Algèbre / 1ère année / version 2014-2015

Picchione Serge 2014-2015
ALGÈBRE
1ère année
1.1 Calcul littéral 1
1.1.1 Notations/conventions d’écriture 1
1.1.2 Polynômes et opérations 2
1.1.3 Identités remarquables et factorisation 8
1.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir 16
1.1.5 Questionnaire à choix multiples 16
1.2 Les équations 17
1.2.1 Théorie sur les équations 17
1.2.2 Équations polynomiales du 1er degré 20
1.2.3 Équations polynomiales du 2ème degré 28
1.2.4 Systèmes d'équations linéaires 42
1.2.5 Ce qu’il faut absolument savoir 55
1.2.6 Questionnaire à choix multiples 56

Picchione Serge 2014-2015
1.3 Les inéquations 57
1.3.1 Intervalles 57
1.3.2 Inéquations du premier degré 60
1.3.3 Inéquations de degré supérieur à un 62
1.3.4 Ce qu’il faut absolument savoir 64
1.3.5 Questionnaire à choix multiples 64
1.4 Solutions des exercices 65

Picchione Serge 2014-2015
AVANT-PROPOS
• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de
Genève en première année, en algèbre. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres
filières d’enseignement.
• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.)
et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les
diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des
exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations.
• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de
développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).
• Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré
blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.
• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez
vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix
multiples ».
• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :
http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione
• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé
leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio
Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.
BON TRAVAIL !

Picchione Serge 2014-2015

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P.S. / 2014-2015 1 Algèbre / Calcul littéral / 1 N-A
1.1 Calcul littéral
François Viète était un avocat et un mathématicien français né à
Fontenay-le-Comte en 1540 et mort à Paris en 1603. Son œuvre est
capitale pour la symbolisation en algèbre. C’est à lui que l’on doit
l’utilisation des lettres pour représenter les quantités connues ou
inconnues. Son ouvrage principal s’intitule Les Zététiques.
Le livre de la nature est ouvert devant nous, écrit dans la langue des
mathématiques.
Galiléo Galiléi (1564-1642)
1.1.1 Notations/conventions d’écriture
a) En mathématique, il faut abstraire ! Autrement dit, lorsque l’on voit une expression
mathématique comportant des lettres, il faut imaginer qu’elles représentent des nombres.
Il faut se détacher de l'écriture !
Exemple 22 P( x ) x 3x 2 et x 4 alors P( 4 ) 4 3 4 2 6=−+ = = −⋅+=
b) Le choix de représenter des nombres par des lettres va permettre de généraliser et de noter
de manière compacte certains résultats mathématiques . Voilà une idée géniale !
Exemples
b.1) Aire d'un carré :
b.2) Les nombres pairs
{
}
0,2 ,4,6 ,8 ,10 , 12,14,16,18,20,22,.......=
On peut aussi écrire :
Les nombres pairs
{
}
2n tel que n=∈` (écriture compacte)
c) Il faut distinguer :
• les constantes : a, b, c, d,...qui représentent un nombre particulier d'un ensemble donné.
Par exemple : a = 3 , b = 17/4
• les variables : x, y, z, t, n, m, ...qui représentent un nombre quelconque d'un ensemble
donné.
Par exemple : x peut prendre ses valeurs dans
{
}
.... 3; 2; 1;0;1;2;3;.....=−−−]
Plus généralement :
x
x
Aire =
x
⋅ x = x2
3
3
Aire =
3
⋅ 3 = 32
4
4
Aire =
4
⋅ 4 = 42