Les formules de trigonométrie Les formules à connaître absolument par coeur : cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b Et sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a b) = sin a cos b cos a sin b co:co si:si co:co + si:si L1 L2 si:co + co:si si:co co:si L3 L4 A l’aide de ces seules formules, on retrouve toutes les autres en moins de 2 minutes. Voici les techniques classiques exploitant les formules trigonométriques : Passage de Produit en Somme. Passage de Somme en Produit. Expression en fonction de tan x2 . 1 Passage de Produit en Somme. Intérêt : Il est important d’avoir des sommes à la place de produit, si l’on veut intégrer ou sommer des expressions. Exemples : On utilise L1 et L2 car elles font apparaitre co:co cos x cos y = ? = 1 [cos (x + y) + cos (x 2 = 12 [ cos (2x + 3x) + cos (2x = 21 [cos x cos (2x) sin y 2 = sin 1 (L1 + L2 ) 2 L1 On utilise L1 et L2 car elles font apparaitre si:si sin (2x) sin (3x) = ? sin (2x) sin (3x) = y)] 3x)] L1 1 2 ( L 1 + L2 ) cos 5x] y cos (2x) =? 2 On utilise L3 et L4 car elles font apparaitre si:co Attention à bien identi…er a et b i y 1h y y 1 = sin + 2x + sin 2x L3 (L3 + L4 ) 2 2 2 2 2 Si on utilise les méthodes précédentes avec a = b, on obtient des égalités très utiles. cos (2x) sin ! cos (2x) = cos (x + x) = cos2 x ! cos (x) = cos ! sin (2x) = :::: x 2 + x 2 sin2 x = :::::: et sin (x) = :::: = cos2 x+sin2 x=1 2 cos2 x 1 2 Passage de Somme en Produit. Intérêt : Il est important d’avoir des sommes à la place de produit, si l’on veut étudier le signe d’une expression ou la factoriser. Rappel : Avant de présenter des exemples, il est utile de voir p=a+b , q=a b a= b= p+q 2 p q 2 Exemples : cos p + cos q = cos (a + b) + cos (a b) On veut utiliser les formules connues donc on a posé p = a + b et q = a b expression de la forme co:co si:si + co:co + si:si p+q p q = 2 cos a cos b = 2 cos cos 2 2 sin p sin q = sin (a + b) sin (a b) On veut utiliser les formules connues donc on a posé p = a + b et q = a b expression de la forme si:co + co:si (si:co p+q p q = 2 cos a sin b = 2 cos sin 2 2 Ecrire les deux autres formules cos p co:si) cos q et sin p + sin q en procédant de même. Si on utilise les méthodes précédentes avec 1 = cos 0 = sin 2 , on obtient des égalités très utiles. ! 1 cos x = cos 0 cos x = cos (a + b) cos (a b) = = 2 sin a sin b 2 sin De même pour 1 + cos x = ::: ! 1 + sin x = sin 3 2 + sin x = ::::: et 1 sin x = sin 2 0+x 2 sin 0 x 2 = 2 sin2 x 2 sin x = ::::: Expression en fonction de tangente. Objectif : Exprimer cos x; sin x et tan x en fonction de tan x2 : Intérêt : Cela peut servir à calculer par exemple des primitives de fractions rationnelles avec des sinus et des cosinus. sin x Rappel : La fonction tangente est dé…nie par tan : D ! R ; x 7! cos : Précisez D... x Elle est dé…nie, continue, indé…niment dérivable sur les intervalles de D et on a 0 8 x 2 D; (tan) (x) = sin x cos x 0 = cos2 x + sin2 x 1 = = 1 + tan2 x: 2 cos x cos2 x Cette dérivée est très importante car elle permet de ”voir”que tan est strictement croissante ( par intervalle ) et elle fait le lien entre cos et tan : Exemples : Comme on souhaite l’exprimer en fonction de tan x2 ; on passe à l’angle moitié, i.e.x = x2 + x2 cos x = cos x x + 2 2 sin2 x 2 = cos2 x 2 on force l’apparition de tan x2 au niveau du sinus = cos2 x 2 = cos2 x 2 De même, x x sin x = sin + 2 2 cos2 1 x 2 = 2 sin x 2 tan2 cos tan2 x 2 x 2 = 1 tan2 ( x2 ) 2 x Rappel 1+tan ( 2 ) x 2 on force l’apparition de tan x2 au niveau du sinus = 2 tan x 2 cos2 x 2 2 tan( x2 ) = 2 x Rappel 1+tan ( 2 ) 2 tan( x2 ) tan x = sin x = cos x 1+tan2 ( x2 ) 1 tan2 ( x2 ) = 1+tan2 ( x2 ) 4 2 tan2 x2 1 tan2 x2 Quelques petits exercices d’application Voici quelques exercices d’application simples à faire. Dans un premier temps, penser à bien identi…er la démarche qui va permettre de résoudre ces exercices puis ensuite seulement mettre en oeuvre cette démarche. 1. Préciser les formules de trigonométrie classiques : cos 2 x ; sin 2 2. Linéariser sin3 (x) ; cos3 (x). 3. Calculer les intégrales suivantes Z 2 2 cos t dt et 0 Z cos 2t: sin t dt 0 4. Etudier la fonction suivante f : [0; ] ! R t 7 ! cos (2t) 2 sin (t) x ; cos 2 + x ; sin 2 +x : Pour aller plus loin. Pour s’entretenir de façon ludique et sans trop se lasser, tout en ré‡échissant de façon di¤érente, on peut pratiquer : ! Les annales du concours de jeux mathématiques et logiques. L’adresse la plus claire ( avec des annales gratuites ) est le site Suisse de jeux mathématiques (FSJM) à la rubrique : Enoncés. http://homepage.hispeed.ch/FSJM/ ! Les annales du concours kangourous des mathématiques. Voir l’adresse www.mathkang.org/concours/index.html Ces concours comptent en général plusieurs niveaux : le kangourou de midi, étudiant, junior, cadet... Même si cela peut sembler peu grati…ant, les énoncés de petit niveaux ne sont pas nécessairement à négliger. Ils sont parfois évidents, parfois simples, mais ..... et même parfois pas simples, donc intéressant à titre d’entraînement.