
3.1 Définitions ..................................... 39
3.1.1 Variables aléatoires et leurs lois ..................... 39
3.1.2 Variables aléatoires défectives ...................... 41
3.1.3 Fonction de répartition d’une variable aléatoire ............ 42
3.2 Variables aléatoires discrètes ........................... 43
3.2.1 Exemples importants de variables aléatoires discrètes ......... 45
3.3 Variables aléatoires à densité .......................... 49
3.3.1 Exemples importants de variables aléatoires à densité ......... 52
3.4 Indépendance de variables aléatoires ...................... 57
3

TABLE DES MATIÈRES
3.5 Vecteurs aléatoires ................................ 59
3.5.1 Loi conjointe et fonction de répartition conjointe ........... 59
3.5.2 Vecteurs aléatoires discrets ....................... 61
3.5.3 Vecteurs aléatoires à densité ....................... 62
3.6 Espérance, variance, covariance et moments .................. 66
3.6.1 Espérance ................................. 66
3.6.2 Variance, moments d’ordre supérieurs ................. 74
3.6.3 Covariance et corrélation ......................... 76
3.6.4 Vecteurs aléatoires ............................ 79
3.6.5 Absence de corrélation et indépendance ................ 79
3.6.6 Espérance conditionnelle ......................... 81
3.7 Détermination de la loi d’une variable aléatoire ................ 84
3.8 Variables aléatoires générales .......................... 84
3.8.1 Intégration au sens de Lebesgue ..................... 85
3.8.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque ............. 89
3.8.3 Intégrales multiples ............................ 90
4 Fonctions génératrices et caractéristiques 91
4.1 Fonctions génératrices .............................. 91
4.1.1 Définition, propriétés ........................... 91
4.1.2 Application aux processus de branchement ............... 95
4.1.3 Fonction génératrice conjointe ...................... 98
4.2 Fonctions caractéristiques ............................100
4.2.1 Définition et propriétés élémentaires ..................100
4.2.2 Quelques exemples classiques ......................104
5 Théorèmes limites 107
5.1 Un point technique ................................107
5.2 Quelques outils ..................................108
5.2.1 Les lemmes de Borel-Cantelli ......................108
5.2.2 Quelques inégalités ............................109
5.3 Modes de convergence ..............................111
5.4 La loi des grands nombres ............................113
5.4.1 La loi faible des grands nombres ....................113
5.4.2 La loi forte des grands nombres .....................117
5.5 Le Théorème Central Limite ...........................119
5.6 La loi 0-1de Kolmogorov ............................121
6 Introduction à la statistique 123
6.1 Estimateurs ....................................123
6.1.1 Définition, consistance, biais .......................123
6.1.2 Quelques exemples ............................125
6.1.3 Construction d’estimateurs .......................126
6.1.4 Comparaison d’estimateurs .......................129
4

TABLE DES MATIÈRES
6.2 Intervalles de confiance ..............................130
6.2.1 Définition et exemples ..........................130
6.2.2 Intervalles de confiance par excès et asymptotiques ..........131
6.2.3 Normalité asymptotique .........................134
6.3 Tests d’hypothèses ................................134
6.3.1 Un exemple ................................134
6.3.2 Procédure de test .............................135
6.3.3 Cas gaussien ...............................136
6.3.4 Tests d’hypothèses simples ........................137
6.3.5 Tests du χ2................................140
7 Marches aléatoires 143
7.1 Quelques généralités sur les processus stochastiques ..............143
7.2 Marche aléatoire simple unidimensionnelle ...................144
7.2.1 Ruine du joueur .............................146
7.2.2 Propriétés trajectorielles : approche combinatoire ...........147
7.2.3 Propriétés trajectorielles : fonctions génératrices ............156
7.3 Marche aléatoire simple sur Zd.........................159
7.3.1 Probabilités de sortie ...........................160
7.3.2 Récurrence et transience des marches aléatoires sur Zd........162
7.3.3 Convergence vers le mouvement brownien ...............164
8 Les chaînes de Markov 167
8.1 Définition et exemples ..............................167
8.2 Chaînes de Markov absorbantes .........................172
8.3 Chaînes de Markov irréductibles .........................177
8.3.1 Distribution stationnaire .........................180
8.3.2 Convergence ................................183
8.3.3 Réversibilité ................................185
9 Modèle de percolation 189
9.1 Définition .....................................189
9.2 Transition de phase ................................191
10 Le processus de Poisson 195
10.1 Définition et propriétés élémentaires ......................195
10.2 Autres propriétés .................................202
10.2.1 Le paradoxe de l’autobus ........................202
10.2.2 Processus de Poisson et statistiques d’ordre ..............203
10.2.3 Superposition et amincissement .....................204
10.2.4 Processus de Poisson non homogène ..................207
10.2.5 Processus de Poisson composé ......................208
10.2.6 Processus de Poisson spatial .......................209
10.2.7 Processus de renouvellement .......................212
5