Formes quadratiques binaires I

Formes quadratiques binaires I
J´erˆome Koller, Universit´e de Fribourg, Suisse
18 avril 2007
1 Formes quadratiques binaires
D´efinition 1 Une forme quadratique binaire (primitive) est une expression de la forme :
f(x, y) = ax2+bxy +cy2(1)
o`u a,bet csont fixes. Nous admettrons ici que a,bet c∈Zet que P GDC(a, b, c) = 1.
Un des objectifs de la th´eorie des formes quadratiques est de d´eterminer si certaines
´equations (appel´ees ”diophantiennes”, en hommage au math´ematicien grec Diophante qui
fut l’un des premiers `a s’y int´eresser) sont r´esolubles dans Z. On cherche donc, pour n∈Z,
`a d´ecrire les solutions de l’´equation :
f(x, y) = n, o`u x,y∈Z.
Nous allons voir que certaines formes sont ´equivalentes et que l’on peut d`es lors res-
treindre l’´etude de ces ´equations `a certaines classes de formes.
Consid´erons la transformation suivante :
x0
y0=α β γ δ  x y=αx +βy γx +δy , o`u α β γ δ ∈SL2(Z) (2)
En introduisant x0et y0dans notre forme f, on obtient une nouvelle forme :
f(x0, y0) = f(αx +βy, γx +δy) (3)
=a(αx +βy)2+b(αx +βy)(γx +δy) + c(γx +δy)2
=a0x2+b0xy +c0y2
=: f0(x, y)
Supposons maintenant que (u0, v0) soit une solution de l’´equation diophantienne f0(x, y) = n,
i.e. f0(u0, v0) = n. On remarque que par la transformation (2) et l’´egalit´e (3), on a que la
solution (u0, v0) de f0(x, y) = nnous donne une solution (u, v) de f(x, y) = n. Il est donc
naturel de consid´erer ces deux formes comme ´equivalentes.
D´efinition 2 Deux formes quadratiques f(x, y) = ax2+bxy+cy2et f0(x, y) = a0x2+b0xy+
c0y2sont dites ´equivalentes, si elles se transforment l’une dans l’autre par une substitution
comme en (2), i. e. s’il existe une matrice :
A=α β
γ δ ∈SL2(Z)telle que
fx0
y0= (f◦A)x y=f0x y
Remarque : A∈SL2(Z)implique αδ −γβ = 1.
1

Nous nous int´eressons maintenant au nombre de ces classes d’´equivalence.
Th´eor`eme 1 Il y a une infinit´e de classes d’´equivalence de formes quadratiques binaires.
Preuve : On remarque tout d’abord que pour f(x, y) = ax2+bxy+cy2une forme quadratique
binaire quelconque, son discriminant D:= b2−4ac est un invariant de classe (cela suit
par simple calcul `a partir de (2)). Nous remarquons ensuite que pour tout D≡0 ou 1 mod
4, on peut trouver une forme f(x, y) de discriminant D :
f(x, y) = x2−D
4y2si D≡0 mod 4.
x2+xy +1−D
4y2si D≡1 mod 4. (4)
Puisqu’il existe une infinit´e de nombres D≡0 ou 1 mod 4, on a bien que le nombre de
classes est infini. Q.E.D.
La bonne question est donc : combien y a-t-il de classes d’´equivalence de formes de
discriminant Dint´eressant donn´e ?
Th´eor`eme 2 Soit D∈Z, o`u Dn’est pas un carr´e (en particulier D6= 0 et D6= 1). Alors
il existe seulement un nombre fini de classes de formes ayant Dcomme discriminant.
Id´ee de preuve : Le premier pas consiste `a montrer que toute forme ax2+bxy +cy2de
discriminant Dest ´equivalente `a une forme a0x2+b0xy +c0y2v´erifiant : |b0|≤|a0|≤|c0|.
Cela n´ecessite un certain travail... Le deuxi`eme pas, plus ´evident, consiste `a montrer que
seul un nombre fini de triplets (a0, b0, c0) v´erifient les in´equations propos´ees. Q.E.D.
Nous savons maintenant qu’une fois Dfix´e, le nombre de classes d’´equivalence est fini.
De plus, pour une forme ax2+bxy +cy2donn´ee, nous disposons d’un autre invariant de
classe : le signe du premier coefficient, si D=b2−4ac < 0. (Cette affirmation se d´emontre
tr`es facilement `a partir de la transformation (2)).
Une forme binaire de discriminant D < 0 est dite d´efinie positive si le signe de son
premier coefficient est positif, d´efinie n´egative si le signe est n´egatif.
D´efinition 3 Le nombre de classe h(D)est d´efini ainsi :
h(D) =
nbre de classes d’´equivalence de formes quadratiques
(primitives) de discriminant D, si D > 0
nbre de classes d’´equivalence de formes quadratiques (primitives)
d´efinies positives de discriminant D, si D < 0.
(5)
Ce nombre est fini par le th´eor`eme (2). Si Dn’est pas ≡0ou 1mod 4,h(D) = 0 car
l’´equation b2−4ac =Dn’a pas de solution enti`ere.
2 Automorphismes d’une forme quadratique
Soit fune forme quadratique. Nous cherchons `a d´eterminer le nombre de solutions
de l’´equation f(x, y) = n,x, y ∈Z. Une relation d’´equivalence naturelle se d´efinit entre
ces diff´erentes solutions. Soit en effet A∈SL2(Z), une matrice ayant la propri´et´e de
transformer fen une forme f0´equivalente co¨ıncidant avec f, i. e. f=f0. Soit maintenant
(u0, v0) une solution de f0(x, y) = n. Il est clair que (2) transforme cette solution en une

