Trigonométrie : rappels Terminale S On peut orienter le plan de deux façons : Le sens des aiguilles d'une montre dit sens horaire. Le sens contraire des aiguilles d'une montre dit sens anti-horaire, appelé sens trigonométrique. Les angles mesurés dans le sens trigonométrique ont une mesure positive et les angles mesurés dans le sens horaire ont une mesure négative. Terminale S Un angle orienté est la donnée de deux vecteurs Par abus de notation, on confond l'angle orienté et ses mesures ⃗v ⃗u Propriétés : ( ⃗v , ⃗u )=−( ⃗u , v⃗ ) ( ⃗u , ⃗0 )=( ⃗ 0, ⃗u )=0 (−⃗u , ⃗v )=( ⃗u ,−⃗v )=π−( ⃗u , ⃗v ) (−⃗u ,−⃗ v )=( ⃗u , ⃗v ) ( ⃗u , ⃗v )+( ⃗v , ⃗ w )=( ⃗u , ⃗ w ) (Relation de Chasles) Terminale S Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 unité et orienté avec le sens trigonométrique. Le périmètre d'un cercle trigonométrique est 2p unités. 1 + Terminale S La droite des réels s'enroule autour du cercle trigonométrique à partir du point I. Donc à chaque nombre réel est associé un unique point du cercle et à un point du cercle sont associés une infinité de nombres réels séparés de 2p. Terminale S Les valeurs de base : Terminale S Autres valeurs à connaître Terminale S Autres valeurs à connaître Terminale S Un angle de mesure 1 radian correspond à un arc de cercle trigonométrique de longueur 1 unité. Le radian est l'unité d'angle utilisé en mathématiques. 1 unité (⃗ OI , ⃗ O R) mesure 1 radian Ainsi, chaque réel de la page précédente correspond à une mesure en radian de l'angle (⃗ OI , ⃗ O M) où M est le point associé au réel. Un angle orienté a une infinité de mesures en radians (2 mesures étant espacées d'un multiple de 2p). La mesure comprise entre –p (exclu) et p (inclus) est appelée mesure principale de l'angle orienté. Terminale S A un cercle tigonométrique, on peut associer un repère orthonormé (O,I,J). Pour un réel x, on appelle cosinus de x (noté cos x) l'abscisse du point du cercle trigonométrique associé à x. sinus de x (noté sin x), l'ordonnée J sin x Pour tout réel x, -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 . cos x I De plus, cos²x+sin²x=1. Terminale S Valeurs de base à connaître : x 0 cos x sin x 1 0 p/6 √3 /2 1/2 p/4 √2 /2 √2 /2 p/3 1/2 √3 /2 p/2 0 1 Pour les autres valeurs, on peut utiliser les propriétés suivantes : x est un réel cos(-x)=cos x et sin(-x)=-sin x cos(p-x)=-cos x et sin(p-x)=sin x cos(p+x)=-cos x et sin(p+x)=-sin x S'aider du placement sur le cercle trigonométrique permet de retrouver assez facilement les valeurs. Terminale S Egalité de cosinus ou sinus : cos x = cos a ssi x=a+2kp ou x=-a+2kp, k entier relatif (kZ) sin x = sin a ssi x=a+2kp ou x=p-a+2kp, k entier relatif (kZ) Ces résultats permettent de résoudre des équations trigonométriques Remarque : si on a égalité d'un cosinus et d'un sinus, on utilise le résultat suivant : sin x=cos(p/2 -x) Terminale S Signe du cosinus et du sinus : J cos x ≤ 0 sin x ≥ 0 cos x ≥ 0 sin x ≥ 0 I cos x ≤ 0 sin x ≤ 0 cos x ≥ 0 sin x ≤ 0 Terminale S Addition et soustraction : a et b sont deux réels cos(a+b)=cos a.cos b-sina.sin b cos (a-b)=cos a.cos b+sin a.sin b ! signe ! ! signe ! sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b sin(a-b)=sin a.cos b-cos a.sin b Formules de duplication : a est un nombre réel cos(2a)=cos²a-sin²a=2cos a+1=1-2sin a sin(2a)=2sin a.cos a Terminale S