UNSA 2016-2017 L3–Mesure et Topologie Feuille d`exercices no2

UNSA 2016-2017 L3–Mesure et Topologie
Feuille d’exercices no2
Topologie de Rn, continuit´ e et densit´ e.
1. Topologie de R.
1.a. Parmi les quatre parties suivantes de la droite r´eelle R
[
n∈Z
]n, n + 1[,{0}∪{1
n, n > 0},[a, ∞[,[a, b]− {a+b 2}
lesquelles sont ouvertes, lesquelles sont ferm´ees, lesquelles ne sont ni ouvertes ni
ferm´ees ? D´eterminer leur int´erieur et leur adh´erence.
1.b. Montrer que pour tout point xd’un ouvert Ude Ril existe un intervalle
]α, β[ contenant xet contenu dans U. Montrer qu’on peut choisir cet intervalle
de sorte que sa longueur β−αet son centre α+β
2soient rationnels.
1.c. Montrer que Rne contient qu’un nombre d´enombrable d’intervalles
ouverts ayant un centre et un rayon rationnels. D´eduire de 1.b que tout ouvert
de Rest r´eunion de tels intervalles.
2. Topologie de R2.On consid`ere les parties suivantes de R2:
A={(x, y)∈R2| − x2≤y≤x2}
B={(x, y)∈R2|x2+y2<1}
C={(x, y)∈R2| |x|=|y|}
D=B\A
2.a. D´eterminer les adh´erences A, B, C, D. Parmi les parties A, B, C, D
lesquelles sont ouvertes, lesquelles sont ferm´ees. Justifier !
2.b. D´eterminer les int´erieurs de A, B, C, D.
2.c. La fronti`ere d’une partie Pest F ront(P) = P\Int(P). D´eduire de
1.a-b les fronti`eres de A, B, C, D, ainsi que l’intersection des quatre fronti`eres.
2.d. ´ Ecrire Dcomme une r´eunion de deux parties D0, D1de R2tels que
D0∩D1=∅et D0∩D1={(0,0)}.
3. Passage `a la frontire. Soit γ: [0,1] →R2une fonction continue v´erifiant
γ(0) = (0,0) et γ(1) = (1,1). Montrer que l’image de γrencontre le cercle-unit´e
S1ainsi que le losange Lde sommets (±1.5,0),(0,±1.5).
4. Graphe d’une fonction continue. Soit f:R→Rune fonction continue.
Montrer que le graphe de fest un ferm´e de R2. La r´eciproque est-elle vraie ?
(Consid´erer la fonction f(x) = 1
xpour x6= 0 et f(0) = 0).

5. L’ensemble des fonctions continues r´eelles sur un espace m´etrique.
5.a. Montrer que l’addition et la multiplication sont des fonctions continues
de R2dans R.
5.b. Montrer que pour deux fonctions continues f, g : (E, d)→R, les
applications x7→ f(x)±g(x) et x7→ f(x)g(x) d´efinissent des fonctions continues
f±g, f ·g: (E, d)→R. (Autrement dit, l’ensemble des fonctions continues
r´eelles sur un espace m´etrique forme une R-alg`ebre).
5.c. Montrer (en utilisant b) que {f≤g}={x∈E|f(x)≤g(x)}est un
ferm´e de (E, d) resp. {f < g}={x∈E|f(x)< g(x)}est un ouvert de (E, d).
5.d. Montrer qu’une application f= (f1, . . . , fn) : (E, d)→Rnest continue
si et seulement si les ncomposantes fi: (E, d)→Rle sont.
4. Densit´e. Soit S1⊂R2le cercle-unit´e qu’on munit de la topologie induite.
5.a. Montrer que l’application f:R→S1d´efinie par f(t) = (cos t, sin t) est
continue et surjective.
5.b. Montrer que toute application continue surjective envoie partie dense
sur partie dense. En d´eduire que S1poss`ede une partie d´enombrable dense.
6. Points isol´es. On dit qu’un point x∈Ad’un espace topologique Eest un
point isol´e de As’il existe un ouvert Ude Etel que A∩U={x}.
6.a. En consid´erant Zet Qcomme des parties de Rmontrer que tous les
points de Zsont isol´es mais qu’aucun point de Qn’est isol´e.
6.b. On pose α(A) = o
A, i.e. α(A) est l’adh´erence de l’int´erieur de A.
Montrer que si Aest ouvert (resp. ferm´e) alors A⊂α(A) (resp. A⊃α(A)).
6.c. Soit Aune partie de Rn. Montrer que si A=α(A) alors Aest ferm´e
et ne contient aucun point isol´e. La r´eciproque est-elle vraie ?
7. Espaces topologiques s´epar´es. Montrer qu’un espace topologique
(E, τE) est s´epar´e (i.e. pour tous points distincts x, y ∈Eil existe des ouverts
disjoints U, V tel que x∈Uet y∈V) si et seulement si la diagonale {(x, x)∈
E×E}est ferm´ee dans E×Epour la topologie-produit.
Mots-Cl´ es: Topologie de Rn, continuit´e, densit´e, topologie-produit et
topologie induite.