Corrigé du QCM1 1. Dans un espace topologique (X,O), une

Corrigé du QCM1
Dans un espace topologique (X, O), une intersection d'ouverts est toujours un ouvert.
La réponse est non. Contre-exemple. L'ensemble :
1.
E :=
\
n∈N∗
i 1 1h
− ,
≡ {0}
n n
est l'intersection (innie) des ouverts ] − n1 , n1 [. Pourtant E coincide avec le
fermé {0}.
Dans un espace métrique, tout voisinage d'un point contient une boule
ouverte centrée en ce point.
La réponse est oui d'après la Proposition 1.2.12 du cours.
2.
Soit X un ensemble contenant au moins deux éléments. Alors :
- Tout ensemble X peut être muni d'une topologie, par exemple de sa topologie
grossière O = {∅, X}.
- Supposons que cette topologie grossière soit induite par une métrique d sur
X . Alors la boule ouverte centrée en x et de rayon d(x, y)/2 > 0 est un
ouvert, c'est à dire un élément de O. Par construction, cet ouvert contient
x mais pas y . Il est donc distinct à la fois des sous-ensembles ∅ et X . Cest
une contradiction !
3.
Dans R2 , le cercle C centré en (0, 0) et de rayon 1 peut eectivement être
muni d'une structure d'espace métrique. En eet R2 peut être muni d'une
métrique d (par exemple celle associée à la norme euclidienne). Il sut alors
de voir le cercle comme un sous-espace métrique de (R2 , d).
Tout espace métrique possède au moins une structure topologique (par exemple celle induite par la métrique).
Par contre, le cercle ne peut pas être muni d'une structure d'espace vectoriel
normé sur R car ce n'est tout simplement pas un R-espace vectoriel !
4.
5. L'ensemble des réels est muni de la distance usuelle d(x, y) = |y − x|.
On regarde le sous-ensemble A := R \ Q (regroupant les irrationnels) comme
sous-espace métrique (donc topologique) de (R, d). Alors :
- A ∩ [0, 1] est l'intersection de A et du fermé [0, 1] de (R, d). C'est donc, par
dénition, un fermé dans A.
- Comme 0 et 1 ne sont pas irrationnels, on a A ∩ [0, 1] ≡ A∩]0, 1[ et donc
peut s'écrire comme l'intersection de A et de l'ouvert ]0, 1[ de (R, d). Ainsi,
contrairement aux apparences, A ∩ [0, 1] est aussi ouvert dans A !