autre solution. Nous consid´erons alors ces deux solutions comme ´equivalentes. Dans ce cas,
nous appellerons Aun automorphisme de f. Il est facile de montrer que l’ensemble des
automorphismes de fforme un sous-groupe de SL2(Z), not´e Uf.
Nous nous int´eressons maintenant `a la structure de Uf.
Th´eor`eme 3 Soit f(x, y) = ax2+bxy +cy2une forme quadratique (primitive) de discri-
minant D, o`u Dn’est pas un carr´e. Alors, l’application φd´efinie par :
(t, u)7−→ φ(t, u) := t−bu
2−cu
au t+bu
2(6)
est une bijection entre l’ensemble Pdes solutions (t, u)de l’´equation de Pell (t2−Du2= 4)
et Uf. Cette bijection est un isomorphisme de groupe relativement `a la r`egle de composition :
(t1, u1)◦(t2, u2) = t1t2+Du1u2
2,t1u2+u1t2 2.(7)
Le groupe Ufest fini pour D < 0et mˆeme cyclique d’ordre :
w=
6pour D=−3,
4pour D=−4,
2pour D < −4.
Pour D > 0,Uf∼
=Z×Z/2Z.
Preuve : On commence par v´erifier que (6) et (7) sont bien d´efinies et que φest bien un
isomorphisme de groupe. Pour cela, on construit l’application inverse de φ. Cela n’est pas
forc´ement ´evident, mais n’apporte rien de neuf.
Il reste `a distinguer les deux cas : D > 0 et D < 0.
1. D < 0 : on d´etermine facilement, en observant l’´equation de Pell, que les solutions
possibles en fonction des valeurs de Dsont les suivantes :
– (t, u)=(±2,0) ou (±1,±1) pour D=−3
– (t, u)=(±2,0) ou (0,±1) pour D=−4
– (t, u)=(±2,0) pour D < −4.
En associant `a chaque solution (t, u) la valeur := t+u√D
2, on a un homomorphisme
injectif dans C∗. On remarque, en rempla¸cant, que dans notre cas, les obtenus sont
les racines de l’unit´e, ce qui implique que le groupe est cyclique.
2. D > 0 : Posons P:= {(t, u) solutions de l’´eq. de Pell}. En associant `a chaque (t, u)∈
Pla valeur comme ci-dessus, nous obtenons cette fois un homomorphisme ψinjectif
dans R∗. On consid`ere le cas t, u > 0. Il existe donc une plus petite solution (t0, u0)
positive jet´ee sur 0:= t0+u0√D
2>1. On montre que l’ensemble Imψ ={±n
0|n∈Z}
(le ”±” provient du fait que −1 = ψ(−2,0) ∈Imψ). Or il est clair que Uf∼
=P∼ =
Imψ ∼
=Z×Z/2Z. Q.E.D.
Ce th´eor`eme est le premier pas vers la d´etermination du nombre de classe.