Cours Mécanique Spatiale

Eléments de Mécanique Spatiale
Luc Duriez
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Dernière révision le 1 septembre 2005
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Première partie
Principes de la mécanique
1 Repères et coordonnées
1.1 Modélisation de l’espace, du temps, des systèmes matériels
On assimile l’espace physique à l’espace affine réel euclidien orienté à 3 dimensions; on
lui associe l’espace vectoriel classique des vecteurs : à 2 points Aet Bcorrespond le vec-
teur1lié AB, puis les vecteurs libres Véquipollents à AB. On suppose connues les opérations
classiques entre points, vecteurs, scalaires et leurs propriétés (associativité, commutativité, non-
commutativité ···) :
B=A+AB ou B=A+Vou AB =B−A
U+V=Wsomme de vecteurs
λV=Wmultiplication par un scalaire
U·V=αproduit scalaire
√V·V=|V|module de V
U∧V=Wproduit vectoriel
(U,V,W) = β=U·(V∧W) produit mixte
On rappelle encore :
U·V=|U||V|cos(U,V)
U∧V=−V∧U=|U||V|sin(U,V)k
(U∧V)∧W= (U·W)V−(V·W)U
où kest unitaire et orthogonal à Uet à V; le sens de kest défini par la règle selon laquelle un
observateur ‘debout’ suivant ket regardant dans la direction de Uvoit la direction de Và sa
gauche. L’angle (U,V)est alors orienté positivement dans le sens trigonométrique. Le module
de U∧Vreprésente l’aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs, tandis que le produit
mixte de 3 vecteurs représente le volume du parallépipède construit sur ces 3 vecteurs.
On assimile le temps à un réel (espace de dimension 1). Espace physique et temps sont
supposés indépendants l’un de l’autre.
On assimile une particule matérielle à un point de l’espace physique, auquel on associe un
scalaire positif appelé masse du point. On parle alors aussi de point matériel. Le mot ‘particule’
n’est pas pris ici dans le sens des particules élémentaires de la physique quantique : Il désigne
un corps matériel suffisament petit pour être localisé par un point, et assez gros pour qu’on n’ait
pas à tenir compte des propriétés quantiques de la matière.
On assimile un système matériel à un ensemble de points matériels. Ces points sont en in-
teraction (ou soumis à des forces). La force agissant sur un point est représentée par un vecteur
1Dans tout le cours, les vecteurs seront notés par des symboles en caractères gras

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lié à ce point, dirigé dans le sens de la force et de module égal à son intensité. La signification
physique de la masse et des forces est donnée par les lois de la dynamique.
1.2 Repères et référentiels
En mécanique classique, les systèmes matériels sont repérés dans des référentiels, qui sont
la donnée d’un repère d’espace et d’un repère de temps.
Un repère d’espace est défini par un point origine Oet par une base de l’espace vectoriel
associé : (i,j,k). On le note Oijk. Sauf indication contraire, les bases utilisées sont toujours
orthonormées et directes (bases cartésiennes), c’est-à-dire satisfont à :
i·j= 0 = j·k=k·i
i·i= 1 = j·j=k·k
i∧j=k
⇒
j∧k=i
k∧i=j
(i,j,k) = +1
Un repère de temps est défini par un instant initial t0et une base de durée d(unité de temps).
Dans ces repères, un point Mà un instant test défini par trois coordonnées d’espace (x, y, z)
et une de temps (τ), telles que :
M=O+xi+yj+zkt=t0+τd
Etant donnés trois vecteurs V,V0et V00, donnés par leurs coordonnées (x, y, z),(x0, y0, z0)et
(x00, y00, z00), on a alors les résultats :
V·V0=xx0+yy0+zz0
V∧V0= (yz0−zy0, zx0−xz0, xy0−yx0)
(V,V0,V00) = det(V,V0,V00)
A la place des 3 coordonnées cartésiennes (x, y, z)de M, on pourra être amené à utiliser des
coordonnées cylindriques (ρ, θ, z)ou sphériques (r, λ, ϕ).

