TD de topologie et calcul différentiel– Feuille 1: Topologie, intérieur

LM360 Math´ematiques 2008
TD de topologie et calcul diff´erentiel– Feuille 1:
Topologie, int´erieur, adh´erence
Groupe de TD 5
Si Aest un sous-ensemble de E, on notera Ac=E−Ason compl´ementaire.
Exercice 1. Enum´erer les topologies de l’ensemble E={a, b}. Lesquelles sont
s´epar´ees ?
Exercice 2. Soit l’ensemble E={a, b, c}, muni d’une topologie. Montrer que si les
singletons {a},{b}et {c}sont ouverts dans E, alors Eest discret (c’est `a dire que
la topologie sur Eest la topologie discr`ete).
Exercice 3 (Topologie sur R2)..
1 (topologie usuelle). On appelle ouvert (usuel) de R2, une r´eunion de produits
d’intervalles ouverts (c’est `a dire de la forme ]a, b[×]c, d[). Montrer que ces
ouverts forment une topologie sur R2. Existe-t-il une partie de R2qui ne soit
ni ouverte, ni ferm´ee ?
2. Est-ce que la famille des B(0, r) := {(x, y)∈R2|x2+y2< r}(pour r∈[0,+∞])
forme une topologie sur R2? Si oui, est-elle s´epar´ee ?
3. Est-ce que les topologies d´efinies en 1et 2. sont les mˆemes ? Y’en-a-t-il une
plus fine que l’autre ?
4. Y-a-t-il un ouvert usuel de R2qui ne soit pas de la forme U×Vo`u Uet Vsont
des ouverts de R(c’est `a dire une r´eunion d’intervalles ouverts) ?
Exercice 4. Soient X, Y , deux ensembles et f:X→Yune application. Soient
(Ui)i∈Iune famille de parties de X.
1. Montrer que f∪i∈IUi=∪i∈If(Ui).
2. Montrer que f∩i∈IUi⊂ ∩i∈If(Ui) et que l’inclusion peut ˆetre stricte. A quelle
condition sur fa-t-on ´egalit´e ?
3. Soit Aun sous-ensemble de Y. Montrer que f−1(Y−A) = X−f−1(A).
Soit Eun espace topologique et Aune partie de E. Rappelons que l’adh´erence
de A, not´ee Aest le plus petit ferm´e de Econtenant A.L’int´erieur de A, not´e ˚ A
est le plsu grand ouvert de Econtenu dans A.
Exercice 5. On consid`ere Rmuni de sa topologie usuelle. D´eterminer l’int´erieur
et l’adh´erence de Qet R−Q.
Exercice 6. On consid`ere R2muni de sa topologie usuelle. D´eterminer l’int´erieur
et l’adh´erence des sous-ensembles suivants:
A={(x, y)∈R2/2x>y+ 1}B={(x, y)∈R2/0<x<2 et 0 ≤y≤1}
C={(x, y)∈R2/0≤x2+y2≤1}D={(x, y)∈R2/ x2+y2≥4} ∩ Q2.
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Exercice 7 (une autre d´efinition de l’int´erieur et de l’adh´erence).Soit Aune partie
d’un espace topologique E. On dit qu’un point x∈Aest int´erieur `a Asi il existe
un ouvert Uxcontenant xet inclus dans A. on dit qu’un point x∈Eest adh´erent
`a Asi tout ouvert Ucontenant xrencontre A(c’est `a dire U∩A6=∅pour tout
ouvert Ucontenant x).
1. Montrer que ˚ A={x∈A / x est int´erieur `a A}.
2. Montrer que A⊂Bimplique ˚ A⊂˚ B.
3. Montrer que Ac= ( ˚ A)cet que Ac=˚ (Ac).
4. En d´eduire que A={x∈E / x est adh´erent `a A}.
Exercice 8. Soit Xun espace topologique, A, B des sous-ensembles de X.
1. Montrer que
A∩B⊂A∩B, A ∪B=A∪B, ˚ (A∩B) = ˚ A∩˚ B
et montrer que la premi`ere inclusion peut ˆetre stricte.
2. Que peut on dire de ˚ A∪˚ B?
3. On note u(A) = ˚ Aet v(A) = ˚ A.
a) Calculer u(A) et v(A) pour E=R(avec la topologie usuelle) et A=]0,2]
et A=Q.
b) Comparer A,˚ A,u(A) et v(A).
c) Montrer que u2=uet v2=v.
4. Soit Yun espace topologique et C⊂Y. On munit X×Yde la topologie produit.
Montrer que A×C=A×Cet ˚ (A×C) = ˚ A×˚ C.
Exercice 9 (Fronti`ere).Si Aest une partie d’un espace topologique X, la fronti`ere
de A, not´ee ∂A, est l’ensemble ∂A =A−˚ A.
1. Montrer que ∂A =A∩Ac=∂(Ac) et que ∂A est ferm´e.
2. D´eterminer la fronti`ere des ensembles de R2suivants:
A={(x, y)∈R2/0< x2+y2<2}, B =Q2, C =] −2,1[×[0,1].
Exercice 10. Soit Xun espace topologique, Yun sous-espace de Xmuni de la
topologie induite et A⊂Y.
1. On note Al’adh´erence de Adans Xet AYl’adh´erence de Adans Y. Montrer
que AY=A∩Y.
2. On note aussi ˚ A, ˚ AYles int´erieurs de Adans Xet Yrespectivement. Montrer
que ˚ A⊂˚ AY. Montrer que cette inclusion peut ˆetre stricte.
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