Lycée Marie Reynoard TS année 2015-2016 Nom : …........................................... DS n°1 Calculatrice autorisée – Barème indicatif Exercice 1 (12 points) 3 x− 1 x+ 1 On considère la suite définie pour tout n∈ ℕ par : u 0 = 4 et un+1 = f (un) Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par : f ( x )= 1. On a tracé, ci dessous, la courbe C représentative de la fonction f . a) Placer sur l’axe des abscisses, u0, u1, u2 et u3. Faire apparaître les traits de construction. b) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (un) ? 2. a) Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; +∞[. b) Démontrer par un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : 1≤ un+1 ≤ un. En déduire le sens de variation de la suite (u n ) . c) Justifier que la suite (u n ) est bornée y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 x Lycée Marie Reynoard TS année 2015-2016 3. Variables U : nombre réel N : entier naturel Initialisation U prend la valeur 4 N prend la valeur 0 Traitement Tant que U – 1 > 0,5 Faire U prend la valeur (3U-1)/(U+1) N prend la valeur N+1 Fin tant que Afficher N a) Faire fonctionner cet algorithme en complétant les différentes valeurs prises par les variables dans le tableau ci dessous (toutes les colonnes ne sont pas forcément nécessaires) : Valeurs initiales U N U–1 b) Quelle valeur affiche l'algorithme ? Que fait cet algorithme ? Exercice 2 (8 points) 1 Soit (un) la suite définie par u 0=1 et, pour tout entier naturel n, u n+1= u n +3 . 4 1. Calculer u 1 et u 2 . 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n⩽ 4 . 3. Démontrer que la suite (un) est croissante. Aide : penser à calculer u n+1− u n et à utiliser le 2. 4. Soit la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n =u n− 4 a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme. () n b) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n=− 3 1 +4 4 n 5. Soit S n la suite définie pour tout entier n par S n = ∑ u k =u0 +u 1 +...+u n k=0 ( 14 ) + 4 n . n Démontrer que S n=