2015 01 ACP TS s10 probabilites
Terminale S - ACP
Ex1 : Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à
près.
Un site touristique dont le billet d’entrée coûte 4 € propose deux possibilités de visite, une visite à pied sans
frais supplémentaire ou une visite en car avec frais supplémentaires de 3 € par personne.
Une buvette est installée sur le site.
On y vend un seul type de boisson au prix de 2 € l’unité.
On suppose qu’à la buvette un touriste achète au plus une boisson.
Un touriste visite le site. On a établi que :
• la probabilité pour qu’il visite à pied est 0,3.
• la probabilité qu’il achète une boisson sachant qu’il visite en car est 0,8.
• la probabilité qu’il achète une boisson sachant qu’il visite à pied est 0,6.
On note : l’événement « le touriste visite en car » ; l’événement « le touriste achète une boisson ».
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. a. Quelle est la probabilité que le touriste visite à pied et achète une boisson ?
2. b. Montrer que .
3. Le touriste achète une boisson. Quelle est la probabilité qu’il ait visité à pied ?
4. On appelle d la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste.
Etablir la loi de probabilité de d. Calculer l’espérance mathématique de cette loi. Interpréter.
5° On interroge 10 clients choisis au hasard pour savoir s’ils visitent en car, et on admet que leur réponses
sont indépendantes.
On nomme X la variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant choisi de visiter en car.
5° a) Reconnaître la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
5° b) Calculer la probabilité qu’exactement 8 clients aient choisi de visiter en car.
5° c) Calculer la probabilité qu’au moins 8 clients aient choisi de visiter en car.
5° d) Calculer la probabilité qu’au moins 1 client ait choisi de visiter à pied.
5° e) Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. interpréter la valeur obtenue.
Ex2
1° Restitution organisée de connaissances :
Soit A et B deux événements associés à une expérience aléatoire. Démontrer que si A et B sont
indépendants pour la probabilité , alors les événements et B le sont aussi.
2° On dispose de deux urnes :
• une urne
qui contient 2 jetons rouges et 1 jeton noir
• une urne
qui contient 4 jetons rouges, 1 jeton noir et 1 jeton vert
On lance un équilibré.
Si l’on obtient 6, on tire au hasard un jeton de l’urne
;
sinon, on tire au hasard un jeton de l’urne
.
On considère les événements :
S : « obtenir le 6 » V : « tirer un jeton vert », R : « tirer un jeton rouge » et N : « tirer un jeton noir ».
1° Représenter la situation par un arbre pondéré.
2° Calculer la probabilité d’obtenir un jeton rouge.
3° a) Les événements S et R sont-ils indépendants ?
3° b) Les événements S et
sont-ils indépendants ?
4° Les événements et V sont-ils indépendants ?
Ex1 1° Arbre pondéré :
issues Dépenses en €
Entrée + car + boisson
0,7
0,3
0,8
0,2
0,6
0,4
9 (=4+3+2)
7 (=4+3+0)
6 (=4+0+2)
4 (=4+0+0)
Données :
Données déduites
2°a) « le touriste visite à pied et achète une boisson »
La probabilité que le touriste visite à pied et achète une boisson est .
2° b) B est la réunion des événements et , de plus ces deux événements sont incompatibles donc
et
D’où
3° « le touriste a visité à pied sachant qu’il a acheté une boisson » : !"#$"%&
'
Ainsi la probabilité que le touriste visite à pied, sachant qu’il a acheté une boisson est de 0,243 à
près
4.a. Les valeurs possibles de la dépense sont 9€, 7€, 6€ et 4€ selon la prestation choisie.
4.b. Loi de probabilité de la dépense (:
( )
(
(
(
*
D’où la loi de probabilité de la dépense d
(
+
9 7 6 4
(
(
+
0,56 0,14 0,18 0,12 Total : 1
,#,-./0123456( 7
+
(
+
+89
+8
)
L’espérance est de €.
Interprétation : on peut espérer une dépense moyenne par touriste de €
5°
L’échantillon est constitué de 10 personnes dont les réponses sont indépendantes.
Cela revient à répéter 10 fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli.
Chaque épreuve n’a que deux issues :
C
l’évènement : « le touriste visite ne car » de probabilité p(C) = 0,7
et son contraire de probabilité
Donc la variable aléatoire X égale au nombre de touristes visitant en car suit une loi binomiale de
paramètres % 10 et 0,7
Pour : ; <===>=?
@ : A%
:B
C
,*
DC
E
:F
C
,
GC
Calculer la probabilité qu’exactement 8 clients aient choisi de visiter en car.
« exactement 8 clients visitent en car » : @
@ E
F
H
,
H
'
Calculer la probabilité qu’au moins 8 clients aient choisi de visiter en car.
valeurs de X : 0 ,1 , 2 , 3 , ……….7 ; 8 ; 9 ; 10
« au moins 8 clients visitent en car » : @ I
@ I @ @ )@
E
F
H
,
E
)F
J
,
E
F
G
,
G
'
Calculer la probabilité qu’au moins 1 client ait choisi de visiter à pied.
valeurs de X : 0 , 1 , 2 , 3 , ……….7 ; 8 ; 9 ; 10
« au moins 1 client a choisi de visiter à pied » @ K )
Son contraire « les 10 clients ont visité en car » : @
@ K ) *@ *
G
' )
Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. interpréter la valeur obtenue.
la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres % 10 et 0,7
donc 6@
en moyenne, on peut espérer que 7 clients parmi les 10 interrogés prendront la visite en car
Ex2
1°LA et B sont indépendants pour la probabilité , donc
L d’après la formule des probabilités totales
, donc *
D’où : * M*N
Ainsi
C’est-à-dire les événements et B sont aussi indépendants.
2° Arbre pondéré
issues
5/6
O
2/3
1/6
1/6
2/3
1/3
P
Q
P
P
Q
P
2° est la réunion de et qui sont incompatibles, donc
R
R
La probabilité d’obtenir un jeton rouge est
3° a)
R
S
J
S
J
On observe que , on en déduit que les événements et sont indépendants.
3° b) les événements et sont indépendants, donc d’après la propriété démontrée ci-dessus les
événements
et sont indépendants.
4° Q
R
Q
T
S
S
T
S
Q Q
U&
(V%#Q
On observe que QW Q donc les événements U&Q ne sont pas indépendants.
1
/
4
100%
