2015 01 ACP TS s10 probabilites

Terminale S - ACP
Ex1 : Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à 10 près.
Un site touristique dont le billet d’entrée coûte 4 € propose deux possibilités de visite, une visite à pied sans
frais supplémentaire ou une visite en car avec frais supplémentaires de 3 € par personne.
Une buvette est installée sur le site.
On y vend un seul type de boisson au prix de 2 € l’unité.
On suppose qu’à la buvette un touriste achète au plus une boisson.
Un touriste visite le site. On a établi que :
• la probabilité pour qu’il visite à pied est 0,3.
• la probabilité qu’il achète une boisson sachant qu’il visite en car est 0,8.
• la probabilité qu’il achète une boisson sachant qu’il visite à pied est 0,6.
On note : l’événement « le touriste visite en car » ;
l’événement « le touriste achète une boisson ».
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. a. Quelle est la probabilité que le touriste visite à pied et achète une boisson ?
2. b. Montrer que
= 0,74.
3. Le touriste achète une boisson. Quelle est la probabilité qu’il ait visité à pied ?
4. On appelle d la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste.
Etablir la loi de probabilité de d. Calculer l’espérance mathématique de cette loi. Interpréter.
5° On interroge 10 clients choisis au hasard pour savoir s’ils visitent en car, et on admet que leur réponses
sont indépendantes.
On nomme X la variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant choisi de visiter en car.
5° a) Reconnaître la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
5° b) Calculer la probabilité qu’exactement 8 clients aient choisi de visiter en car.
5° c) Calculer la probabilité qu’au moins 8 clients aient choisi de visiter en car.
5° d) Calculer la probabilité qu’au moins 1 client ait choisi de visiter à pied.
5° e) Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. interpréter la valeur obtenue.
Ex2
1° Restitution organisée de connaissances :
Soit A et B deux événements associés à une expérience aléatoire. Démontrer que si A et B sont
indépendants pour la probabilité , alors les événements ̅ et B le sont aussi.
2° On dispose de deux urnes :
• une urne
qui contient 2 jetons rouges et 1 jeton noir
• une urne
qui contient 4 jetons rouges, 1 jeton noir et 1 jeton vert
On lance un équilibré.
Si l’on obtient 6, on tire au hasard un jeton de l’urne
;
sinon, on tire au hasard un jeton de l’urne .
On considère les événements :
S : « obtenir le 6 » V : « tirer un jeton vert », R : « tirer un jeton rouge » et N : « tirer un jeton noir ».
1° Représenter la situation par un arbre pondéré.
2° Calculer la probabilité d’obtenir un jeton rouge.
3° a) Les événements S et R sont-ils indépendants ?
3° b) Les événements S et sont-ils indépendants ?
4° Les événements ̅ et V sont-ils indépendants ?
Ex1 1° Arbre pondéré :
issues
Dépenses en €
Entrée + car + boisson
∩
9 (=4+3+2)
0,8
0,7
0,3
∩
0,2
̅
̅ = 0,3
Données :
Données déduites
̅∩
0,6
0,4
= 0,7
7 (=4+3+0)
6 (=4+0+2)
̅∩
= 0,8
̅
= 0,2
4 (=4+0+0)
= 0,6
̅
= 0,4
2°a) « le touriste visite à pied et achète une boisson »
∩ ̅
̅∩
̅ × ̅
=
= 0,3 × 0,6 = 0,18
La probabilité que le touriste visite à pied et achète une boisson est 0,18.
2° b) B est la réunion des événements ̅ ∩ et ∩ , de plus ces deux événements sont incompatibles donc
̅∩
=
+
∩
∩
=
×
= 0,7 × 0,8 = 0,56
̅
∩
= 0,18
et
D’où
= 0,18 + 0,56 = 0,74
3° « le touriste a visité à pied sachant qu’il a acheté une boisson » : !"#ℎ"%&
̅∩
0,18
̅ =
=
≈ 0,243
0,74
Ainsi la probabilité que le touriste visite à pied, sachant qu’il a acheté une boisson est de 0,243 à 0,001
près
4.a. Les valeurs possibles de la dépense sont 9€, 7€, 6€ et 4€ selon la prestation choisie.
