Les formules de trigonométrie

Les formules de trigonométrie
Les formules à connaître absolument par coeur :
cos (a+b) = cos acos bsin asin b co:co si:si L1
cos (ab) = cos acos b+ sin asin b co:co +si:si L2
Et
sin (a+b) = sin acos b+ cos asin b si:co +co:si L3
sin (ab) = sin acos bcos asin b si:co co:si L4
A l’aide de ces seules formules,
on retrouve toutes les autres en moins de 2 minutes.
Voici les techniques classiques exploitant les formules trigonométriques :
Passage de Produit en Somme.
Passage de Somme en Produit.
Expression en fonction de tan x
2.
1 Passage de Produit en Somme.
Intérêt : Il est important d’avoir des sommes à la place de produit, si l’on veut intégrer ou sommer
des expressions.
Exemples :
cos xcos y= ? On utilise L1et L2car elles font apparaitre co:co
=1
2[cos (x+y) + cos (xy)] L1  1 2(L1+L2)
sin (2x) sin (3x)=? On utilise L1et L2car elles font apparaitre si:si
sin (2x) sin (3x) = = 1
2[cos (2x+ 3x) + cos (2x3x)] L1  1 2(L1+L2)
=1
2[cos xcos 5x]
cos (2x) sin y
2= sin y 2cos (2x) =? On utilise L3et L4car elles font apparaitre si:co
Attention à bien identi…er aet b
cos (2x) sin y
2=1 2hsin y 2+ 2x+ sin y 22xi L3  1 2(L3+L4)
Si on utilise les méthodes précédentes avec a=b, on obtient des égalités très utiles.
!cos (2x) = cos (x+x) = cos2xsin2x=
cos2x+sin2x=1
2 cos2x1
!cos (x) = cos x
2+x 2=::::::
!sin (2x) = :::: et sin (x) = ::::

2 Passage de Somme en Produit.
Intérêt : Il est important d’avoir des sommes à la place de produit, si l’on veut étudier le signe d’une
expression ou la factoriser.
Rappel : Avant de présenter des exemples, il est utile de voir
p=a+b
q=ab,a=p+q
2
b=pq
2
Exemples :
cos p+ cos q= cos (a+b) + cos (ab)
On veut utiliser les formules connues
donc on a posé p=a+bet q=ab
expression de la forme co:co si:si +co:co +si:si
= 2 cos acos b= 2 cos p+q
2cos pq 2
sin psin q= sin (a+b)sin (ab)
On veut utiliser les formules connues
donc on a posé p=a+bet q=ab
expression de la forme si:co +co:si (si:co co:si)
= 2 cos asin b= 2 cos p+q
2sin pq 2
Ecrire les deux autres formules cos pcos qet sin p+ sin qen procédant de même.
Si on utilise les méthodes précédentes avec 1 = cos 0 = sin 
2, on obtient des égalités très utiles.
!1cos x= cos 0 cos x= cos (a+b)cos (ab) = 2 sin asin b
=2 sin 0+x
2sin 0x 2= 2 sin2x 2
De même pour 1 + cos x=:::
!1 + sin x= sin 
2+ sin x=::::: et 1sin x= sin  2sin x=:::::
3 Expression en fonction de tangente.
Objectif : Exprimer cos x; sin xet tan xen fonction de tan x
2:
Intérêt : Cela peut servir à calculer par exemple des primitives de fractions rationnelles avec des sinus
et des cosinus.
Rappel : La fonction tangente est dé…nie par tan : D ! R;x7! sin x
cos x:Précisez D...
Elle est dé…nie, continue, indé…niment dérivable sur les intervalles de Det on a
8x2 D;(tan)0(x) = sin x
cos x0
=cos2x+ sin2x
cos2x=1 cos2x= 1 + tan2x:
Cette dérivée est très importante car elle permet de ”voir”que tan est strictement croissante ( par
intervalle ) et elle fait le lien entre cos et tan :

Exemples : Comme on souhaite l’exprimer en fonction de tan x
2;on passe à l’angle moitié, i.e.x=x 2+x 2
cos x= cos x
2+x 2= cos2x
2sin2x 2
on force l’apparition de tan x
2au niveau du sinus
= cos2x
2cos2x 2tan2x 2
= cos2x
21tan2x 2 =
Rappel
1tan2(x
2)
1+tan2(x
2)
De même,
sin x= sin x
2+x 2= 2 sin x
2cos x 2
on force l’apparition de tan x
2au niveau du sinus
= 2 tan x
2cos2x 2
=
Rappel
2 tan(x
2)
1+tan2(x
2)
tan x=sin x
cos x=
2 tan(x
2)
1+tan2(x
2)
1tan2(x
2)
1+tan2(x
2)
=2 tan2x
2
1tan2x
2
4 Quelques petits exercices d’application
Voici quelques exercices d’application simples à faire.
Dans un premier temps, penser à bien identi…er la démarche qui va permettre de résoudre ces
exercices puis ensuite seulement mettre en oeuvre cette démarche.
1. Préciser les formules de trigonométrie classiques : cos 
2x;sin  2x;cos  2+x;sin  2+x:
2. Linéariser sin3(x);cos3(x).
3. Calculer les intégrales suivantes
Z
2
0
cos2tdtet Z
0
cos 2t: sin tdt
4. Etudier la fonction suivante
f: [0; ]!R
t7! cos (2t)2 sin (t)

Pour aller plus loin.
Pour s’entretenir de façon ludique et sans trop se lasser, tout en ré‡échissant de façon di¤érente, on
peut pratiquer :
!Les annales du concours de jeux mathématiques et logiques.
L’adresse la plus claire ( avec des annales gratuites ) est le site Suisse de jeux mathématiques
(FSJM) à la rubrique : Enoncés.
http://homepage.hispeed.ch/FSJM/
!Les annales du concours kangourous des mathématiques.
Voir l’adresse
www.mathkang.org/concours/index.html
Ces concours comptent en général plusieurs niveaux : le kangourou de midi, étudiant, junior, cadet...
Même si cela peut sembler peu grati…ant, les énoncés de petit niveaux ne sont pas nécessairement à
négliger. Ils sont parfois évidents, parfois simples, mais ..... et même parfois pas simples, donc intéressant
à titre d’entraînement.