TD de topologie et calcul différentiel– Feuille 1: Topologie, intérieur

LM360
Mathématiques
2008
TD de topologie et calcul différentiel– Feuille 1:
Topologie, intérieur, adhérence
Groupe de TD 5
Si A est un sous-ensemble de E, on notera Ac = E − A son complémentaire.
Exercice 1. Enumérer les topologies de l’ensemble E = {a, b}. Lesquelles sont
séparées ?
Exercice 2. Soit l’ensemble E = {a, b, c}, muni d’une topologie. Montrer que si les
singletons {a}, {b} et {c} sont ouverts dans E, alors E est discret (c’est à dire que
la topologie sur E est la topologie discrète).
Exercice 3 (Topologie sur R2 ). .
1 (topologie usuelle). On appelle ouvert (usuel) de R2 , une réunion de produits
d’intervalles ouverts (c’est à dire de la forme ]a, b[×]c, d[). Montrer que ces
ouverts forment une topologie sur R2 . Existe-t-il une partie de R2 qui ne soit
ni ouverte, ni fermée ?
2. Est-ce que la famille des B(0, r) := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < r} (pour r ∈ [0, +∞])
forme une topologie sur R2 ? Si oui, est-elle séparée ?
3. Est-ce que les topologies définies en 1 et 2. sont les mêmes ? Y’en-a-t-il une
plus fine que l’autre ?
4. Y-a-t-il un ouvert usuel de R2 qui ne soit pas de la forme U × V où U et V sont
des ouverts de R (c’est à dire une réunion d’intervalles ouverts) ?
Exercice 4. Soient X, Y , deux ensembles et f : X → Y une application. Soient
(Ui )i∈I une famille de parties de X.
1. Montrer que f ∪i∈I Ui = ∪i∈I f (Ui ).
2. Montrer que f ∩i∈I Ui ⊂ ∩i∈I f (Ui ) et que l’inclusion peut être stricte. A quelle
condition sur f a-t-on égalité ?
3. Soit A un sous-ensemble de Y . Montrer que f −1 (Y − A) = X − f −1 (A).
Soit E un espace topologique et A une partie de E. Rappelons que l’adhérence
de A, notée A est le plus petit fermé de E contenant A. L’intérieur de A, noté Å
est le plsu grand ouvert de E contenu dans A.
Exercice 5. On considère R muni de sa topologie usuelle. Déterminer l’intérieur
et l’adhérence de Q et R − Q.
Exercice 6. On considère R2 muni de sa topologie usuelle. Déterminer l’intérieur
et l’adhérence des sous-ensembles suivants:
A = {(x, y) ∈ R2 / 2x > y + 1}
C = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1}
B = {(x, y) ∈ R2 / 0 < x < 2 et 0 ≤ y ≤ 1}
D = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≥ 4} ∩ Q2 .
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Exercice 7 (une autre définition de l’intérieur et de l’adhérence). Soit A une partie
d’un espace topologique E. On dit qu’un point x ∈ A est intérieur à A si il existe
un ouvert Ux contenant x et inclus dans A. on dit qu’un point x ∈ E est adhérent
à A si tout ouvert U contenant x rencontre A (c’est à dire U ∩ A 6= ∅ pour tout
ouvert U contenant x).
1. Montrer que Å = {x ∈ A / x est intérieur à A}.
2. Montrer que A ⊂ B implique Å ⊂ B̊.
c
˚c ).
3. Montrer que Ac = (Å)c et que A = (A
4. En déduire que A = {x ∈ E / x est adhérent à A}.
Exercice 8. Soit X un espace topologique, A, B des sous-ensembles de X.
1. Montrer que
A ∩ B ⊂ A ∩ B,
A ∪ B = A ∪ B,
(A ˚
∩ B) = Å ∩ B̊
et montrer que la première inclusion peut être stricte.
2. Que peut on dire de Å ∪ B̊ ?
A et v(A) = Å.
3. On note u(A) = ˚
a) Calculer u(A) et v(A) pour E = R (avec la topologie usuelle) et A =]0, 2]
et A = Q.
b) Comparer A, Å, u(A) et v(A).
c) Montrer que u2 = u et v 2 = v.
4. Soit Y un espace topologique et C ⊂ Y . On munit X ×Y de la topologie produit.
˚ C) = Å × C̊.
Montrer que A × C = A × C et (A ×
Exercice 9 (Frontière). Si A est une partie d’un espace topologique X, la frontière
de A, notée ∂A, est l’ensemble ∂A = A − Å.
1. Montrer que ∂A = A ∩ Ac = ∂(Ac ) et que ∂A est fermé.
2. Déterminer la frontière des ensembles de R2 suivants:
A = {(x, y) ∈ R2 / 0 < x2 + y 2 < 2},
B = Q2 ,
C =] − 2, 1[×[0, 1].
Exercice 10. Soit X un espace topologique, Y un sous-espace de X muni de la
topologie induite et A ⊂ Y .
1. On note A l’adhérence de A dans X et A
Y
que A = A ∩ Y .
Y
l’adhérence de A dans Y . Montrer
2. On note aussi Å, ÅY les intérieurs de A dans X et Y respectivement. Montrer
que Å ⊂ ÅY . Montrer que cette inclusion peut être stricte.
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