Probabilités conditionnelles. (fiche résumé) 1

Probabilités conditionnelles. (fiche résumé)
1. Définition.
p est une probabilité sur un univers
. A et B sont deux événements avec p(A) différent de
0, (A n'est pas impossible).
La probabilité de B sachant que l'événement A est réalisé est le nombre :
pA B =p
A∩B
p A
On dit aussi probabilité de B conditionnée par A.
Propriétés
–
pA B
est un nombre compris entre 0 et 1,.
–Si A et B sont incompatibles (A
∩
B=
∅
) alors
pA ( B )
=0
–
pA ( B ) =1−pA ( B )
Souvent, en pratique, il est aisé de déterminer
pA B
, sans faire intervenir de formule,
connaissant
pA B
on peut déduire
p A∩B
par le calcul
p ( A∩B ) =pA ( B ) ×p ( A )
2. formule des probabilités totales.
Cas de deux événements
A est un événement de probabilité non nulle,
Pour tout événement B
p B =p B∩A p B∩A =pA B ×p A pA B ×p A
Plus généralement...
Lorsque les n événements
A1,A2,,An
forment une partition de
Pour tout événement B
p B =p B∩A1 p B∩A2  p B∩An
et si les événements
Ai
sont de probabilités non nulles:
p B =pA1 B ×p A1  pAn B ×p An
autrement écrit:
p B =∑
i=1
i=n
pAi B ×p Ai
3. Indépendance
Événements indépendants
On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Cela revient à dire que si P(A) ≠ 0, PA(B) = P(B).
(il est naturel de dire que A et B sont indépendants si la probabilité de B est la même que la
probabilité de B sachant A)
Propriété
Si deux événements A et B sont indépendants, alors les événements A et
B
sont
indépendants aussi, de même que
A
et B, ainsi que
A
et
B
.