Suites et récurrence DS 1

Lycée Marie Reynoard TS année 2015-2016
Nom : …...........................................
DS n°1
Calculatrice autorisée – Barème indicatif
Exercice 1 (12 points)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par : f(x)=
3
x
−
1
x+1
On considère la suite définie pour tout n ∈ ℕ par :
u
0
= 4 et u
n+1
= f (u
n
)
1. On a tracé, ci dessous, la courbe C représentative de la fonction f .
a) Placer sur l’axe des abscisses, u
0
, u
1
, u
2
et u
3
. Faire apparaître les traits de construction.
b) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (u
n
) ?
2. a) Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; +∞[.
b) Démontrer par un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : 1≤ u
n+1
≤ u
n
.
En déduire le sens de variation de la suite
(
u
n
)
.
c) Justifier que la suite
( u
n
)
est bornée
2 3 4 5-1-2-3
2
3
-1
-2
-3
0 1
1
x
y

Lycée Marie Reynoard TS année 2015-2016
3. Variables
U : nombre réel
N : entier naturel
Initialisation
U prend la valeur 4
N prend la valeur 0
Traitement
Tant que U – 1 > 0,5 Faire
U prend la valeur (3U-1)/(U+1)
N prend la valeur N+1
Fin tant que
Afficher N
a) Faire fonctionner cet algorithme en complétant les différentes valeurs prises par les variables
dans le tableau ci dessous (toutes les colonnes ne sont pas forcément nécessaires) :
Valeurs
initiales
U
N
U–1
b) Quelle valeur affiche l'algorithme ? Que fait cet algorithme ?
Exercice 2 (8 points)
Soit (u
n
) la suite définie par
u
0
=
1
et, pour tout entier naturel n, u
n+1
=
1
4u
n
+3.
1. Calculer u
1
et
u
2
.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
u
n
⩽
4
.
3. Démontrer que la suite (u
n
) est croissante.
Aide : penser à calculer
u
n+1
−
u
n
et à utiliser le 2.
4. Soit la suite (v
n
) définie, pour tout entier naturel n, par
v
n
=
u
n
−
4
a) Démontrer que la suite (v
n
) est géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, u
n
= − 3
(
1
4
)
n
+4
5. Soit
S
n
la suite définie pour tout entier n par
S
n
=
∑
k
=
0
n
u
k
=u
0
+u
1
+...+u
n
Démontrer que S
n
=
(
1
4
)
n
+4n.