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Donnons la définition des coordonnées sphériques utilisée généralement par les astronomes :
O
i
j
k
r
ϕ
λ
M
x=rcos ϕcos λ
y=rcos ϕsin λ
z=rsin ϕ
ou inversement :
r=√x2+y2+z2(⇒r≥0)
ϕ= Arcsin(z/r) (⇒ −π/2≤ϕ≤π/2)
λ= atan2(y, x) (⇒0≤λ < 2π)
où la fonction atan2(y, x)est définie par : Arctg(y/x) + 
πsi x < 0
2πsi x > 0 et y < 0
0 sinon
1.3 Changement de repères d’espace
Etant donnés 2 repères cartésiens R1=O1i1j1k1et R2=O2i2j2k2, un point Mest donné
dans chacun d’eux par trois coordonnées cartésiennes :
M=O1+x1i1+y1j1+z1k1
=O2+x2i2+y2j2+z2k2
Pour avoir les relations entre (x1, y1, z1)et (x2, y2, z2)il faut connaître par exemple la position
de O2dans R1et la base de R2dans celle de R1:
O2=O1+ξi1+ηj1+ζk1
i2=a11 i1+a21 j1+a31 k1
j2=a12 i1+a22 j1+a32 k1
k2=a13 i1+a23 j1+a33 k1
On en déduit, sous forme matricielle :
x1
y1
z1
=
ξ
η
ζ
+
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
x2
y2
z2
Les bases de R1et R2étant orthonormées, la matrice des aij est orthonormée : 3 seulement
des 9 aij sont indépendants et suffisent pour exprimer la matrice complètement; cette propriété
traduit le fait que 3 rotations suffisent généralement pour passer d’une base à une autre. On
utilise le plus souvent les 3 rotations d’Euler (ou angles d’Euler notés (ψ,θ,φ), et ainsi définis :

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Si k1et k2ne sont pas équipollents, et Oétant un point arbitraire, le plan (Ok1, Ok2)est
défini, ainsi que sa normale Ouchoisie dans le même sens que k1∧k2. Alors, les angles ψ
entre Oi1et Ou(dans le plan Oi1j1), θentre Ok1et Ok2(dans le plan Ok1k2) et φentre Ou
et Oi2(dans le plan Oi2j2), définissent les 3 rotations successives permettant d’amener la base
(i1,j1,k1)à se superposer à la base (i2,j2,k2); la droite Ouest appelée ligne des nœuds des
2 plans Oi1j1et Oi2j2. Ces 3 rotations conduisent à définir 2 bases intermédiaires (u,v,k1)et
(u,w,k2):
O
i1
j1
k1
u
i2
j2
k2
ψ
θ
φ
(i1,j1,k1)→rotation ψ
autour de Ok1→(u,v,k1)
(u,v,k1)→rotation θ
autour de Ou→(u,w,k2)
(u,w,k2)→rotation φ
autour de Ok2→(i2,j2,k2)
(voir aussi les animations : AngleEuler3D.htm)
On peut représenter chaque rotation par une matrice de rotation, et obtenir ainsi la matrice
des aij comme produit des trois matrices de rotation, qui ne dépendent bien sûr chacune que
d’un angle :
(aij)=
cos ψ−sin ψ0
sin ψcos ψ0
0 0 1 
1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
cos φ−sin φ0
sin φcos φ0
0 0 1 
=
cos ψcos φ−sin ψsin φcos θ−cos ψsin φ−sin ψcos φcos θsin θsin ψ
sin ψcos φ+ cos ψsin φcos θ−sin ψsin φ+ cos ψcos φcos θ−sin θcos ψ
sin φsin θcos φsin θcos θ
La transformation inverse s’obtiendrait à l’aide de la matrice inverse (aij)−1, égale ici à la
transposée de (aij)puisque cela revient à changer le signe des 3 angles et à inverser l’ordre des
3 rotations.
En astronomie, on rencontre souvent le cas où O1et O2sont confondus et où le point Mest
repéré dans chacun des 2 repères par des coordonnées sphériques (r, λ1, ϕ1)et (r, λ2, ϕ2). Les
relations qui expriment les angles ϕ1et λ1en fonction de ϕ2et λ2sont alors avantageusement
obtenues par la trigonométrie sphérique.