1 Université Bordeaux1, 2013. MA4011, Topologie des espaces

1
Universit´e Bordeaux1, 2013. MA4011, Topologie des espaces m´etriques.
Mme Strouse.
CORRIGE : Devoir surveill´e du 20 Mars.
Sans documents (1h20).
Exercice 1 Soit El’ensemble {a, b, c, d, e}.On munit Eavec τ={∅,{a, c},{a, b, c, d, e}}.
(a) Donner la d´efinition de l’int´erreur d’un ensemble Adans un espace topologique
(E, τ).
On dit que x∈int(A)si et seulement si ∃U∈τtel que x∈U⊆A. OU int(A) est
le plus grand ouvert contenu dans A.
(b) Trouver l’int´erieur et l’adh`erence de l’ensemble B={a, b, c}dans l’espace
topologique (E, τ).
Int(B) = {a, c}car, que ils sont les seuls ´el´ements de τqui sont contenu dans B
et alors {a, c}est le plus grand ´el´ement de τ(ouvert) contenu dans B.
(c) Est-ce qu’il existe une distance d:E×E→R+telle que τest associ´ee avec
d?
Non, tout espace m´etrique est separ´e, et (E, τ )ne l’est pas.
Exercice 2 Soit R2mini de la distance :
d1((x1, x2),(y1, y2)) = |x1−y1|+|x2−y2|.
(a) Trouver l’int´erieur et l’adh`erence de l’ensemble
F={(x, y):0< x ≤3 et 1 ≤y < 4}
Int(F) = I={(x, y):0< x < 3et 1< y < 4}.
Demonstration I⊆Fet Iest un ouvert et donc tout point dans Iest un point
int´erieur de F. Si v∈F\Ialors v= (3, y)pour un certain you v= (x, 1)
pour un certain x. Si v= (3, y)et  > 0alors (3 + 
2, y)∈B(3, y), )et (3 +
2, y)6∈ FDonc ∀>0B((3, y), )6⊆ Fet (3, y)n’est pas un point int´erieur de F.
Le mˆeme raisonnement donne que les points de la forme (x, 1) ne sont pas des
points int´erieur de F. Mais l’ int´erieur de Fest contenu en Fet donc c’est ´egal
`a I.
Adh`erence(F) = A={(x, y) : 0 ≤x≤3et 1≤y≤4}.
Demonstration : F⊆Aet Aest ferm´e, donc Adh`erence(F)⊆Aet, (x, y)6∈ A
alors il y a un rectangle (boule pour d1) autour de (x, y)qui n’intersecte pas F,
donc, Ac∪Adh`erence F=∅et A⊆Adh`erence(F).

2
(b) Faˆıtes de mˆeme si R2est muni de
dbornee((x1, x2),(y1, y2)) = (d1((x1, x2),(y1, y2)) si d1((x1, x2),(y1, y2)) ≤3;
3 sinon .
Les r´eponses sont les mˆemes car les distances d1et dbornee sont topologiquement ´equivalentes.
Exercice 3 ´ Etudier la convergence de la suite (1 + 1
n,2).dans R2muni de la dis-
tance discrˆete .
ddiscrete((x1, x2),(y1, y2)) = (0 si (x1, x2) = (y1, y2));
1 sinon .
La suite ne converge pas car les seules suites convergentes pour la topologie discrˆete
sont les suites ´eventuellement constante.
Exercice 4 Soit d1d´efinie comme dans l’exercice 2, et soit dusuelle la distance sur
Rd´efinie par dusuelle(x, y) = |x−y|.
(a)´ Etudier la continuit´e de la fonction :g: (R, dusuelle)→(R2, d1;g(x)=(x, 0).
Il y a BEAUCOUP de facons d’etablir la continuit´e. On peut dire, par exemple, que
si xn→xalors g(xn) = (xn,0) →(x, 0) = g(x).Ou ´etablir que g−1(Bd1((x, 0), )) =
B(x, )donc g−1de n’importe quel ouvert est ouvert.....
(b) Donner un exemple d’une fonction f: (R, dusuelle)→(R2, ddiscrete) qui n’est pas
continue.
Par exemple la fonction gde (a), car (1
n)→0en (R, dusuelle)mais g(1 n)=(1 n,0) 6→
(0,0) dans(R2, ddiscrete).
Exercice 5 On definit d:R→R+par d(x, y) = |ex−ey|.
(a) Montrer que (R, d) est bien un espace m´etrique.
Routine
(b) La distance dest-elle m´etriquement ´equivalente `a la distance dusuelle de l’exercice
4 ?
Non, car |ex−ey|
|x−y|est arbitrairement grand ; donc il n’y a pas de c∈R+tel que d(x, y) =
|ex−ey| ≤ c|x−y|.
(c) La distance dest-elle topologiquement ´equivalente `a la distance dusuelle de l’exercice
4 ?
Oui, la continuit´e de la fonction get de son inverse ln donne une ´equivalence topolo-
gique.
Exercice 6 Soit X=Ret soit d1et d2les distances
d1(x, y) = (0,si v=w;
|x−1|+|1−y|sinon .

3
d2(x, y) = (0,si v=w;
|x−3|+|3−y|sinon .
Montrer que (R, d1) et (R, d2) sont des espaces topologiques hom´eomorphes.
C’est vraie car la fonction φ: (R, d1)→(R, d2);φ(x) = x+ 2 est une bijection telle
que et φet φ−1sont continues. Pour le d´emontrer, on voit que xn→xen (R, d1)ssi
(i)x6= 1 et xn=xpour tout sauf un nombre fini de nou(ii) x= 1 et xn→1en
(R, dusuelle)ssi (i)φ(x)6= 3 et φ(xn) = xpour tout sauf un nombre fini de nou(ii)
φ(x)=3et φ(xn)→3en (R, dusuelle)ssi φ(xn)→φ(x).