4.b. Loi de probabilité de la dépense ( :
(=9 =
∩
= 0,56
(=7 =
∩
=
×
= 0,7 × 0,2 = 0,14
̅
(=6 =
∩
= 0,18
̅∩
̅ × ̅
(=4 =
=
= 0,3 × 1 − 0,60 = 0,3 × 0,4 = 0,12
D’où la loi de probabilité de la dépense d
9
7
6
4
(+
0,56
0,14
0,18
0,12
Total : 1
( = (+
4. #. Espérance
+89
6 ( =7
+8
+
× (+ = 0,56 × 9 + 0,14 × 7 + 0,18 × 6 + 0,12 × 4 = 7,58
L’espérance est de 7,58 €.
Interprétation : on peut espérer une dépense moyenne par touriste de 7,58€
5° L’échantillon est constitué de 10 personnes dont les réponses sont indépendantes.
Cela revient à répéter 10 fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli.
Chaque épreuve n’a que deux issues :
C l’évènement : « le touriste visite ne car » de probabilité p(C) = 0,7
̅ = 0,3
et son contraire ̅ de probabilité
Donc la variable aléatoire X égale au nombre de touristes visitant en car suit une loi binomiale de
paramètres % =10 et =0,7
Pour : ∈ {0 ; 1 ; 2 ; … ; 10}
%
@=: =A B
:
C
. 1−
D C
=E
10
F 0,7C . 0,3
:
G C
Calculer la probabilité qu’exactement 8 clients aient choisi de visiter en car.
« exactement 8 clients visitent en car » : @ = 8
10
@ = 8 = E F 0,7H . 0,3 = 45 × 0,7H × 0,3 ≈ 0,233
8
Calculer la probabilité qu’au moins 8 clients aient choisi de visiter en car.
valeurs de X : 0 ,1 , 2 , 3 , ……….7 ; 8 ; 9 ; 10
« au moins 8 clients visitent en car » : @ ≥ 8
@ ≥ 8 = @ = 8 + @ = 9 + @ = 10
10
10
10
= E F 0,7H . 0,3 + E F 0,7J . 0,3 + E F 0,7 G . 0,3G
8
9
10
=
≈ 0,383
Calculer la probabilité qu’au moins 1 client ait choisi de visiter à pied.
valeurs de X : 0 , 1 , 2 , 3 , ……….7 ; 8 ; 9 ; 10
« au moins 1 client a choisi de visiter à pied » @ ≤ 9
Son contraire « les 10 clients ont visité en car » : @ = 10
@ ≤ 9 = 1 − @ = 10 = 1 − 0,7 G ≈ 0,972
Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. interpréter la valeur obtenue.
la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres % =10 et =0,7
donc 6 @ = 10 × 0,7 = 7
en moyenne, on peut espérer que 7 clients parmi les 10 interrogés prendront la visite en car
Ex2
1° ⋆ A et B sont indépendants pour la probabilité , donc
∩
=
×
⋆ d’après la formule des probabilités totales
̅∩
̅∩
=
∩
+
, donc
=
−
∩
̅∩
̅ ×
D’où :
=
−
×
= M1 −
N×
=
̅∩
̅ ×
=
Ainsi
C’est-à-dire les événements ̅ et B sont aussi indépendants.
2° Arbre pondéré
issues
̅∩
2/3
1/6
̅
P
̅∩P
Q
̅∩Q
5/6
1/6
1/6
∩
2/3
1/3
2°
est la réunion de
=
∩
+
=
×
R
1 2 5 2
× + ×
6 3 6 3
2
=
3
∩ et
̅ ∩
̅ ×
+
P
̅ ∩
∩P
qui sont incompatibles, donc
R̅
=
La probabilité d’obtenir un jeton rouge est
3° a)
∩
=
On observe que
∩
×
R
=
=S× =J
×
=S× =J
×
, on en déduit que les événements et
sont indépendants.
3° b) les événements et sont indépendants, donc d’après la propriété démontrée ci-dessus les
événements et sont indépendants.
̅ × R̅ Q = T × = T
S
S
S
5
5
̅ ∩Q =
̅ = (V%# Q ×
Q =
U&
36
6
̅ ∩Q ≠
̅ × Q donc les événements
On observe que
4°
̅ ∩Q =
5 5
25
× =
36 6 216
̅ U&Q ne sont pas indépendants.
̅ =