Enoncé et corrigé

BACCALAUREAT GENERAL
Session de mai 2012
MATHEMATIQUES
- Série S Enseignement Obligatoire
Rochambeau
EXERCICE 1
Partie A
1) L’énoncé fournit pF (T ) =
1
3
1
, pF (T ) = et p(T ) =
. Posons p = p(F). Représentons la situation par un arbre :
4
3
10
1/4
T
3/4
T
1/3
T
2/3
T
F
p
1−
p
F
La formule des probabilités totales fournit :
!
"
! "
p(T ) = p (F ∩ T ) + p F ∩ T = p(F) × pF (T ) + p F × pF (T ),
$
#
1
1
3
1 1
3
p
1
1
p= −
puis
−
puis
=
et finalement
et donc p + (1 − p) =
4
3
10
3 4
3 10
12
30
p(F) =
2×6
2
12
=
= .
30
5×6
5
p(F) =
2
.
5
2) La probabilité demandée est pT (F).
2 1
×
p(F ∩ T )
p(F) × pF (T )
1
10
1
pT (F) =
=
= 5 4 =
×
= .
3
p(T )
p(T )
10
3
3
10
pT (F) =
http ://www.maths-france.fr
1
1
.
3
c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.
!
Partie B
1) a) Notons Y le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les membres choisis. La variable aléatoire Y est
régie par un schéma de Bernoulli. En effet,
• 4 expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
3
ou
• chaque expérience a deux issues : « le membre choisi adhère à la section tennis » avec une probabilité p =
10
7
.
« le membre choisi n’adhère pas à la section tennis » avec une probabilité 1 − p =
10
3
La variable aléatoire Y suit donc une loi binomiale de paramètres n = 4 et p =
.
10
La probabilité demandée est p(Y = 2) et on sait que
p(Y = 2) =
# $ # $2 # $2
4
3
7
4 × 3 32 × 72
2646
=
=
= 0, 2646.
×
2
10
10
2
104
104
b) Soit n ∈ N∗ . On remplace 4 par n et on obtient pour tout entier k tel que 0 ! k ! n,
# $ # $k # $n−k
7
n
3
.
p(Y = k) =
k
10
10
Par suite,
# $ # $n # $n
# $n
n
3
7
7
pn = p (Y " 1) = 1 − p(Y = 0) = 1 −
=1−
.
0
10
10
10
c) Soit n ∈ N∗ .
$n
# $n
# $n
7
7
10
" 0, 99 ⇔
! 0, 01 ⇔
" 100
10
10
7
# $
10
⇔ ln(100) (par stricte croissance de la fonction ln sur ]0, +∞[)
⇔ n ln
7
ln(100)
⇔ n ⇔ # $ ⇔ n " 12, 9 . . .
10
ln
7
pn " 0, 99 ⇔ 1 −
#
⇔ n " 13 (car n est un entier).
Le nombre minimal de semaines pour que pn " 0, 99 est 13.
2) La variable aléatoire X prend trois valeurs : 35 = 40 − 5 quand le joueur tire deux jetons gagnants, 15 = 20 − 5 quand
le joueur tire un jeton gagnant et −5 quand le joueur ne tire aucun jeton gagnant.
# $
10
10 × 9
10 × 9
1
2
2
$=
=
• La probabilité de tirer deux jetons gagnants est #
=
.
100 × 99
100
10 × 10 × 9 × 11
110
2
# $ 2# $
10
90
×
20
10 × 90
1
1
#
$
• La probabilité de tirer un jeton gagnant est
=
.
=
100 × 99
100
110
2
2# $
90
90 × 89
89
90 × 89
2
2
$=
• La probabilité de ne tirer aucun jeton gagnant est #
=
=
.
100 × 99
100
100 × 99
110
2
2
Donnons la loi de probabilité de X dans un tableau :
http ://www.maths-france.fr
xi
35
15
−5
p(X = xi )
1
110
20
110
89
110
2
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b) L’espérance mathématique de X est
E(X) = 35 ×
20
89
35 + 300 − 445
1
+ 15 ×
−5×
=
= −1.
110
110
110
110
Le gain algébrique moyen à cette loterie est −1 A
Cou encore en moyenne, le joueur perd 1 euro par partie jouée. Le gain
algébrique est strictement négatif et donc le jeu est défavorable au joueur.
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